《2018-2019學年高中數(shù)學 第四講 用數(shù)學歸納法證明不等式 一 數(shù)學歸納法學案 新人教A版選修4-5》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2018-2019學年高中數(shù)學 第四講 用數(shù)學歸納法證明不等式 一 數(shù)學歸納法學案 新人教A版選修4-5(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、一 數(shù)學歸納法
1.了解數(shù)學歸納法的原理. 2.了解數(shù)學歸納法的使用范圍. 3.會用數(shù)學歸納法證明一些簡單問題.
1.數(shù)學歸納法的定義
一般地,當要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時,可以用以下兩個步驟:
(1)證明當n=n0時命題成立.
(2)假設當n=k(k∈N+且k≥n0)時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立.
在完成了這兩個步驟后,就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立,這種證明方法稱為數(shù)學歸納法.
2.數(shù)學歸納法的步驟
(1)(歸納奠基)驗證當n=n0(n0為命題成立的起始自然數(shù))時命題成立;
(2)(歸納遞推
2、)假設當n=k(k∈N+,且k≥n0)時命題成立,推導n=k+1時命題也成立.
(3)結論:由(1)(2)可知,命題對一切n≥n0的自然數(shù)都成立.
1.判斷(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)歸納法的特點是由一般到特殊.( )
(2)在運用數(shù)學歸納法時,要注意起點n一定取1.( )
(3)數(shù)學歸納法得出的結論都是正確的.( )
(4)數(shù)學歸納法中的兩個步驟,第一步是歸納基礎,第二步是歸納遞推,兩者缺一不可.( )
(5)數(shù)學歸納法第二步不需要假設也可以得出結論.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
2.在用數(shù)學歸納法證明多邊形內角
3、和定理時,第一步應驗證( )
A.n=1成立
B.n=2成立
C.n=3成立
D.n=4成立
答案:C
3.用數(shù)學歸納法證明等式1+2+3+…+(n+3)=,當n=1時,左邊應為________.
解析:因為當n=1時,n+3=4.
所以左邊應為1+2+3+4.
答案:1+2+3+4
用數(shù)學歸納法證明恒等式[學生用書P54]
用數(shù)學歸納法證明1-+-+…+-=++…+(n≥1,n∈N+).
【證明】 (1)當n=1時,左邊=1-=,右邊=,
命題成立.
(2)假設當n=k(k≥1,k∈N+)時等式成立,
即1-+-+…+-
=++…+
4、.
當n=k+1時,
左邊=1-+-+…+-+-
=++…++-
=++…++,
即當n=k+1時等式也成立.
由(1)和(2)知,等式對一切n≥1,n∈N+均成立.
利用數(shù)學歸納法證明恒等式的注意點
利用數(shù)學歸納法證明代數(shù)恒等式時要注意兩點:一是要準確表達n=n0時命題的形式,二是要準確把握由n=k到n=k+1時,命題結構的變化特點,并且一定要記?。涸谧C明n=k+1成立時,必須使用歸納假設.
1.用數(shù)學歸納法證明:n∈N+時,++…+=.
證明:①當n=1時,左邊=,右邊==,左邊=右邊,所以等式成立.
②假設n=k(k≥1,k∈N+)時,等式成立,即有++…
5、+=,則當n=k+1時,
++…++
=+=
==
=.所以n=k+1時,等式也成立.
由①②可知,對一切n∈N+等式都成立.
2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2,n∈N+).
(1)求a2,a3;
(2)求證:an=.
解:(1)由a1=1,得a2=3+1=4,a3=32+4=13.
(2)證明:用數(shù)學歸納法證明:
①當n=1時,a1=1=,所以等式成立.
②假設n=k(k∈N+,k≥1)時等式成立,
即ak=,那么當n=k+1時,
ak+1=ak+3k=+3k==.
即n=k+1時,等式也成立.
由①②知等式對n∈N+都成立.
6、
用數(shù)學歸納法證明整除問題[學生用書P55]
用數(shù)學歸納法證明(x+1)n+1+(x+2)2n-1(n∈N+)能被x2+3x+3整除.
【證明】?、佼攏=1時,
(x+1)1+1+(x+2)2×1-1=x2+3x+3能被x2+3x+3整除,命題成立.
②假設當n=k(k≥1,k∈N+)時,(x+1)k+1+(x+2)2k-1能被x2+3x+3整除,那么
(x+1)(k+1)+1+(x+2)2(k+1)-1
=(x+1)(x+1)k+1+(x+2)2·(x+2)2k-1
=(x+1)(x+1)k+1+(x+1)(x+2)2k-1-(x+1)·(x+2)2k-1+(x+
7、2)2(x+2)2k-1
=(x+1)[(x+1)k+1+(x+2)2k-1]+(x2+3x+3)·(x+2)2k-1.
因為(x+1)k+1+(x+2)2k-1和x2+3x+3都能被x2+3x+3整除,
所以上面的式子也能被x2+3x+3整除.
這就是說,當n=k+1時,
(x+1)(k+1)+1+(x+2)2(k+1)-1也能被x2+3x+3整除.
根據(jù)①②可知,命題對任何n∈N+都成立.
用數(shù)學歸納法證明整除問題的關鍵點
(1)用數(shù)學歸納法證明整除問題的關鍵是利用增項、減項、拆項、并項、因式分解等恒等變形的方法去湊假設、湊結論,從而利用歸納假設使問題獲證.
