11、]
在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，按運(yùn)動(dòng)至軌道最高點(diǎn)時(shí)的受力情況可分為兩類：一是無支撐(如球與繩連接，沿內(nèi)軌道的“過山車”等)，稱為“輕繩模型”，二是有支撐(如球與桿連接，在圓管內(nèi)的運(yùn)動(dòng)等)，稱為“輕桿模型”。該類運(yùn)動(dòng)常有臨界問題，現(xiàn)分析比較如下：
輕繩模型
輕桿模型
常見類型
均是沒有支撐的小球
均是有支撐的小球
過最高點(diǎn)的臨界條件
由mg＝m得v臨＝
由小球恰能運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)可得v臨＝0
討論分析
(1)過最高點(diǎn)時(shí)，v≥，F(xiàn)N＋mg＝m，繩、軌道對(duì)球產(chǎn)生彈力FN
(2)不能過最高點(diǎn)，v<，在到達(dá)最高點(diǎn)前小球已經(jīng)脫離了圓軌道
在最高點(diǎn)：
(1)當(dāng)v＝0時(shí)
12、，F(xiàn)N＝mg，F(xiàn)N為支持力，沿半徑背離圓心
(2)當(dāng)0時(shí)，F(xiàn)N指向圓心并隨v的增大而增大
[典例剖析]
【例1】 如圖所示，過山車的軌道可視為豎直平面內(nèi)半徑為R的圓軌道。質(zhì)量為m的游客隨過山車一起運(yùn)動(dòng)，當(dāng)游客以速度v經(jīng)過圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)( )
A.處于超重狀態(tài)
B.向心加速度方向豎直向下
C.速度v的大小一定為
D.座位對(duì)游客的作用力為m
解析 游客經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)，加速度方向豎直向下，處于失重狀態(tài)，A錯(cuò)誤，B正確；由牛頓第二定律得FN＋mg＝m，分析知C、D錯(cuò)誤。
答案 B
【例2】
13、一輕桿一端固定質(zhì)量為m的小球，以另一端O為圓心，使小球在豎直面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，則下列說法正確的是( )
A.小球過最高點(diǎn)時(shí)，桿所受到的彈力可以等于零
B.小球過最高點(diǎn)的最小速度是
C.小球過最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球的作用力一定隨速度增大而增大
D.小球過最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球的作用力一定隨速度增大而減小
解析 輕桿可對(duì)小球產(chǎn)生向上的支持力，小球經(jīng)過最高點(diǎn)的速度可以為零，當(dāng)小球過最高點(diǎn)的速度v＝時(shí)，桿所受的彈力等于零，A正確，B錯(cuò)誤；若v<，則桿在最高點(diǎn)對(duì)小球的彈力豎直向上，mg－F＝m，隨v增大，F(xiàn)減小，若v>，則桿在最高點(diǎn)對(duì)小球的彈力豎直向下，mg＋F＝m，隨v增大，F(xiàn)
14、增大，故C、D均錯(cuò)誤。
答案 A
【方法總結(jié)】
豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)類問題的解題技巧
(1)定模型：首先判斷是繩模型還是桿模型，兩種模型過最高點(diǎn)的臨界條件不同。
(2)確定臨界點(diǎn)：抓住繩模型中最高點(diǎn)v≥及桿模型中v≥0這兩個(gè)臨界條件。
(3)研究狀態(tài)：通常情況下豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)只涉及最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。
(4)受力分析：對(duì)物體在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)時(shí)進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列出方程F合＝F向。
(5)過程分析：應(yīng)用動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒定律將初、末兩個(gè)狀態(tài)聯(lián)系起來列方程。
[針對(duì)訓(xùn)練]
1.游客乘坐過山車，在圓弧軌道最低點(diǎn)處獲得的向心加速度達(dá)到20 m/s2，g取10
15、m/s2。那么此位置座椅對(duì)游客的作用力相當(dāng)于游客重力的( )
