2020屆高考數(shù)學大二輪復習 層級二 專題二 三角函數(shù)及解三角形 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質教學案
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1、 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質 [考情考向·高考導航] 1.高考對此部分內容的命題主要集中于三角函數(shù)的定義、圖象與性質,主要考查圖象的變換,函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性、對稱性及最值,并常與三角恒等變換交匯命題. 2.主要以選擇題、填空題的形式考查,難度為中等或偏下. [真題體驗] 1.(2018·全國Ⅰ卷)已知角α的頂點為坐標原點,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊上有兩點A(1,a),B(2,b),且cos 2α=,則|a-b|=( ) A. B. C. D.1 解析:B [∵cos 2α=cos2α-sin2 α===
2、,∴tan2 α=,∴tan α=±,當tan α=時,a==,∴a=,b=,∴|a-b|=;當tan α=-時,a==-,∴a=-,b=-,∴|a-b|=.] 2.(2017·全國Ⅲ卷)設函數(shù)f(x)=cos,則下列結論錯誤的是( ) A.f(x)的一個周期為-2π B.y=f(x)的圖象關于直線x=對稱 C.f(x+π)的一個零點為x= D.f(x)在單調遞減 解析:D [當x∈時,x+∈,函數(shù)在該區(qū)間內不單調.本題選擇D選項.] 3.(2019·全國Ⅱ卷)若x1=,x2=是函數(shù)f(x)=sin ωx(ω>0) 兩個相鄰的極值點,則ω=( ) A.2
3、 B. C.1 D. 解析:A [由正弦函數(shù)圖象可知=x2-x1=-=,∴T=π,∴ω===2.] 4.(2019·天津卷)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函數(shù),將y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),所得圖象對應的函數(shù)為g(x).若g(x)的最小正周期為2π,且g=,則f=( ) A.-2 B.- C. D.2 解析:C [在x=0處有定義的奇函數(shù)必有f(0)=0.f(x)為奇函數(shù),可知f(0)=Asin φ=0, 由|φ|<π可得φ=0
4、; 把其圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,得g(x)=Asinωx, 由g(x)的最小正周期為2π可得ω=2, 由g=,可得A=2, 所以f(x)=2sin 2x,f=2sin=.故選C.] [主干整合] 1.三角函數(shù)的圖象及性質 函數(shù) y=sin x y=cos x y=tan x 圖象 單調性 在[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)上遞增,在[+2kπ,+2kπ](k∈Z)上遞減 在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上遞增,在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上遞減 在(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上都是增函數(shù) 對稱中 心坐標 (kπ,0),k∈
5、Z (kπ+,0),k∈Z (,0)k∈Z 對稱軸 方程漸 近線 x=kπ+,k∈Z x=kπ,k∈Z x=kπ+(k∈Z) 2.三角函數(shù)圖象的兩種變換方法 熱點一 三角函數(shù)的定義、誘導公式及基本關系 [題組突破] 1.(2020·資陽模擬)已知角α的頂點與原點O重合,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊經(jīng)過點P(2,1),則tan等于( ) A.-7 B.- C. D.7 解析:A [由角α的頂點與原點O重合,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊經(jīng)過點P(2,1), 可得x=2,y=1,tan α==, ∴tan 2α===, ∴tan
6、===-7.] 2.(2020·衡水調研卷)已知sin (3π+α)=2sin,則等于( ) A. B. C. D.- 解析:D [∵sin(3π+α)=2sin, ∴-sin α=-2cos α,即sin α=2cos α, 則= ===-.] 3.(2020·衡水信息卷)已知曲線f(x)=x3-2x2-x在點(1,f(1))處的切線的傾斜角為α,則cos2-2cos2α-3sin(2π-α)cos(π+α)的值為( ) A. B.- C. D.- 解析:A [由f(x)=x3-2x2-x可知f′(x)=3x2-4x-1, ∴tan α=f′(1)=-2
7、, cos2-2cos2α-3sin(2π-α)cos(π+α) =(-sin α)2-2cos2α-3sin αcos α =sin2α-2cos2α-3sin αcos α == ==.] (1)涉及與圓及角有關的函數(shù)建模問題(如鐘表、摩天輪、水車等),常常借助三角函數(shù)的定義求解.應用定義時,注意三角函數(shù)值僅與終邊位置有關,與終邊上點的位置無關. (2)應用誘導公式時要弄清三角函數(shù)在各個象限內的符號;利用同角三角函數(shù)的關系化簡過程要遵循一定的原則,如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡等. 熱點二 三角函數(shù)的圖象及應用 直觀 想象 素養(yǎng) 直觀想
