8、以A正確。
答案 A
(1)在勻質(zhì)球?qū)拥目涨粌?nèi)任意位置處，質(zhì)點受到球殼萬有引力的合力為零。
(2)在勻質(zhì)球體內(nèi)部距球心r外，質(zhì)點受到的萬有引力就等于半徑為r的球體的引力。
(3)萬有引力定律的表達式F＝G適用于計算質(zhì)點或勻質(zhì)球體間的萬有引力。當物體間的作用力不符合萬有引力公式的適用條件時，可以把物體分成若干部分，求出兩物體每部分之間的萬有引力，然后求它們的合力。這是“分割求和”的思想方法，此處的“和”是矢量和。
1．對于萬有引力定律的數(shù)學表達式F＝G，下列說法中正確的是( )
A．牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律， 并第一個通過實驗精確測量出引力常量G的大小
B．r趨近于0時，萬
9、有引力趨于無窮大
C．m1、m2受到的萬有引力總是大小相等
D．m1、m2受到的萬有引力總是大小相等，方向相反，是一對平衡力
答案 C
解析 牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，卡文迪許第一個通過實驗精確測量出引力常量G的大小，A錯誤；萬有引力定律的表達式F＝G，適用于兩個質(zhì)點之間的計算。當r→0時，兩個物體都不能看成質(zhì)點，上式不再成立，B錯誤；兩個物體間的萬有引力是一對作用力與反作用力，它們總是大小相等，方向相反，作用在兩個物體上，C正確、D錯誤。
2．(人教版必修2 P41·T3改編)兩艘輪船，質(zhì)量都是1.0×104 t，相距10 km它們之間的引力是多大，這個力與輪船所受重力的比值是多少？
10、(g取值為10 N/kg)
答案 6.67×10－5 N 6.67×10－13
解析 輪船之間的引力F＝G＝6.67×10－11
× N＝6.67×10－5 N
輪船重力G＝mg＝1.0×108 N
引力與重力的比值＝6.67×10－13。
3．如圖所示，在半徑為R的鉛球中挖出一個球形空穴，空穴直徑為R且與鉛球相切，并通過鉛球的球心。在未挖出空穴前鉛球質(zhì)量為M。求挖出空穴后的鉛球與距鉛球球心距離為d、質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點)間的萬有引力。
答案
解析 可以用“補償法”進行等效計算。設挖出空穴前鉛球與小球間的萬有引力為F1，挖出的球形實體質(zhì)量為M′，與小球間的萬有引力為
11、F2，鉛球剩余部分與小球間的萬有引力為F，則有F1＝F＋F2。設挖出空穴前鉛球的體積為V，挖出的球形實體體積為V′，則M′＝M＝M＝，根據(jù)萬有引力定律可得F1＝G，F(xiàn)2＝＝G，故挖出空穴后的鉛球與小球間的萬有引力F＝F1－F2＝G－G＝。
考點3 計算天體質(zhì)量與密度
1．萬有引力定律從動力學角度解決了天體運動問題。天體運動遵循與地面上物體相同的動力學規(guī)律。行星(或衛(wèi)星)的運動可視為勻速圓周運動，由恒星對其行星(或行星對其衛(wèi)星)的萬有引力提供向心力。運用萬有引力定
律不僅可以計算太陽和地球的質(zhì)量，還可以計算其他天體的質(zhì)量，根據(jù)不同的已知條件可以選用不同的公式計算中
12、心天體的質(zhì)量。
2．根據(jù)質(zhì)量與密度的關(guān)系M＝ρ·πR3可知，在已知天體半徑R和天體質(zhì)量M的條件下，可以計算天體的密度。
3．下表列出了我們常見的計算天體質(zhì)量和密度的方法
[例3] (2013·大綱卷)“嫦娥一號”是我國首次發(fā)射的探月衛(wèi)星，它在距月球表面高度為200 km的圓形軌道上運行，運行周期為127 min。已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，月球半徑約為1.74×103 km。利用以上數(shù)據(jù)估算月球的質(zhì)量約為( )
A．8.1×1010 kg B．7.4×1013 kg
C．5.4×1019 kg D．7.4×1022 kg
解析
13、由G＝m··r得M＝，又r＝R月＋h，代入數(shù)據(jù)得月球質(zhì)量M≈7.4×1022 kg，D正確。
答案 D
1．天體半徑和衛(wèi)星的軌道半徑
通常把天體看成一個球體，天體的半徑指的是球體的半徑。衛(wèi)星的軌道半徑指的是衛(wèi)星圍繞天體做圓周運動的圓的半徑。衛(wèi)星的軌道半徑大于等于天體的半徑。
