2020屆高考數(shù)學大二輪復習 層級一 第三練 不等式、合情推理教學案

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1、 層級一 第三練 不等式、合情推理 [考情考向·高考導航] 1．利用不等式性質(zhì)比較大小，利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃問題是高考的熱點． 2．一元二次不等式常與函數(shù)、數(shù)列結(jié)合考查一元二次不等式的解法和參數(shù)的取值范圍． 3．利用不等式解決實際問題． 4．以數(shù)表、數(shù)陣、圖形為背景與數(shù)列、周期性等知識相結(jié)合考查歸納推理和類比推理，多以小題形式出現(xiàn)． [真題體驗] 1．(2019·全國Ⅱ卷)若變量x，y滿足約束條件則z＝3x－y的最大值是________． 解析：畫出線性區(qū)域如圖， 由z＝3x－y，知y＝3x－z，平移直線y＝3x，過點(3,0)時，z最大，即zmax＝3

2、×3－0＝9. 答案：9 2．(2019·天津卷)設x＞0，y＞0，x＋2y＝5，則的最小值為____________． 解析：使用基本不等式求最值時一定要驗證等號是否能夠成立.＝＝≥＝4， 等號當且僅當xy＝3，即x＝3，y＝1時成立． 答案：4 3．(2017·江蘇卷)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是________． 解析：總費用4x＋×6＝4≥4×2＝240，當且僅當x＝，即x＝30時等號成立． 答案：30 4．(全國卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問

3、成語競賽的成績．老師說，你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則(　　) A．乙可以知道四人的成績 B．丁可以知道四人的成績 C．乙、丁可以知道對方的成績 D．乙、丁可以知道自己的成績 解析：D　[四人所知只有自己看到，老師所說及最后甲說的話．甲不知自己成績→乙、丙中必有一優(yōu)一良(若為兩優(yōu)，甲會知道自己成績；兩良亦然)，→乙看了丙成績，知自己成績→丁看甲，甲、丁中也為一優(yōu)一良，丁知自己成績．] [主干整合] 1．不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法． 一元二次不等式ax

4、2＋bx＋c＞0(或＜0)(a≠0，Δ＝b2－4ac＞0)，如果a與ax2＋bx＋c同號，則其解集在兩根之外；如果a與ax2＋bx＋c異號，則其解集在兩根之間． (2)簡單分式不等式的解法． ①＞0(＜0)?f(x)g(x)＞0(＜0)． ②≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. (3)指數(shù)不等式、對數(shù)不等式及抽象函數(shù)不等式，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解． 2．幾個不等式 (1)a2＋b2≥2ab(取等號的條件是當且僅當a＝b)． (2)ab≤2(a，b∈R)． (3) ≥≥ ≥(a＞0，b＞0)． (4)2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，當a＝b時等

5、號成立)． 3．簡單的線性規(guī)劃問題 解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再根據(jù)目標函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找到目標函數(shù)達到最值時可行域上的頂點(或邊界上的點)，但要注意作圖一定要準確，整點問題要驗證解決． 熱點一　不等式的性質(zhì)及解法 [題組突破] 1．(2019·全國Ⅱ卷)若a＞b，則(　　) A．ln(a－b)＞0　　　　　　 B．3a＜3b C．a(chǎn)3－b3＞0 D．|a|＞|b| 解析：C　[若a＞b，則a3＞b3，即a3－b3＞0.] 2．(2019·煙臺三模)設p：x2－x－20＞0，q：＜0，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

6、C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：A　[當p成立時，x2－x－20＞0，解之得x＞5或x＜－4，在此條件下＜0成立，顯然充分性成立．當q成立時，＜0，解之得x＜－2或－1＜x＜1或x＞2，顯然必要性不成立，因此p是q的充分不必要條件．] 3．(2020·西安模擬)已知函數(shù)f(x)＝則不等式f(x－1)≤0的解集為(　　) A．{x|0≤x≤2} B．{x|0≤x≤3} C．{x|1≤x≤2} D．{x|1≤x≤3} 解析：D　[由題意，得f(x－1)＝當x≥2時，由2x－2－2≤0，解得2≤x≤3；當x＜2時，由22－x－2≤0，解得1≤x＜2.綜上所述，不等式f(