8、象是指借助空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用幾何圖形理解和解決數(shù)學問題.主要包括:利用圖形描述數(shù)學問題,建立形與數(shù)的聯(lián)系,構建數(shù)學問題的直觀模型,探索解決問題的思想. [例1] (1)(2020·東營模擬)已知函數(shù)f(x)=sin(ω>0)的最小正周期為π,為了得到函數(shù)g(x)=cos ωx的圖象,只要將y=f(x)的圖象( ) A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度 C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度 [解析] A [由題意知,函數(shù)f(x)的最小正周期T=π, 所以ω=2, 即f(x)=sin,g(x)=cos 2x, 把g(x)=cos 2x變形得g
9、(x)=sin=sin,所以只要將f(x)的圖象向左平移個單位長度,即可得到g(x)=cos 2x的圖象,故選A.] (2)(2020·廈門模擬)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示,將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象,若函數(shù)g(x)在區(qū)間上的值域為[-1,2],則θ=________. [解析] 由函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分圖象, 則A=2,=-=,解得T=π, 所以ω=2,即f(x)=2sin(2x+φ), 當x=時,f=2sin=0, 又|φ|<π,解得φ=-, 所以f
10、(x)=2sin, 因為函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象, 所以g(x)=2sin=2cos 2x, 若函數(shù)g(x)在上的值域為[-1,2], 則2cos 2θ=-1即θ=kπ+,k∈Z或θ=kπ+,k∈Z,故θ=. [答案] (1)已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象求解析式時,常采用待定系數(shù)法,由圖中的最高點、最低點或特殊點求A;由函數(shù)的周期確定ω;確定φ常根據(jù)“五點法”中的五個點求解,其中一般把第一個零點作為突破口,可以從圖象的升降找準第一個零點的位置. (2)在圖象變換過程中務必分清是先相位變換,還是先周期變換.變換只
11、是相對于其中的自變量x而言的,如果x的系數(shù)不是1,就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向. (1)(2020·杭州模擬)已知函數(shù)f(x)=cos-cos 2x,若要得到一個奇函數(shù)的圖象,則可以將函數(shù)f(x)的圖象( ) A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度 C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度 解析:C [f(x)=cos-cos 2x=cos-cos 2x=sin 2x-cos 2x=2sin=2sin 2,所以將f(x)的圖象向左平移個單位長度可得到奇函數(shù)y=2sin 2x的圖象,故選C.] (2) (2019·哈爾濱三模)已知函數(shù)f(
12、x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示,已知點A(0,),B,若將它的圖象向右平移個單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)圖象的一條對稱軸方程為( ) A.x= B.x= C.x= D.x= 解析:A [∵f(0)=2sin φ=,∴sin φ=,又|φ|<π,∴φ=或,又f=2sin=0,∴+φ=kπ(k∈Z),∴ω=×=6k-2(k∈Z),或ω=×=6k-4(k∈Z),又ω>0,且==>,∴ω<3,∴ω=2,φ=,∴f(x)=2sin,將其圖象向右平移個單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象,∴g(x)=2sin=2sin,g(x)圖象的對稱軸方
13、程滿足2x+=kπ+(k∈Z), ∴x=+(k∈Z),故選A.] 熱點三 三角函數(shù)的性質及應用 [例2] (1)(2019·全國Ⅱ卷)下列函數(shù)中,以為周期且在區(qū)間單調遞增的是( ) A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x| C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x| [解析] A [作出函數(shù)f(x)=|cos 2x|的圖象,如圖. 由圖象可知f(x)=|cos 2x|的周期為,在區(qū)間上單調遞增. 同理可得f(x)=|sin 2x|的周期為,在區(qū)間上單調遞減,f(x)=cos|x|的周期為2π.f(x)=sin|x|不是周期
14、函數(shù),排除B,C,D.故選A.] (2)(2019·保定三模)已知函數(shù)f(x)=2cos(ω>0)滿足:f=f,且在區(qū)間內有最大值但沒有最小值.給出下列四個命題: p1:f(x)在區(qū)間[0,2π]上單調遞減; p2:f(x)在最小正周期是4π; p3:f(x)的圖象關于直線x=對稱; p4:f(x)的圖象關于點對稱. 其中的真命題是( ) A.p1,p2 B.p1,p3 C.p2,p4 D.p3,p4 [解析] C [由題意得,當x==時,f(x)取得最大值,則cos=1,+=2kπ,ω=(k∈N*),又易知T=≥-=2π,0<ω≤1, 所以k=1,ω=,f(x)=2
15、cos. 故f(x)的最小正周期T==4π,p2是真命題, 又f=0,因此f(x)的圖象關于點對稱,p4是真命題.故選C.] (3)(2019·唐山調研)設函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常數(shù),A>0,ω>0).若f(x)在區(qū)間上具有單調性,且f=f=-f,則f(x)的最小正周期為________. [解析] ∵f(x)在區(qū)間上具有單調性,且f=f,∴x=和x=均不是f(x)的極值點,其極值應該在x==處取得,∵f=-f, ∴x=也不是函數(shù)f(x)的極值點,又f(x)在區(qū)間上具有單調性,∴x=-=為f(x)的另一個相鄰的極值點,故函數(shù)f(x)的最小正周期T=2×=π.