2．自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期
自轉(zhuǎn)周期是指天體繞自身某軸線運動一周所用的時間，公轉(zhuǎn)周期是指衛(wèi)星(或行星)繞中心天體做圓周運動一周所用的時間。自轉(zhuǎn)周期與公轉(zhuǎn)周期一般不相等。
(人教版必修2 P43·T3改編)經(jīng)測定月地距離為3.84×108 m，月球繞地球運動的周期為2.36×106 s，試計算地球質(zhì)量。(G
14、＝6.67×10－11 N·m2/kg2)
答案 6.01×1024 kg
解析 月球與地球間的萬有引力提供月球繞地球運動的向心力
F＝G，F(xiàn)＝m2r
G＝m2r，M地＝≈6.01×1024 kg。
考點4 天體表面的重力加速度問題
1．物體的重力是地球?qū)ξ矬w萬有引力的一個分力
在地球表面上的物體所受的萬有引力F可以分解成物體所受的重力G和隨地球自轉(zhuǎn)而做圓周運動的向心力F′，如圖所示。其中F＝G，而F′＝mω2r。除赤道和兩極點外，重力與萬有引力的大小、方向皆不同。
(1)物體在赤道上時，F(xiàn)、G、F′三力同向，此時F′達最大值，重力達最小值，則：
Gmin＝
15、F－F′＝G－mω2R。
(2)物體在兩極的極點時，F(xiàn)′＝0，F(xiàn)＝G，此時重力等于萬有引力，重力達到最大值，此最大值為Gmax＝G。
2．不考慮地球自轉(zhuǎn)時，重力等于萬有引力
(1)設在地球表面附近的重力加速度為g，則
mg＝G，得g＝。
(2)設在地球上空距離地面高度為h處的重力加速度為g′，則
mg′＝，得g′＝
所以＝。
[例4] 設宇宙中某一小行星自轉(zhuǎn)較快，但仍可近似看成質(zhì)量分布均勻的球體，半徑為R。宇航員用彈簧測力計稱量一個相對自己靜止的小物體的重量，第一次在極點處，彈簧測力計的讀數(shù)為F1＝F0；第二次在赤道處，彈簧測力計的讀數(shù)為F2＝。假設第三次在赤道平面內(nèi)深度為
16、的隧道底部，示數(shù)為F3；第四次在距行星表面高度為R處繞行星做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星中，示數(shù)為F4。已知均勻球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，則以下判斷正確的是( )
A．F3＝、F4＝ B．F3＝、F4＝0
C．F3＝、F4＝0 D．F3＝4F0、F4＝
解析 設該行星的質(zhì)量為M，則質(zhì)量為m的物體在極點處受到的萬有引力：F1＝＝F0。
在赤道處，彈簧測力計的讀數(shù)為F2＝，則：
Fn2＝F1－F2＝F0＝mω2·R。
由于球體的體積公式為：V＝
所以半徑以內(nèi)的部分的質(zhì)量為：
M′＝·M＝M
物體在處受到的萬有引力：
F3′＝＝F1＝F0
物體需要的向心力：Fn3＝mω2·
17、＝mω2R＝F0，
所以在赤道平面內(nèi)深度為的隧道底部，示數(shù)為：
F3＝F3′－Fn3＝F0－F0＝F0。
第四次在距行星表面高度為R處繞行星做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星中時，物體受到的萬有引力恰好提供向心力，所以彈簧測力計的示數(shù)為0，故B正確。
答案 B
(1)F1和F2不同時需考慮行星的自轉(zhuǎn)，F(xiàn)＝mg，m不變，g不同。
(2)F2，F(xiàn)3不同是因R不同，g不同。
(3)F4和F1、F2、F3不同是其物體所受萬有引力全部提供向心力。
1．(多選)假如地球自轉(zhuǎn)速度增大，關(guān)于物體所受的重力，下列說法正確的是( )
A．放在赤道地面上物體的萬有引力不變
B．放在兩極地
18、面上的物體的重力不變
C．放在赤道地面上物體的重力減小
D．放在兩極地面上物體的重力增加
答案 ABC
解析 地球自轉(zhuǎn)角速度增大，物體受到的萬有引力不變，A正確；在兩極，物體受到的萬有引力等于其重力，則其重力不變，B正確、D錯誤；而對于放在赤道地面上的物體，F(xiàn)萬＝G重＋mω2R，由于ω增大，則G重減小，C正確。
2．(2015·重慶高考)宇航員王亞平在“天宮1號”飛船內(nèi)進行了我國首次太空授課，演示了一些完全失重狀態(tài)下的物理現(xiàn)象。若飛船質(zhì)量為m，距地面高度為h，地球質(zhì)量為M，半徑為R，引力常量為G，則飛船所在處的重力加速度大小為( )
A．0 B. C. D.