A.1倍 B.2倍
C.3倍 D.4倍
解析 游客乘過山車在圓弧軌道最低點(diǎn)的受力如圖所示。由牛頓第二定律得
FN－mg＝man，則FN＝mg＋2mg＝3mg，
即＝3。
答案 C
2.如圖所示，小球緊貼在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)壁做圓周運(yùn)動(dòng)，內(nèi)側(cè)壁半徑為R，小球半徑為r，則下列說法正確的是( )
A.小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度vmin＝
B.小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度vmin＝
C.小球在水平線ab以下的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，內(nèi)側(cè)管壁對(duì)小球一定無作用力
D.小球在水平線ab以上的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，外側(cè)
16、管壁對(duì)小球一定有作用力
解析 小球沿管道上升到最高點(diǎn)的速度可以為零，故A、B均錯(cuò)誤；小球在水平線ab以下的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由外側(cè)管壁對(duì)小球的作用力FN與小球重力在背離圓心方向的分力Fmg的合力提供向心力，即FN－Fmg＝ma，因此，外側(cè)管壁一定對(duì)小球有作用力，而內(nèi)側(cè)管壁無作用力，C正確；小球在水平線ab以上的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球受管壁的作用力情況與小球速度大小有關(guān)，D錯(cuò)誤。
答案 C
1.如圖所示，洗衣機(jī)的脫水桶把濕衣服甩干，利用了( )
A.自由落體運(yùn)動(dòng)
B.離心運(yùn)動(dòng)
C.平拋運(yùn)動(dòng)
D.勻速直線運(yùn)動(dòng)
答案 B
2.冰面對(duì)滑冰運(yùn)動(dòng)員的
17、最大靜摩擦力為其重力的k倍，在水平冰面上沿半徑為R的圓周滑行的運(yùn)動(dòng)員，若僅依靠摩擦力來提供向心力而不沖出圓形滑道，其運(yùn)動(dòng)的速度應(yīng)滿足( )
A.v≥ B.v≤
C.v≤ D.v≤
解析 由題意可知，最大靜摩擦力為重力的k倍，所以最大靜摩擦力等于kmg，設(shè)運(yùn)動(dòng)員的最大的速度為v，則kmg≥m，解得v≤，所以選項(xiàng)B正確。
答案 B
3.一輛載重卡車，在丘陵地上以不變的速率行駛，地形如圖所示。由于輪胎已舊，途中爆了胎。你認(rèn)為在圖中A、B、C、D四處中，爆胎的可能性最大的一處是( )
A.A處 B.B處
C.C處 D.D處
解析 在A處，地面對(duì)輪胎的作用力大小等于卡
18、車的重力；在B處，卡車做圓周運(yùn)動(dòng)，加速度方向豎直向上，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律得知，卡車處于超重狀態(tài)，地面對(duì)卡車的作用力大于其重力；在C處，卡車做圓周運(yùn)動(dòng)，加速度方向豎直向下，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律得知，卡車處于失重狀態(tài)，地面對(duì)卡車的作用力小于其重力；在D處，地面對(duì)卡車的作用力等于重力垂直于斜面向下的分力，也小于重力。故可知，在B處，卡車受到地面的作用力最大，最容易爆胎，故選項(xiàng)B正確，A、C、D錯(cuò)誤。
答案 B
4.如圖所示，在傾角為α＝30°的光滑斜面上，有一根長(zhǎng)為L(zhǎng)＝0.8 m的輕桿，一端固定在O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m＝0.2 kg的小球，沿斜面做圓周運(yùn)動(dòng)，取g＝10 m/s2，若要小球能通過最高點(diǎn)
19、A，則小球在最低點(diǎn)B的最小速度是( )
A.4 m/s B.2 m/s
C.2 m/s D.2 m/s
解析 小球受輕桿控制，在A點(diǎn)的最小速度為零，由2mgLsin α＝mv可得vB＝4 m/s，A正確。
答案 A
[基礎(chǔ)過關(guān)]
1.當(dāng)汽車駛向一凸形橋時(shí)，為使在通過橋頂時(shí)，減小汽車對(duì)橋的壓力，司機(jī)應(yīng)( )
A.以盡可能小的速度通過橋頂
B.增大速度通過橋頂
C.以任何速度勻速通過橋頂
D.使通過橋頂?shù)南蛐募铀俣缺M可能小