16、 [答案] π 求解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)性質的三種意識 (1)轉化意識:利用三角恒等變換將所求函數(shù)轉化為f(x)=Asin(ωx+φ)的形式. (2)整體意識:類比y=sin x的性質,只需將y=Asin(ωx+φ)中的“ωx+φ”看成y=sin x中的“x”,采用整體代入的方法求解. ①令ωx+φ=kπ+(k∈Z),可求得對稱軸方程. ②令ωx+φ=kπ(k∈Z),可求得對稱中心的橫坐標. ③將ωx+φ看作整體,可求得y=Asin(ωx+φ)的單調區(qū)間,注意ω的符號. (3)討論意識:當A為參數(shù)時,求最值應分情況討論. (1)(2020·長沙模擬)已知函數(shù)f
17、(x)=2sin(ωx+φ)+1,f(α)=-1,f(β)=1,若|α-β|的最小值為,且f(x)的圖象關于點對稱,則函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是( ) A.,k∈Z B.,k∈Z C.,k∈Z D.,k∈Z 解析:B [(1)本題考查三角函數(shù)的圖象和性質.由f(α)=-1,f(β)=1可知f(x)的圖象關于直線x=α對稱,關于點(β,1)對稱,所以最小正周期T=4|α-β|min=3π=,則ω=,又f=2sin+1=1,則sin=0,又|φ|<,則φ=-,則f(x)=2sin+1,由-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z得-+3kπ≤x≤π+3kπ,k∈Z,即函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)
18、間是,k∈Z,故選B.] (2)(2019·全國Ⅰ卷)關于函數(shù)f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四個結論: ①f(x)是偶函數(shù) ②f(x)在區(qū)間單調遞增?、踗(x)在[-π,π]有4個零點?、躥(x)的最大值為2. 其中所有正確結論的編號是( ) A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③ 解析:C [∵f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|, ∴f(x)是偶函數(shù),①對; f(x)在區(qū)間上單調遞減,②錯; f(x)在[-π,π]上有3個零點,③錯; f(x)的最大值為2,④對.故選C.] (3)(多選題)關于函數(shù)f(x)
19、=2sin +1,下列敘述正確的是( ) A.其圖象關于直線x=對稱 B.其圖象可由y=2sin +1圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼牡玫? C.其圖象關于點對稱 D.其值域[-1,3] 解析:BD [本題考查三角函數(shù)性質的綜合應用以及三角函數(shù)圖象的伸縮變換.f=2sin +1=+1,不是函數(shù)的最值,因此函數(shù)f(x)的圖象不關于直線x=對稱,故A錯誤;y=2sin +1圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼牡玫絝(x)=2sin +1的圖象,故B正確;設y=2sin ,則當x=時,y=2sin =2sin π=0,即函數(shù)y=2sin +1的圖象關于點對稱,故C錯誤;當sin =1時,函數(shù)f(x
20、)取得最大值3,當sin =-1時,函數(shù)f(x)取得最小值-1,即函數(shù)f(x)的值域是[-1,3],故D正確,故選BD.] 限時40分鐘 滿分80分 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分) 1.(2020·南昌段考)已知角θ的始邊與x軸的非負半軸重合,終邊過點M(-3,4),則cos2θ-sin2θ+tan θ的值為( ) A.- B. C.- D. 解析:A [設O為坐標原點,則由已知得|OM|=5,因而cos θ=-,sin θ=,tan θ=-,則cos2θ-sin2θ+tan θ=--=-.] 2.(2019·青島三模)如圖①,這個美
21、妙的螺旋叫做特奧多魯斯螺旋,是由公元5世紀古希臘哲學家特奧多魯斯給出的,螺旋由一系列直角三角形組成,如圖②,第一個三角形是邊長為1的等腰直角三角形,以后每個直角三角形以上一個三角形的斜邊為直角邊,另一條直角邊為1.將這些直角三角形在公共頂點處的角依次記為α1,α2,α3,…,則與α1+α2+α3+α4最接近的角是( ) 參考值:tan 55°≈1.428,tan 60°≈1.732,tan 65°≈2.145,≈1.414 A.120° B.130° C.135° D.140° 解析:C [由題意可得,α1,α2,α3,α4都是銳角,且α1=45°,tan α2==,tan