答案 B
19、解析 飛船受的萬有引力等于在該處所受的重力，即G
＝mg，得g＝，B正確。
3．(2015·海南高考)若在某行星和地球上相對于各自的水平地面附近相同的高度處、以相同的速率平拋一物體，它們在水平方向運動的距離之比為2∶。已知該行星質(zhì)量約為地球的7倍，地球的半徑為R。由此可知，該行星的半徑約為( )
A.R B.R C．2R D.R
答案 C
解析 平拋運動在水平方向上做勻速直線運動，即x＝v0t，在豎直方向上做自由落體運動，即h＝gt2，所以x＝v0，兩種情況下，拋出的速度相同，高度相同，所以＝＝，根據(jù)公式G＝mg可得g＝，故＝＝，解得R行＝2R，故C正確。
1．(2
20、018·重慶永川中學月考)(多選)下列說法正確的是( )
A．關(guān)于公式＝k中的常量k，它是一個與中心天體有關(guān)的常量
B．開普勒定律只適用于太陽系，對其他恒星系不適用
C．已知金星繞太陽公轉(zhuǎn)的周期小于地球繞太陽公轉(zhuǎn)的周期，則可判定金星到太陽的距離小于地球到太陽的距離
D．發(fā)現(xiàn)萬有引力定律和測出引力常量的科學家分別是開普勒、伽利略
答案 AC
解析 公式＝k中的k是一個與中心天體有關(guān)的常量，A正確；開普勒定律不僅適用于太陽系，對其他恒星系也適用，B錯誤；已知金星繞太陽公轉(zhuǎn)的周期小于地球繞太陽公轉(zhuǎn)的周期，由＝k可知金星到太陽的距離小于地球到太陽的距離，C正確；發(fā)現(xiàn)萬有引力定律和測出引力
21、常量的科學家分別是牛頓和卡文迪許，D錯誤。
2．(2017·西安模擬)(多選)歐洲航天局的第一枚月球探測器——“智能1號”環(huán)繞月球沿橢圓軌道運動，用m表示它的質(zhì)量，h表示它近月點的高度，ω表示它在近月點的角速度，a表示它在近月點的加速度，R表示月球的半徑，g表示月球表面處的重力加速度。忽略其他星球?qū)Α爸悄?號”的影響，則它在近月點所受月球?qū)λ娜f有引力的大小等于( )
A．ma B．m
C．m(R＋h)ω2 D．m
答案 AB
解析 “智能1號”在近月點所受月球?qū)λ娜f有引力，即為它所受的合力，由牛頓第二定律得F＝ma，A正確；由萬有引力定律得F＝G，又月球表面上，G＝mg
22、，解得F＝m，B正確；由于“智能1號”環(huán)繞月球沿橢圓軌道運動，曲率圓半徑不是R＋h，C、D錯誤。
3．(2017·南通質(zhì)檢)“嫦娥一號”是我國首次發(fā)射的探月衛(wèi)星，它在距月球表面高度為h的圓形軌道上運行，運行周期為T。已知引力常量為G，月球的半徑為R。利用以上數(shù)據(jù)估算月球質(zhì)量的表達式為( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 “嫦娥一號”繞月球做勻速圓周運動，由牛頓第二定律得G＝m，解得月球的質(zhì)量為M＝，D正確。
4.對于環(huán)繞地球做圓周運動的衛(wèi)星來說，它們繞地球做圓周運動的周期會隨著軌道半徑的變化而變化，某同學根據(jù)測得的不同衛(wèi)星做圓周運動的半徑r與周期T的關(guān)系作出如圖
23、所示圖象，則可求得地球質(zhì)量為(已知引力常量為G)( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由＝m·r可得＝，結(jié)合題圖圖線可得，＝，故M＝，A正確。
5．(2017·湖北黃岡中學模考)假定太陽系一顆質(zhì)量均勻、可看成球體的小行星開始時不自轉(zhuǎn)，若該星球某時刻開始自轉(zhuǎn)，角速度為ω時，該星球表面的“赤道”上物體對星球的壓力減為原來的。已知引力常量為G，則該星球密度ρ為( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 星球不自轉(zhuǎn)時萬有引力等于重力，即G＝mg；自轉(zhuǎn)角速度為ω時F向＝G－mg＝mω2R，星球的密度ρ＝＝，聯(lián)立解得ρ＝，C正確。