7、x－1)≤0的解集為{x|1≤x≤3}．] 　 解不等式的常見策略 (1)解簡單的分式、指數(shù)、對數(shù)不等式的基本思想是把它們等價轉(zhuǎn)化為整式不等式(一般為一元二次不等式)求解． (2)解決含參數(shù)不等式的難點在于對參數(shù)的恰當分類，關鍵是找到對參數(shù)進行討論的原因，確定好分類標準，有理有據(jù)、層次清楚地求解． 熱點二　簡單的線性規(guī)劃 [題組突破] 1．(2019·全國Ⅲ卷)記不等式組表示的平面區(qū)域為D.命題p：?(x，y)∈D,2x＋y≥9；命題q：?(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面給出了四個命題 ①p∨q?、趐∨q?、踦∧q?、躳∧q 這四個命題中，所有真命題的編號是(　　) A

8、．①③　　　　　　　　 　 B．①② C．②③ D．③④ 解析：A　[本題考點為線性規(guī)劃和命題的真假，側(cè)重不等式的判斷，有一定難度．不能準確畫出平面區(qū)域?qū)е虏坏仁秸`判，根據(jù)直線的斜率和截距判斷直線的位置，通過直線方程的聯(lián)立求出它們的交點，可采用特殊值判斷命題的真假．如圖，平面區(qū)域D為陰影部分，由得即A(2,4)，直線2x＋y＝9與直線2x＋y＝12均過區(qū)域D，則p真q假，有p假q真，所以①③真②④假．故選A.] 2．(2020·湖北黃岡模擬)已知x，y滿足約束條件且z＝x＋3y的最小值為2，則常數(shù)k＝________. 解析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示．

9、 由z＝x＋3y得y＝－x＋，結(jié)合圖形可知當直線y＝－x＋過點A時，z最小．聯(lián)立方程，得得A(2，－2－k)，此時zmin＝2＋3(－2－k)＝2，解得k＝－2. 答案：－2 3．若實數(shù)x，y滿足約束條件則的最小值為________． 解析： 作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示．因為表示平面區(qū)域內(nèi)的點與定點P(0,1)連線的斜率．由圖知，點P與點A連線的斜率最小，所以min＝kPA＝＝－. 答案：－ 4．(2020·福州模擬)某工廠制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工兩道工序．已知生產(chǎn)一把椅子需要木工4個工作時，漆工2個工作時；生產(chǎn)一張桌子需要木工8個工作時，漆工

10、1個工作時．生產(chǎn)一把椅子的利潤為1 500元，生產(chǎn)一張桌子的利潤為2 000元．該廠每個月木工最多完成8 000個工作時，漆工最多完成1 300個工作時．根據(jù)以上條件，該廠安排生產(chǎn)每個月所能獲得的最大利潤是________元． 解析： 設該廠每個月生產(chǎn)x把椅子，y張桌子，利潤為z元，則得約束條件 z＝1 500x＋2 000y. 畫出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示．畫出直線3x＋4y＝0，平移該直線，可知當該直線經(jīng)過點P時，z取得最大值．由得即P(200,900)，所以zmax＝1 500×200＋2 000×900＝2 100 000.故每個月所獲得的最大利潤為2 100

11、 000元． 答案：2 100 000 　 簡單的線性規(guī)劃問題的解題策略 在給定約束條件的情況下，求線性目標函數(shù)的最優(yōu)解主要用圖解法，其主要思路步驟為： (1)根據(jù)約束條件作出可行域． (2)根據(jù)所要求的目標函數(shù)的最值，令目標函數(shù)z＝0，將所得直線平移，得到可行解，并確定最優(yōu)解． (3)將取得最優(yōu)解時的點的坐標確定，并求出此時的最優(yōu)解． 熱點三　基本不等式的應用 [例1]　(1)(2020·長春調(diào)研)若a，b∈R，ab＞0，則的最小值為________． (2)如圖所示，一張正方形的黑色硬紙板，剪去兩個一樣的小矩形得到一個“E”形的圖形，設小矩形的長、寬分別為a，b(2

