2018版高中數(shù)學 第一章 常用邏輯用語章末復(fù)習課學案 新人教B版選修2-1

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1、 第一章 常用邏輯用語 學習目標　1.理解命題及四種命題的概念，掌握四種命題間的相互關(guān)系.2.理解充分條件、必要條件的概念，掌握充分條件、必要條件的判定方法.3.理解邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義，會判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假.4.理解全稱量詞、存在量詞的含義，會判斷全稱命題、存在性命題的真假，會求含有一個量詞的命題的否定． 知識點一　命題及其關(guān)系 1．判斷一個語句是否為命題，關(guān)鍵是： (1)為__________； (2)能____________． 2．互為逆否關(guān)系的兩個命題的真假性________． 3．四種命題之間的關(guān)系如圖所示． 知識點二　充分條件、必要條件和充要條件

2、 1．定義 一般地，若p則q為真命題，是指由p通過推理可以得出q.這時，我們就說，由p可推出q，記作p?q，并且說p是q的充分條件，q是p的必要條件． 一般地，如果既有p?q，又有q?p，就記作p?q.此時，我們說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件． 2．特征 充分條件與必要條件具有以下兩個特征： (1)對稱性：若p是q的充分條件，則q是p的________條件； (2)傳遞性：若p是q的充分條件，q是r的充分條件，則p是r的________條件．即若p?q，q?r，則p?r.必要條件和充分條件一樣具有傳遞性，但若p是q的充分條件，q是r的必要條件，則p與r的關(guān)系不能確定．

3、知識點三　簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞與量詞 1．常見的邏輯聯(lián)結(jié)詞有“______”、“______”、“______”． 2．短語“所有”“任意”“每一個”等表示全體的量詞在邏輯中通常稱為全稱量詞，通常用符號“?x”表示“________”． 3．短語“有一個”“有些”“存在一個”“至少一個”等表示部分的量詞在邏輯中通常稱為存在量詞，通常用符號“?x”表示“________”． 4．含有全稱量詞的命題叫做________命題，含有存在量詞的命題叫做__________命題． 類型一　充分條件與必要條件、充要條件的探究 命題角度1　充分條件與必要條件的再探究 例1　設(shè)甲、乙、丙三個命題，

4、若①甲是乙的充要條件；②丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，則(　　) A．丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件 B．丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件 C．丙是甲的充要條件 D．丙不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件 反思與感悟　若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件，即q的充分條件是p，p的必要條件是q. 如果將“必要條件”理解為“必然結(jié)果”，則可認為p的必然結(jié)果是q，q是p的必然結(jié)果． 則pD?/q易表述為以下幾種說法： p是q的不充分條件，q的不充分條件是p； q是p的不必要條件，p的不必要條件是q. 跟蹤訓練1　使a>b>0成立的一個充分不必要條件是(

5、　　) A．a(chǎn)2>b2>0 B． C．ln a>ln b>0 D．xa>xb且x>0.5 命題角度2　充要條件的再探究 例2　設(shè)數(shù)列{an}、{bn}、{cn}滿足：bn＝an－an＋2，cn＝an＋2an＋1＋3an＋2(n＝1，2，3，…)，證明：{an}為等差數(shù)列的充要條件是{cn}為等差數(shù)列且bn≤bn＋1(n＝1，2，3，…)． 反思與感悟　利用充要條件的定義證明問題時，需要從兩個方面加以證明，切勿漏掉其中一個方面． 跟蹤訓練2　設(shè){an}是各項為正數(shù)的無窮數(shù)列，Ai是邊長為ai，ai＋1的矩形的面積(i＝1，2，…)，則{An}為等比數(shù)列的充要條件

6、是(　　) A．{an}是等比數(shù)列 B．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比數(shù)列 C．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數(shù)列 D．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數(shù)列，且公比相同 類型二　等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 例3　已知c>0，設(shè)p：函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減；q：不等式x＋|x－2c|>1的解集為R.如果p和q有且僅有一個為真命題，求c的取值范圍． 反思與感悟　等價轉(zhuǎn)化思想是包含在化歸思想中的一種比較具體的數(shù)學思想，本章主要體現(xiàn)在四種命題間的相互轉(zhuǎn)化與集合之間的等價轉(zhuǎn)化、原命題與