6．一衛(wèi)星繞某一行星表面
24、附近做勻速圓周運動，其線速度大小為v。假設宇航員在該行星表面上用彈簧測力計測量一質(zhì)量為m的物體重力，物體靜止時，彈簧測力計的示數(shù)為N。已知引力常量為G，則這顆行星的質(zhì)量為( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 設行星的質(zhì)量為M、半徑為R，行星表面的重力加速度為g，衛(wèi)星的質(zhì)量為m′，由萬有引力提供向心力，得G＝
m′；
在行星表面萬有引力等于重力，即G＝m′g；
由已知條件N＝mg得g＝；
聯(lián)立以上三式可得R＝，M＝，故B正確。
7．(2017·文登模擬)如圖所示，“嫦娥三號”的環(huán)月軌道可近似看成是圓軌道，觀察“嫦娥三號”在環(huán)月軌道上的運動，發(fā)現(xiàn)每經(jīng)過時間t通過的
25、弧長為l，該弧長對應的圓心角為θ弧度。已知萬有引力常量為G，則月球的質(zhì)量是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因為每經(jīng)過時間t通過的弧長為l，故“嫦娥三號”的線速度為v＝，角速度為ω＝，“嫦娥三號”的運行半徑為R＝＝，則根據(jù)萬有引力提供向心力得：＝，則月球的質(zhì)量M＝＝，C正確。
8．(2017·商丘模擬)地質(zhì)勘探發(fā)現(xiàn)某地區(qū)表面的重力加速度發(fā)生了較大的變化，懷疑地下有空腔區(qū)域。進一步探測發(fā)現(xiàn)在地面P點的正下方有一球形空腔區(qū)域儲藏有天然氣，如圖所示。假設該地區(qū)巖石均勻分布且密度為ρ，天然氣的密度遠小于ρ，可忽略不計。如果沒有該空腔，地球表面正常的重力加速度大小為g；
26、由于空腔的存在，現(xiàn)測得P點處的重力加速度大小為kg(k<1)。已知引力常量為G，球形空腔的球心深度為d，則此球形空腔的體積是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 分析可得如果將該球形空腔填滿密度為ρ的巖石，則地面質(zhì)量為m的物體的重力為mg，沒有填滿時重力是kmg，故空腔填滿后增加的引力為(1－k)mg；由萬有引力定律，有：(1－k)mg＝G，解得：V＝，D正確。
9．(2015·江蘇高考)過去幾千年來，人類對行星的認識與研究僅限于太陽系內(nèi)，行星“51 peg b”的發(fā)現(xiàn)拉開了研究太陽系外行星的序幕?！?1 peg b”繞其中心恒星做勻速圓周運動，周期約為4
27、天，軌道半徑約為地球繞太陽運動半徑的。該中心恒星與太陽的質(zhì)量比約為( )
A. B．1 C．5 D．10
答案 B
解析 行星繞中心恒星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，故有G＝mr可得M＝，則＝3×2＝3×2≈1，B正確。
10．(2017·安徽安慶統(tǒng)測)“嫦娥四號”探測器由軌道器、返回器和著陸器等多個部分組成。探測器預計在2018年發(fā)射升空，自動完成月面樣品采集，并從月球起飛，返回地球，帶回約2 kg月球樣品。某同學從網(wǎng)上得到地球和月球的半徑之比為4∶1、地球表面和月球表面的重力加速度之比為6∶1，則可判斷地球和月球的密度之比為( )
A．2∶3 B．3∶2 C．
28、4∶1 D．6∶1
答案 B
解析 在地球表面，重力等于萬有引力，故mg＝G，解得M＝，故密度ρ＝＝＝，同理，月球的密度ρ0＝，故地球和月球的密度之比＝＝6×＝，B正確。
11．(2017·河南商丘二模)(多選)“雪龍?zhí)枴蹦蠘O考察船在由我國駛向南極的過程中，經(jīng)過赤道時測得某物體的重力是G1；在南極附近測得該物體的重力為G2。已知地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G，假設地球可視為質(zhì)量分布均勻的球體，由此可知( )