22、α3==,所以α3=30°,tan α4==,所以α1+α3=75°.又tan(α2+α4)==≈1.87,接近tan 60°,故α2+α4接近60°,故與α1+α2+α3+α4最接近的角是135°.] 3.(2018·全國Ⅲ卷)函數(shù)f(x)=的最小正周期為( ) A. B. C.π D.2π 解析:C [由已知得f(x)====sin x·cos x=sin 2x,所以f(x)的最小正周期為T==π,故選C.] 4.(2019·成都二診)將函數(shù)y=2sinsin的圖象向左平移φ(φ>0)個單位長度,所得圖象對應的函數(shù)恰為奇函數(shù),則φ的最小值為( ) A. B. C
23、. D. 解析:A [由y=2sinsin可得y=2sincos=sin,該函數(shù)的圖象向左平移φ個單位長度后,所得圖象對應的函數(shù)解析式為g(x)=sin=sin,因為g(x)=sin為奇函數(shù),所以2φ+=kπ(k∈Z),φ=-(k∈Z),又φ>0,故φ的最小值為,選A.] 5.(2020·廣州模擬)已知函數(shù)f(x)=sin(ω>0)在區(qū)間上單調遞增,則ω的取值范圍為( ) A. B. C. D. 解析:B [通解:因為x∈,所以ωx+∈,因為函數(shù)f(x)=sin(ω>0)在區(qū)間上單調遞增,所以又ω>0,所以0<ω≤,選B. 優(yōu)解:取ω=1,f=sin=-sin<0,f=s
24、in=sin=1,f=sin=sin=,不滿足題意,排除A,C,D,選B.] 6.(2019·洛陽統(tǒng)考)設函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)的圖象關于直線x=0對稱,則y=f(x)在的值域為( ) A.[-,0] B.[-2,0] C.(-,0) D.(-2,0) 解析:A [由題意得函數(shù)f(x)=2sin,因為其圖象關于直線x=0對稱,所以2×0++φ=+kπ(k∈Z),即φ=+kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=,f(x)=2sin=2cos 2x.當≤x≤時,≤2x≤,所以y=f(x)在上的值域為[-,0].] 7.(2018·天津卷)將函數(shù)y=sin的
25、圖象向右平移個單位長度,所得圖象對應的函數(shù)( ) A.在區(qū)間上單調遞增 B.在區(qū)間上單調遞減 C.在區(qū)間上單調遞增 D.在區(qū)間上單調遞減 解析:A [由函數(shù)圖象平移變換的性質可知: 將y=sin 的圖象向右平移個單位長度之后的解析式為: y=sin=2sin x. 則函數(shù)的單調遞增區(qū)間滿足:2kπ-≤2x≤2kπ+(k∈Z), 即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z) , 令k=1可得一個單調遞增區(qū)間為:. 函數(shù)的單調遞減區(qū)間滿足:2kπ+≤2x≤2kπ+(k∈Z), 即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z) , 令k=1可得一個單調遞減區(qū)間為:.本題選擇A選項.] 8.(2020·
26、貴陽監(jiān)測)函數(shù)f(x)=Asin(ω>0)的圖象與x軸正半軸交點的橫坐標構成一個公差為的等差數(shù)列,若要得到函數(shù)g(x)=Asin ωx的圖象,只要將f(x)的圖象( ) A.向左平移個單位 B.向右平移個單位 C.向左平移個單位 D.向右平移個單位 解析:D [正弦函數(shù)圖象與x軸相鄰交點橫坐標相差為半個周期,即d==,又因為d=,所以ω=2,則f(x)=Asin=Asin,所以只要將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位就能得到g(x)=sin ωx的圖象.] 9. (2019·德州三模)如圖是函數(shù)f(x)=Asin(2x+φ)圖象的一部分,對不同的x1,x2∈[a,b],若f(
27、x1)=f(x2),有f(x1+x2)=,則( ) A.f(x)在區(qū)間內單調遞增 B.f(x)在區(qū)間內單調遞減 C.f(x)在區(qū)間內單調遞增 D.f(x)在區(qū)間內單調遞減 解析:A [根據(jù)圖象得出:A=2,對稱軸方程為x=,所以2sin(x1+x2+φ)=2?x1+x2+φ=, 所以x1+x2=-φ,因為f(x1+x2)=, 所以2sin=,即sin(π-φ)=,因為|φ|≤,所以φ=,所以f(x)=2sin,因為-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,所以-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,即為f(x)的單調遞增區(qū)間.] 10.(2019·遼寧省五校協(xié)作體聯(lián)考)設ω>0,將函數(shù)y=