7、其逆否命題之間的等價轉(zhuǎn)化等，即以充要條件為基礎(chǔ)，把同一種數(shù)學意義的內(nèi)容從一種數(shù)學語言形式等價轉(zhuǎn)化為另一種數(shù)學語言形式，從而使復(fù)雜問題簡單化、具體化． 跟蹤訓練3　已知命題p：(x＋1)(x－5)≤0，命題q：1－m≤x<1＋m(m>0)． (1)若p是q的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍； (2)若m＝5，“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實數(shù)x的取值范圍． 類型三　分類討論思想的應(yīng)用 例4　已知關(guān)于x的方程(m∈Z)： mx2－4x＋4＝0， ① x2－4mx＋4m2－4m－5＝0， ② 求方程①和②的根都是整數(shù)的充要條

8、件． 反思與感悟　分類討論思想是中學數(shù)學中常用的數(shù)學思想之一，利用分類討論思想解答問題已成為高考中考查學生知識和能力的熱點．解題中要找清討論的標準． 跟蹤訓練4　已知p：≥2；q：x2－ax≤x－a.若綈p是綈q的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍． 1．命題“若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是(　　) A．“若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)” B．“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù)” C．“若一個數(shù)不是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)” D．“若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負數(shù)” 2．已知α，β是兩個不同的平面，直線a?α，直線b?β，p：a與b無公共點，

9、q：α∥β，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 3．已知命題p：若x>y，則－x<－y；命題q：若x>y，則x2>y2.在命題①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命題是________． 4．對任意x∈[－1，2]，x2－a≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________． 5．(1)若p：兩條直線的斜率互為負倒數(shù)，q：兩條直線互相垂直，則p是q的什么條件？ (2)若p：|3x－4|>2，q：>0，則綈p是綈q的什么條件？ 1．判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假的關(guān)鍵是正確理解“或

10、”“且”“非”的含義，應(yīng)根據(jù)命題中所出現(xiàn)的邏輯聯(lián)結(jié)詞進行命題結(jié)構(gòu)的分析與真假的判斷． 2．判斷命題真假的步驟 ?? 3．命題p∧q，p∨q，綈p的真假判斷，如下表： p q 綈p p∨q p∧q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 4.含有一個量詞的命題的否定 命題 命題的否定 ?x∈M，p(x) ?x∈M，綈p(x) ?x∈M，p(x) ?x∈M，綈p(x) 注意：(1)全稱命題的否定是存在性命題，存在性命題的否定是全稱命題． (2)命題的“否定”與命題的“否命題

11、”是兩個不同的概念．對一個命題進行否定，就是要對其結(jié)論進行否定，而否命題是既否定條件又否定結(jié)論． 提醒：完成作業(yè)　第一章　章末復(fù)習課 答案精析 知識梳理 知識點一 1．(1)陳述句　(2)判斷真假 2．相同 知識點二 2．(1)必要　(2)充分 知識點三 1．且　或　非 2．對任意x 3．存在x 4．全稱　存在性 題型探究 例1　A 跟蹤訓練1　C 例2　證明　(必要性)設(shè){an}是公差為d1的等差數(shù)列， 則bn＋1－bn＝(an＋1－an＋3)－(an－an＋2)＝(an＋1－an)－(an＋3－an＋2)＝d1－d1＝0，所以bn≤bn＋1(n＝1，

12、2，3，…)成立． 又cn＋1－cn＝(an＋1－an)＋2(an＋2－an＋1)＋3(an＋3－an＋2)＝d1＋2d1＋3d1＝6d1(常數(shù))(n＝1，2，3，…)， ∴數(shù)列{cn}為等差數(shù)列． (充分性)設(shè)數(shù)列{cn}是公差為d2的等差數(shù)列，且bn≤bn＋1(n＝1，2，3，…)． ∵cn＝an＋2an＋1＋3an＋2， ① ∴cn＋2＝an＋2＋2an＋3＋3an＋4. ② ①－②得cn－cn＋2＝(an－an＋2)＋2(an＋1－an＋3)＋3(an＋2－an＋4) ＝bn＋2bn＋1＋3bn＋2. ∵cn－cn＋2