A．地球的密度為
B．地球的密度為
C．當?shù)厍虻淖赞D(zhuǎn)周期為 T時，放在地球赤道地面上的物體不再對地面有壓力
D．當?shù)厍虻淖赞D(zhuǎn)周期為 T時，放在地球赤道地面上的物體不再對
29、地面有壓力
答案 BC
解析 在兩極物體受到的重力等于地球?qū)ζ涞囊?，故有G＝G2①，在赤道引力與支持力的合力提供向心力，故有G－G1＝mR②，地球的密度ρ＝＝③，聯(lián)立以上三式解得ρ＝，故A錯誤、B正確；在赤道上萬有引力完全充當向心力時，放在地球赤道地面上的物體不再對地面有壓力，即G＝mR，聯(lián)立①、②式解得T1＝T，故C正確，D錯誤。
12．(2017·貴州遵義中學模擬)(多選)若宇航員在月球表面附近自高h處以初速度v0水平拋出一個小球，測出小球的水平射程為L。已知月球半徑為R，萬有引力常量為G。則下列說法正確的是( )
A．月球表面的重力加速度g月＝
B．月球的平均密度ρ＝
C
30、．月球的第一宇宙速度v＝
D．月球的質(zhì)量M月＝
答案 AB
解析 平拋運動的時間t＝，再根據(jù)h＝g月t2，得g月＝＝，故A正確；在月球表面G＝mg月，得M月＝＝，月球的體積V月＝，月球的平均密度ρ＝＝，故B正確、D錯誤；月球的第一宇宙速度v1＝＝ ＝，故C錯誤。
13．(2017·寧夏銀川一中模擬)萬有引力定律揭示了天體運動規(guī)律與地上物體運動規(guī)律具有內(nèi)在的一致性。
(1)用彈簧測力計稱量一個相對于地球靜止的物體的重力，隨稱量位置的變化可能會有不同結(jié)果。已知地球質(zhì)量為M、自轉(zhuǎn)周期為T，引力常量為G。將地球視為半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體，不考慮空氣的影響。設在地球北極地面稱量時，彈
31、簧測力計的讀數(shù)是F0。
①若在北極上空高出地面h處稱量，彈簧測力計讀數(shù)為F1，求比值的表達式，并就h＝1.0%R的情形算出具體數(shù)值(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)；
②若在赤道表面稱量，彈簧測力計讀數(shù)為F2，求比值的表達式。
(2)設想地球繞太陽公轉(zhuǎn)的圓周軌道半徑為r、太陽半徑為RS和地球的半徑R三者均減小為現(xiàn)在的1.0%，而太陽和地球的密度均勻且不變。僅考慮太陽與地球之間的相互作用，以現(xiàn)實地球的1年為標準，則“設想地球”的1年將變?yōu)槎嚅L？
答案 (1)①＝ 0.98 ②＝1－
(2)“設想地球”的1年與現(xiàn)實地球的1年時間相同
解析 (1)設物體的質(zhì)量為m，
①在北極地面F0＝，在北極上空高出地面h處F1＝，所以＝，當h＝1.0%R時，＝≈0.98。
②在赤道表面，物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運動，受到萬有引力和彈簧測力計的拉力，則有G－F2＝mR，聯(lián)立F0＝可得＝1－。
(2)地球繞太陽做勻速圓周運動，受到太陽的萬有引力。設太陽的質(zhì)量為MS，太陽的半徑為RS，太陽的密度為ρ，地球質(zhì)量為M，地球公轉(zhuǎn)周期為TE，則G＝Mr，MS＝ρ·πR，聯(lián)立解得TE＝＝，其中，ρ為太陽的密度。由上式可知，地球公轉(zhuǎn)周期TE僅與太陽的密度、地球公轉(zhuǎn)軌道半徑和太陽半徑之比有關(guān)，分析可得，“設想地球”的1年與現(xiàn)實地球的1年時間相同。
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（全國版）2019版高考物理一輪復習 第5章 天體運動 第19課時 萬有引力定律及其應用學案
