2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 習(xí)題課 數(shù)列求和學(xué)案 新人教B版必修5

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1、 習(xí)題課 數(shù)列求和 [學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1.能由簡單的遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.2.掌握數(shù)列求和的幾種基本方法. [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 1.基本求和公式 (1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:Sn==na1+d. (2)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式:當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1;當(dāng)q≠1時(shí),Sn==. 2.?dāng)?shù)列{an}的an與Sn的關(guān)系 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+a3+…+an,則an= 3.拆項(xiàng)成差求和經(jīng)常用到下列拆項(xiàng)公式 (1)=-. (2)=(-). (3)=-. 要點(diǎn)一 分組分解求和 例1 求和:Sn=(x+)2+(x2+)2+…+(xn+)2. 解 當(dāng)x≠±1時(shí),

2、Sn=(x+)2+(x2+)2+…+(xn+)2 =(x2+2+)+(x4+2+)+…+(x2n+2+) =(x2+x4+…+x2n)+2n+(++…+) =++2n =+2n; 當(dāng)x=±1時(shí),Sn=4n. 綜上知,Sn= 規(guī)律方法 某些數(shù)列,通過適當(dāng)分組,可得出兩個(gè)或幾個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列,進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式分別求和,從而得出原數(shù)列的和. 跟蹤演練1 求數(shù)列{an}:1,1+a,1+a+a2,…,1+a+a2+…+an-1,…的前n項(xiàng)和Sn(其中a≠0). 解 當(dāng)a=1時(shí),則an=n,于是Sn=1+2+3+…+n=. 當(dāng)a≠1時(shí),an==(1-an).

3、 ∴Sn=[n-(a+a2+…+an)]=[n-]=-. ∴Sn= 要點(diǎn)二 錯(cuò)位相減法求和 例2 已知等差數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為6,前8項(xiàng)和為-4. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=(4-an)qn-1(q≠0,n∈N+),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解 (1)設(shè){an}的公差為d,則由已知得即 解得a1=3,d=-1,故an=3-(n-1)=4-n. (2)由(1)知,bn=n·qn-1, 于是Sn=1·q0+2·q1+3·q2+…+n·qn-1, 若q≠1,上式兩邊同乘以q. qSn=1·q1+2·q2+…+(n-1)·qn-1+n·qn, 兩

4、式相減得:(1-q)Sn=1+q1+q2+…+qn-1-n·qn =-n·qn. ∴Sn=-=. 若q=1,則Sn=1+2+3+…+n=, ∴Sn= 規(guī)律方法 用錯(cuò)位相減法求和時(shí),應(yīng)注意: (1)要善于識別題目類型,特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形; (2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn-qSn”的表達(dá)式.若公比是個(gè)參數(shù)(字母),則應(yīng)先對參數(shù)加以討論,一般情況下分等于1和不等于1兩種情況分別求和. 跟蹤演練2 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N+). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an; (

5、2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn. 解 (1)∵an+1=2Sn,∴Sn+1-Sn=an+1=2Sn, ∴Sn+1=3Sn.又∵S1=a1=1, ∴數(shù)列{Sn}是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列.∴Sn=3n-1(n∈N+). 當(dāng)n≥2時(shí),an=2Sn-1=2·3n-2,且a1=1, ∴an= (2)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan, 當(dāng)n=1時(shí),T1=1; 當(dāng)n≥2時(shí),Tn=1+4·30+6·31+…+2n·3n-2, ① ∴3Tn=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1, ② ①-②得-2Tn=2+2(31+32+…+3n-2)-2n·3n-1 =2+2·

6、-2n·3n-1=-1+(1-2n)·3n-1, ∴Tn=+(n-)3n-1(n≥2), 又∵T1=a1=1也滿足上式, ∴Tn=+(n-)3n-1(n∈N+). 要點(diǎn)三 裂項(xiàng)相消求和 例3 求和:+++…+,n≥2. 解 ∵==(-), ∴原式=[(1-)+(-)+(-)+…+(-)] =(1+--)=-. 規(guī)律方法 如果數(shù)列的通項(xiàng)公式可轉(zhuǎn)化為f(n+1)-f(n)的形式,常采用裂項(xiàng)求和法. 跟蹤演練3 求和:1+++…+. 解 ∵an===2(-), ∴Sn=2(1-+-+…+-)=. 要點(diǎn)四 奇偶并項(xiàng)求和 例4 求和:Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2

7、n-1). 解 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+[(-2n+5)+(2n-3)]+(-2n+1) =2·+(-2n+1)=-n. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Sn=(-1+3)+(-5+7)+…+[(-2n+3)+(2n-1)]=2·=n. ∴Sn=(-1)n·n(n∈N+). 跟蹤演練4 已知數(shù)列-1,4,-7,10,…,(-1)n·(3n-2),…,求其前n項(xiàng)和Sn. 解 n為偶數(shù)時(shí),令n=2k(k∈N+), Sn=S2k=-1+4-7+10+…+(-1)2k(6k-2) =(-1+4)+(-7+10)+…+[(-6k+5)+(6k-2)] =3k=

8、n; 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),令n=2k+1(k∈N+). Sn=S2k+1=S2k+a2k+1=3k-(6k+1)=. ∴Sn= 1.?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若an=,則S5等于(  ) A.1    B.    C.    D. 答案 B 解析 ∵an==-, ∴S5=(1-)+(-)+…+(-)=1-=. 2.?dāng)?shù)列1,2,3,4,…的前n項(xiàng)和為(  ) A.(n2+n+2)- B.n(n+1)+1- C.(n2-n+2)- D.n(n+1)+2(1-) 答案 A 解析 1+2+3+…+(n+)=(1+2+…+n)+(++…+)=+=(n2+n)+1-=(n

9、2+n+2)-. 3.?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=,若前n項(xiàng)的和為10,則項(xiàng)數(shù)為(  ) A.11 B.99 C.120 D.121 答案 C 解析 ∵an==-,∴Sn=-1=10,∴n=120. 4.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=an+,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=________. 答案 (-2)n-1 解析 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=a1+,解得a1=1. 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(an+)-(an-1+)=an-an-1,整理可得an=-an-1,即=-2,故數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),-2為公比的等比數(shù)列, 故an=(-2)n-1. 求數(shù)列前n項(xiàng)和,一般有下列幾種方法. 1.錯(cuò)位相減:適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和. 2.分組求和:把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列. 3.拆項(xiàng)相消:有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式,相加過程消去中間項(xiàng),只剩有限項(xiàng)再求和. 4.奇偶并項(xiàng):當(dāng)數(shù)列通項(xiàng)中出現(xiàn)(-1)n或(-1)n+1時(shí),常常需要對n取值的奇偶性進(jìn)行分類討論. 5.倒序相加:例如,等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法. 5

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