28、2cos的圖象向右平移個單位長度后與函數(shù)y=2sin的圖象重合,則ω的最小值是( ) A. B. C. D. 解析:C [通解 將函數(shù)y=2cos的圖象向右平移個單位長度后,得y=2cos的圖象,由已知得2cos=2sin,所以cos=sin,當ω=時,cos=cos≠sin;當ω=時,cos=cos≠sin;當ω=時,cos=cos=sin,所以ω的最小值為.故選C. 優(yōu)解 將函數(shù)y=2cos的圖象向右平移個單位長度后,得y=2cos=2cos的圖象,由已知得cos=sin,所以sin=sin,所以++2kπ=ωx+,k∈Z,所以ω=+10k,k∈Z,又ω>0,所以ω的最小值
29、為.故選C.] 11.(多選題)在平面直角坐標系xOy中,角α以Ox為始邊,終邊經(jīng)過點P(-1,m)(m>0),則下列各式的值一定為負的是( ) A.sin α+cos α B.sin α-cos α C.sin αcos α D. 解析:CD [本題考查三角函數(shù)定義的應用及三角函數(shù)值符號的判斷.由已知得r=|OP|=,則sin α=>0,cos α=-<0,tan α=-m<0, ∴sin x+cos α的符號不確定,sin α-cos α>0,sin αcos α<0,=cos α<0.故選CD.] 12.(2019·全國Ⅲ卷)設函數(shù)f(x)=sin(ω>0),已知f(
30、x)在[0,2π]有且僅有5個零點,下述四個結論: ①f(x)在(0,2π)有且僅有3個極大值點;②f(x)在(0,2π)有且僅有2個極小值點; ③f(x)在單調遞增;④ω的取值范圍是. 其中所有正確結論的編號是( ) A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④ 解析: D [∵f(x)=sin(ω>0),在[0,2π]有且僅有5個零點.∴0≤x≤2π,≤ωx+≤2πω+,5π≤2πω+<6π,≤ω<,④正確.如圖x1,x2,x3為極大值點為3個,①正確;極小值點為2個或3個. ②不正確. 當0<x<時,<ωx+<+,當ω=時,+=+=<. ∴③正確,故選D.]
31、二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分) 13.(2019·全國Ⅰ卷)函數(shù)f(x)=sin-3cos x的最小值為________. 解析:∵f(x)=sin-3cos x=-cos 2x-3cos x, ∴f(x)min=-4. 答案:-4 14.(2019·吉林三模)將函數(shù)f(x)=2cos 2x的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象,若函數(shù)g(x)在區(qū)間和上均單調遞增,則實數(shù)a的取值范圍是____________. 解析:由題意可知,函數(shù)f(x)在區(qū)間和上均單調遞增,根據(jù)f(x)=2cos 2x的圖象可知,-≤0且≤2a-≤π,解得≤a≤. 答案: 15.
32、(2018·北京卷)設函數(shù)f(x)=cos (ω>0).若f(x)≤f對任意的實數(shù)x都成立,則ω的最小值為________. 解析:本題考查三角函數(shù).∵f(x)≤f對任意x∈R恒成立,∴f為f(x)的最大值,∴f=cos =1,∴ω-=2kπ,解得ω=8k+,k∈Z,又∵ω>0,∴ω的最小值為. 答案: 16.(2019·煙臺三模)函數(shù)f(x)=的圖象與函數(shù)g(x)=2sinx(0≤x≤4)的圖象的所有交點為(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),則f(y1+y2+…+yn)+g(x1+x2+…+xn)=________. 解析:如圖,畫出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象,可知有4個交點,并且關于點(2,0)對稱,所以y1+y2+y3+y4=0,x1+x2+x3+x4=8,所以f(y1+y2+y3+y4)+g(x1+x2+x3+x4)=f(0)+g(8)=+0=. 答案: - 18 -
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