13、＝(cn－cn＋1)＋(cn＋1－cn＋2)＝－2d2， ∴bn＋2bn＋1＋3bn＋2＝－2d2， ③ 同理有bn＋1＋2bn＋2＋3bn＋3＝－2d2. ④ ④－③得 (bn＋1－bn)＋2(bn＋2－bn＋1)＋3(bn＋3－bn＋2)＝0. ⑤ ∵bn＋1－bn≥0，bn＋2－bn＋1≥0， bn＋3－bn＋2≥0， ∴由⑤得bn＋1－bn＝0(n＝1，2，3，…)． 由此不妨設(shè)bn＝d3(n＝1，2，3，…)， 則an－an＋2＝d3(常數(shù))． 由此cn＝an＋2an＋1＋3an＋2＝4an＋2an＋

14、1－3d3， 從而cn＋1＝4an＋1＋2an＋2－3d3 ＝4an＋1＋2an－5d3. 兩式相減得cn＋1－cn＝2(an＋1－an)－2d3， 因此an＋1－an＝(cn＋1－cn)＋d3 ＝d2＋d3(常數(shù))(n＝1，2，3，…)， ∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列． 跟蹤訓練2　D 例3　解　函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減?01的解集為R ?函數(shù)y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1. ∵x＋|x－2c|＝ ∴函數(shù)y＝x＋|x－2c|在R上的最小值為2c，∴2c>1，得c>. 如果p真q假，則 解得0

15、1. ∴c的取值范圍為(0，]∪[1，＋∞)． 跟蹤訓練3　解　(1)由命題p：(x＋1)·(x－5)≤0，解得－1≤x≤5. 命題q：1－m≤x<1＋m(m>0)． ∵p是q的充分條件， ∴[－1，5]?[1－m，1＋m)， ∴解得m>4， 則實數(shù)m的取值范圍為(4，＋∞)． (2)∵m＝5，∴命題q：－4≤x<6. ∵“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題， ∴命題p，q為一真一假． 當p真q假時，可得 解得x∈?. 當q真p假時，可得 解得－4≤x<－1或5

16、， 方程②化為x2－5＝0，無整數(shù)根，∴m≠0. 當m≠0時，方程①有實數(shù)根的充要條件是Δ＝16－4×4m≥0?m≤1； 方程②有實數(shù)根的充要條件是 Δ＝16m2－4(4m2－4m－5)≥0?m≥－. ∴－≤m≤1.又∵m∈Z，∴m＝－1或m＝1. 當m＝－1時，方程①為x2＋4x－4＝0，無整數(shù)根； 當m＝1時，方程①為x2－4x＋4＝0， 方程②為x2－4x－5＝0. 此時①和②均有整數(shù)根． 綜上，方程①和②均有整數(shù)根的充要條件是m＝1. 跟蹤訓練4　解　∵p：≥2， ∴≤0，即1≤x<3. 又∵q：x2－ax≤x－a， ∴x2－(a＋1)x＋a≤0. ①當a

17、<1時，a≤x≤1； ②當a＝1時，x＝1； ③當a>1時，1≤x≤a. 設(shè)q對應(yīng)的集合為A，p對應(yīng)的集合為B， ∵綈p是綈q的充分條件．∴?RB??RA，即A?B. 當a<1時，A?B，不合題意； 當a＝1時，AB，符合題意； 當a>1時，1≤x≤a，要使A?B，則12，得p：{x|x>2或x<}，∴綈p：{x|≤x≤2}． 解不等式>0， 得q：{x|x<－1或x>2}． ∴綈q：{x|－1≤x≤2}． ∴綈p是綈q的充分不必要條件． 9