解析 設(shè)質(zhì)量為m的車以速度v經(jīng)過半徑為R的橋頂，則車受到的支持力FN＝mg－m，故車的速度v越大，壓力
20、越小。而a＝，即FN＝mg－ma，向心加速度越大，壓力越小，綜上所述，選項(xiàng)B正確。
答案 B
2.某同學(xué)為感受向心力的大小與哪些因素有關(guān)，做了一個(gè)小實(shí)驗(yàn)：繩的一端拴一小球，手牽著在空中甩動(dòng)，使小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)(如圖所示)，則下列說法中正確的是( )
A.保持繩長(zhǎng)不變，增大角速度，繩對(duì)手的拉力將不變
B.保持繩長(zhǎng)不變，增大角速度，繩對(duì)手的拉力將增大
C.保持角速度不變，增大繩長(zhǎng)，繩對(duì)手的拉力將不變
D.保持角速度不變，增大繩長(zhǎng)，繩對(duì)手的拉力將減小
解析 由向心力的表達(dá)式Fn＝mω2r可知，保持繩長(zhǎng)不變，增大角速度，向心力增大，繩對(duì)手的拉力增大，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；保持
21、角速度不變，增大繩長(zhǎng)，向心力增大，繩對(duì)手的拉力增大，選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤。
答案 B
3.如圖所示，乘坐游樂園的翻滾過山車時(shí)，質(zhì)量為m的人隨車在豎直平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，下列說法正確的是( )
A.過山車在最高點(diǎn)時(shí)人處于倒坐狀態(tài)，全靠保險(xiǎn)帶拉住，沒有保險(xiǎn)帶，人就會(huì)掉下來
B.人在最高點(diǎn)時(shí)對(duì)座位不可能產(chǎn)生大小為mg的壓力
C.人在最低點(diǎn)時(shí)對(duì)座位的壓力等于mg
D.人在最低點(diǎn)時(shí)對(duì)座位的壓力大于mg
解析 人過最高點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)N＋mg＝m，當(dāng)v≥時(shí)，不用保險(xiǎn)帶，人也不會(huì)掉下來，當(dāng)v＝時(shí)，人在最高點(diǎn)時(shí)對(duì)座位產(chǎn)生的壓力為mg，A、B均錯(cuò)誤；人在最低點(diǎn)具有豎直向上的加速度，處于超重狀態(tài)，故人此時(shí)對(duì)座位的
22、壓力大于mg，C錯(cuò)誤，D正確。
答案 D
4.山城重慶的輕軌交通頗有山城特色，由于地域限制，彎道半徑很小，在某些彎道上行駛時(shí)列車的車身嚴(yán)重傾斜。每到這樣的彎道乘客都有一種坐過山車的感覺，很是驚險(xiǎn)刺激。假設(shè)某彎道鐵軌是圓弧的一部分，轉(zhuǎn)彎半徑為R，重力加速度為g，列車轉(zhuǎn)彎過程中傾角(車廂地面與水平面夾角)為θ，則列車在這樣的軌道上轉(zhuǎn)彎行駛的安全速度(軌道不受側(cè)向擠壓)為( )
A. B.
C. D.
解析 軌道不受側(cè)向擠壓時(shí)，軌道對(duì)列車的作用力就只有彈力，重力和彈力的合力提供向心力，根據(jù)向心力公式mgtan θ＝m，得v＝，C正確。
答案 C
5.一偏心輪繞垂直紙面的軸O勻
23、速轉(zhuǎn)動(dòng)，a和b是輪上質(zhì)量相等的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，a、b兩點(diǎn)的位置如圖所示，則偏心輪轉(zhuǎn)動(dòng)過程中a、b兩質(zhì)點(diǎn)( )
A.線速度大小相等
B.向心力大小相等
C.角速度大小相等
D.向心加速度的大小相等
解析 a、b兩質(zhì)點(diǎn)都繞同一個(gè)轉(zhuǎn)軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度ω相等，選項(xiàng)C正確；由題圖可知，兩質(zhì)點(diǎn)與轉(zhuǎn)軸的距離，即轉(zhuǎn)動(dòng)半徑不相等，而線速度v＝ωR，因此線速度大小不相等，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；向心加速度a＝ω2R，同理向心加速度的大小不相等，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；向心力F＝ma，兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量相等但向心加速度的大小a不相等，所以向心力大小不相等，選項(xiàng)B錯(cuò)誤。