(2)與
8、n有關的整除問題一般都用數(shù)學歸納法證明,其中關鍵問題是從n=k+1時的表達式中分解出n=k時的表達式與一個含除式的因式或幾個含除式的因式.
用數(shù)學歸納法證明對于整數(shù)n≥0,An=11n+2+122n+1能被133整除.
證明:(1)當n=0時,A0=112+12=133能被133整除.
當n=1時,A1=113+123=133×23,能被133整除.
(2)假設n=k(k≥1,k∈N+)時,Ak=11k+2+122k+1能被133整除.
當n=k+1時,Ak+1=11k+3+122k+3=11·11k+2+122·122k+1
=11·11k+2+11·122k+1+(122
9、-11)·122k+1
=11·(11k+2+122k+1)+133·122k+1.
所以n=k+1時,命題也成立.
根據(jù)(1)(2),對于任意整數(shù)n≥0,命題都成立.
用數(shù)學歸納法證明幾何命題[學生用書P55]
平面上有n個圓,其中每兩個圓都相交于兩點,并且每三個圓都不相交于同一點,求證:這n個圓把平面分成了f(n)=n2-n+2部分.
【證明】 ①當n=1時,一個圓把平面分成兩部分,且f(1)=1-1+2=2,因此,n=1時命題成立.
②假設n=k(k≥1,k∈N+)時,命題成立,即k個圓把平面分成f(k)=k2-k+2部分.如果增加一個滿足條件的任一個圓,則這個圓必
10、與前k個圓交于2k個點.這2k個點把這個圓分成2k段弧,每段弧把它所在的原有平面分成為兩部分.因此,這時平面被分割的總數(shù)在原來的基礎上又增加了2k部分,即有f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,
即當n=k+1時,f(n)=n2-n+2也成立.
根據(jù)①②可知n個圓把平面分成了f(n)=n2-n+2部分.
利用數(shù)學歸納法證明幾何問題的技巧
(1)幾何問題常常是先探索出滿足條件的公式,然后加以證明,探索的方法是由特殊n=1,2,3,…,猜出一般結論.
(2)數(shù)學歸納法證明幾何問題的關鍵在于分析清楚n=k與n=k+1時二者的差異,這時常常借助于
11、圖形的直觀性,然后用數(shù)學式子予以描述,建立起f(k)與f(k+1)之間的遞推關系,實在分析不出的情況下,將n=k+1和n=k分別代入所證的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加說明即可.
(3)利用數(shù)學歸納法證明幾何問題要注意利用數(shù)形結合尋找公式,還要注意結論要有必要的文字說明.
平面上有n(n≥2,且n∈N+)條直線,其中任意兩條直線不平行,任意三條不過同一點.求證:這n條直線共有f(n)=個交點.
證明:①當n=2時,兩直線只有1個交點,
又f(2)=×2×(2-1)=1.
所以當n=2時,命題成立.
②假設當n=k(k≥2且k∈N+)時命題成立,就是該平面內滿足題設的
12、任何k條直線的交點個數(shù)為f(k)=k(k-1),則當n=k+1時,任取其中一條直線記為l,由歸納假設知,剩下的k條直線l1,l2,…,lk的交點個數(shù)為f(k)=.
由于l與這k條直線均相交且任意三條不過同一點,所以直線l與l1,l2,l3,…,lk的交點共有k個.
所以f(k+1)=f(k)+k=+k=
==.
所以當n=k+1時,命題成立.
由①②可知,命題對一切n∈N+且n≥2均成立.
1.數(shù)學歸納法的適用范圍
數(shù)學歸納法可以證明與正整數(shù)有關的命題,但是,并不能簡單地說所有涉及正整數(shù)n的命題都可以用數(shù)學歸納法證明.
2.數(shù)學歸納法中兩步的作用
在數(shù)學歸納法中第一步
13、“驗證n=n0時命題成立”是奠基,是推理證明的基礎,第二步是假設與遞推,保證了推理的延續(xù)性.
3.運用數(shù)學歸納法的關鍵
運用歸納假設是關鍵,在使用歸納假設時,應分析p(k)與p(k+1)的差異與聯(lián)系,利用拆、添、并、放、縮等手段,或從歸納假設出發(fā),從p(k+1)中分離出p(k)再進行局部調整.
1.求證:1+++…+=(n∈N+).
證明:(1)當n=1時,左邊=1,右邊==1,
所以左邊=右邊,等式成立.
(2)假設當n=k(k≥1,k∈N+)時等式成立,
即1+++…+=.
當n=k+1時,
1+++…++
=+
=+
=
=.
這就是說,當n=k+1時,等
14、式也成立.
由(1)(2)可知,對任何n∈N+,等式都成立.
2.求證:Sn=n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N+)能被9整除.
證明:(1)當n=1時,S1=1+8+27=4×9,能被9整除.
(2)假設當n=k(k≥1,n∈N+)時,Sn能被9整除,
即Sk=k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.
當n=k+1時,
Sk+1=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3
=k3+(k+1)3+(k+2)3+9k2+27k+27
=Sk+9(k2+3k+3).
因為Sk能被9整除,9(k2+3k+3)能被9整除,
所以Sk+1能被9整除.
即當n=k+1時,Sn能被9整除.
由(1)(2)知,對n∈N+,Sn能被9整除.
故由(1)和(2)得,對n≥2,n∈N+,等式恒成立.
8