答案 C
6.有一列重為100 t的火車，以72 km/h的速
24、率勻速通過一個(gè)內(nèi)外軌一樣高的彎道，軌道半徑為400 m。
(1)試計(jì)算鐵軌受到的側(cè)壓力；
(2)若要使火車以此速率通過彎道，且使鐵軌受到的側(cè)壓力為零，我們可以適當(dāng)傾斜路基，試計(jì)算路基傾斜角度θ的正切值。
解析 (1)72 km/h＝20 m/s，外軌對(duì)輪緣的側(cè)壓力提供火車轉(zhuǎn)彎所需要的向心力，所以有FN＝m＝ N＝105 N，由牛頓第三定律可知鐵軌受到的側(cè)壓力大小等于105 N。
(2)火車過彎道，重力和鐵軌對(duì)火車的彈力的合力正好提供向心力，如圖所示，則mgtan θ＝m，由此可得tan θ＝＝0.1。
答案 (1)105 N (2)0.1
[能力提升]
7.(2017·浙
25、江重點(diǎn)中學(xué)期中)在穩(wěn)定軌道上的空間站中，物體處于完全失重狀態(tài)，其中有如圖所示的裝置，半徑分別為r和R(R>r)的甲、乙兩個(gè)光滑的圓形軌道安置在同一豎直平面上，軌道之間有一條水平軌道CD相通，宇航員讓一小球以一定的速度先滑上甲軌道，通過粗糙的CD段，又滑上乙軌道，最后離開兩圓軌道，那么下列說法正確的是( )
A.小球在CD間由于摩擦力而做減速運(yùn)動(dòng)
B.小球經(jīng)過甲軌道最高點(diǎn)時(shí)比經(jīng)過乙軌道最高點(diǎn)時(shí)速度大
C.如果減小小球的初速度，小球有可能不能到達(dá)乙軌道的最高點(diǎn)
D.小球經(jīng)過甲軌道最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大于經(jīng)過乙軌道最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力
解析 小球處于完全失重狀態(tài)，在CD段水平粗糙部
26、分對(duì)水平軌道沒有壓力，也就不受摩擦力，A錯(cuò)誤；在甲、乙兩個(gè)圓形軌道運(yùn)動(dòng)的過程中，軌道對(duì)它的彈力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，但是彈力不做功，因此速度大小不會(huì)改變，經(jīng)過甲軌道最高點(diǎn)時(shí)和經(jīng)過乙軌道最高點(diǎn)時(shí)速度一樣大，B錯(cuò)誤；因?yàn)橹挥袕椓μ峁┫蛐牧?，所以不管是否減小初速度，小球都可以通過任何一個(gè)軌道的最高點(diǎn)，只是在同一軌道中速度大彈力大，速度小彈力小，C錯(cuò)誤；小球經(jīng)過甲、乙軌道最高點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)它的彈力提供向心力，即FN甲＝，F(xiàn)N乙＝，速度相同，但是甲的半徑小，所以對(duì)小球的彈力大，根據(jù)牛頓第三定律知D正確。
答案 D
8.質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)的圓管中運(yùn)動(dòng)，小球的直徑略小于圓管的內(nèi)徑，如圖所示。已知小
27、球以速度v通過圓管的最高點(diǎn)時(shí)對(duì)圓管的外壁的壓力恰好為mg，則小球以速度通過圓管的最高點(diǎn)時(shí)( )
A.對(duì)圓管的內(nèi)、外壁均無壓力
B.對(duì)圓管外壁的壓力等于
C.對(duì)圓管內(nèi)壁的壓力等于
D.對(duì)圓管內(nèi)壁的壓力等于mg
解析 小球以速度v通過圓管的最高點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得2mg＝m，假設(shè)小球以速度通過圓管的最高點(diǎn)時(shí)受到的壓力向下，其大小為FN，則有mg＋FN＝m，聯(lián)立解得FN＝－，上式表明，小球受到的壓力向上，由牛頓第三定律知，小球?qū)A管內(nèi)壁有向下的壓力，大小為，選項(xiàng)C正確。
答案 C
9.如圖甲所示，輕桿一端固定在O點(diǎn)，另一端固定一個(gè)小球，現(xiàn)讓小球在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)
28、。小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿與小球間彈力大小為F，小球在最高點(diǎn)的速度大小為v，其F－v2圖象如圖乙所示。則下列說法錯(cuò)誤的是( )
A.小球的質(zhì)量為
B.當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮?
C.v2＝c時(shí)，小球?qū)U的彈力方向向上
D.v2＝2b時(shí)，小球受到的彈力與重力大小相等
解析 當(dāng)彈力F方向向下時(shí)，F(xiàn)＋mg＝，解得F＝v2－mg，當(dāng)彈力F方向向上時(shí)，mg－F＝m，解得F＝mg－m，對(duì)比F－v2圖象可知，b＝gR，a＝mg，聯(lián)立解得g＝，m＝，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；v2＝c時(shí)，小球?qū)U的彈力方向向上，選項(xiàng)C正確；v2＝2b時(shí)，小球受到的彈力與重力大小相等，選項(xiàng)D正確。
答案 B
10.如圖
29、所示，光滑固定的水平圓盤中心有一個(gè)光滑的小孔，用一細(xì)繩穿過小孔連接質(zhì)量分別為m1、m2的小球A和B，讓B球懸掛，A球在光滑的圓盤面上繞圓盤中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為ω，半徑為r，則關(guān)于r和ω關(guān)系的圖象正確的是( )
解析 根據(jù)m2g＝m1rω2得r＝·，可知r與成正比，與ω2成反比，故A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)椋溅?，則與ω2成正比，故C、D錯(cuò)誤。
答案 B
11.如圖所示，豎直平面內(nèi)的圓弧形不光滑管道半徑R＝0.8 m，A端與圓心O等高，AD為水平面，B點(diǎn)為管道的最高點(diǎn)且在O的正上方。一個(gè)小球質(zhì)量m＝0.5 kg，在A點(diǎn)正上方高h(yuǎn)＝2.0 m處的P點(diǎn)由靜止釋放，自由下落至A點(diǎn)進(jìn)
30、入管道并通過B點(diǎn)，過B點(diǎn)時(shí)小球的速度vB為4 m/s，小球最后落到AD面上的C點(diǎn)處。不計(jì)空氣阻力，g取10 m/s2。求：
(1)小球過A點(diǎn)時(shí)的速度vA的大小；
(2)小球過B點(diǎn)時(shí)對(duì)管壁的壓力；
(3)落點(diǎn)C到A點(diǎn)的距離。
解析 (1)對(duì)小球由自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得
v＝2gh
解得vA＝2m/s。
(2)小球過B點(diǎn)時(shí)，設(shè)管壁對(duì)其壓力為F，方向豎直向下，由向心力公式有F＋mg＝m
解得F＝5 N，方向豎直向下
由牛頓第三定律可知小球?qū)鼙诘膲毫? N，方向豎直向上。
(3)從B到C的過程中，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得
x＝vBt
R＝gt2
xAC＝x－R＝0.8 m。
31、
答案 (1)2m/s (2)5 N，方向豎直向上 (3)0.8 m
12.(2017·湖南懷化三模)某高速公路的一個(gè)出口路段如圖所示，情景簡(jiǎn)化：轎車從出口A進(jìn)入匝道，先勻減速直線通過下坡路段至B點(diǎn)(通過B點(diǎn)前后速率不變)，再勻速率通過水平圓弧路段至C點(diǎn)，最后從C點(diǎn)沿平直路段勻減速到D點(diǎn)停下。已知轎車在A點(diǎn)的速度v0＝72 km/h，AB長(zhǎng)L1＝150 m；BC為四分之一水平圓弧段，限速(允許通過的最大速度)v＝36 km/h，輪胎與BC段路面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.5，最大靜摩擦力可認(rèn)為等于滑動(dòng)摩擦力，CD段為平直路段，長(zhǎng)為L(zhǎng)2＝50 m，重力加速度g取10 m/s2。
(1)若轎
32、車到達(dá)B點(diǎn)速度剛好為v＝36 km/h，求轎車在AB下坡段加速度的大?。?
(2)為保證行車安全，車輪不打滑，求水平圓弧段BC半徑R的最小值；
(3)轎車從A點(diǎn)到D點(diǎn)全程的最短時(shí)間。
解析 (1)v0＝72 km/h＝20 m/s，AB長(zhǎng)L1＝150 m，v＝36 km/h＝10 m/s，對(duì)AB段勻減速直線運(yùn)動(dòng)有v2－v＝－2aL1，代入數(shù)據(jù)解得a＝1 m/s2。
(2)汽車在BC段做圓周運(yùn)動(dòng)，靜摩擦力提供向心力，有Ff＝m，為了確保安全，則須滿足Ff≤μmg，解得R≥20 m，即Rmin＝20 m。
(3)設(shè)AB段時(shí)間為t1，BC段時(shí)間為t2，CD段時(shí)間為t3，全程所用最短時(shí)間為t。
L1＝t1·，而πR＝vt2，
L2＝t3，t＝t1＋t2＋t3，解得t＝23.14 s。
答案 (1)1 m/s2 (2)20 m (3)23.14 s
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（浙江專版）2019版高考物理大一輪復(fù)習(xí) 第四章 曲線運(yùn)動(dòng) 萬有引力與航天 第3課時(shí) 生活中的圓周運(yùn)動(dòng)學(xué)案