12、≤a≤10)，剪去部分的面積為8，則＋的最大值為(　　) A．1　　　　　　　　　　 B. C. D．2 [解析]　(1)∵a，b∈R，ab＞0， ∴≥＝4ab＋≥2 ＝4. 當且僅當即時取得等號． 故的最小值為4. (2)由題意知，2ab＝8，所以b＝.因為2≤a≤10， 所以＋＝＋ ＝1＋≤1＋＝， 當且僅當a＝，即a＝6時，＋取得最大值. [答案]　(1)4　(2)C 利用不等式求最值的解題技巧 (1)湊項：通過調(diào)整項的符號，配湊項的系數(shù)，使其積或和為定值． (2)湊系數(shù)：若無法直接運用基本不等式求解，可以通過湊系數(shù)后得到和或積為定值，從而可利用基本不等

13、式求最值． (3)換元：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值．即化為y＝m＋＋Bg(x)(A＞0，B＞0)，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用基本不等式來求最值． (4)單調(diào)性：應用基本不等式求最值時，若遇等號取不到的情況，則應結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解． (1)(2020·山師附中模擬)已知a＞1，b＞1，且ab＋2＝2(a＋b)，則ab的最小值為____________． 解析：因為ab＋2＝2(a＋b)≥4，當且僅當a＝b時取等號，所以(－2)2≥2. 因為a＞1，b＞1，所以≥2＋，ab≥6＋4. 即ab的最小值為6＋4.

14、 答案：6＋4 (2)(2019·昆明二模)已知正實數(shù)a，b滿足a＋3b＝7，則＋的最小值為____________． 解析：＋＝[(a＋1)＋3(2＋b)]＝≥，當且僅當＝時取等號． 答案： (3)(雙空填空題)若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，則ab的最大值為________，＋的最小值為________． 解析：本題考查基本不等式的應用．∵a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，∴a＋2b＝4，∴ab＝a·2b≤×2＝2，當且僅當a＝2b，即a＝2，b＝1時等號成立，∴ab的最大值為2.∵＋＝·＝≥＝，當且僅當a＝b時等號成立，∴＋的最小值為. 答案：2　 熱點四　合情推理

15、 邏輯 推理 素養(yǎng) 邏輯推理——合情推理中的核心素養(yǎng) 邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個命題的思維過程．主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹. [例2]　(1)(2020·濟南模擬)我國南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中記錄了一個由正整數(shù)構(gòu)成的三角形數(shù)表，我們通常稱之為楊輝三角．以下數(shù)表的構(gòu)造思路就來源于楊輝三角． 從第二行起，每一行中的數(shù)均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個數(shù)a，則a的值為(　　) A．2 018×21 008　　　　　　 B．2 018×21

16、009 C．2 020×21 008 D．2 020×21 009 [解析]　C　[通解　當?shù)谝恍杏?個數(shù)時，最后一行為4＝2×21， 當?shù)谝恍杏?個數(shù)時，最后一行為12＝3×22， 當?shù)谝恍杏?個數(shù)時，最后一行為32＝4×23， 當?shù)谝恍杏?個數(shù)時，最后一行為80＝5×24， 依次類推，當?shù)谝恍杏? 010個數(shù)時，最后一行為a＝1 010×21 009＝2 020×21 008，故選C. 優(yōu)解　該三角形數(shù)表，從第一行開始，每行中間的數(shù)或中間兩數(shù)的均值依次為1 010,2 020,4 040,8 080，…，易知上述數(shù)列是一個首項為1 010，公比為2的等比數(shù)列．該三角形數(shù)表共

17、有1 010行，所以最后一行的數(shù)a＝1 010×21 010－1＝1 010×21 009＝2 020×21 008，故選C.] (2)學校藝術(shù)節(jié)對同一類的A，B，C，D四項參賽作品只評一個一等獎，在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預測如下， 甲說：“是C或D作品獲得一等獎”； 乙說：“B作品獲得一等獎”； 丙說：“A，D兩項作品未獲得一等獎”； 丁說：“是C作品獲得一等獎”． 若這四位同學中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是________． [解析]　若獲得一等獎的是A，則甲、乙、丙、丁四位同學說的話都錯；若獲得一等獎的是B，則乙、丙兩位同學說的話對

18、，符合題意；若獲得一等獎的是C，則甲、丙、丁三位同學說的話都對；若獲得一等獎的是D，則只有甲同學說的話對．故獲得一等獎的作品是B. [答案]　B 合情推理的解題思路 (1)在進行歸納推理時，要先根據(jù)已知的部分個體，把它們適當變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論． (2)在進行類比推理時，要充分考慮已知對象性質(zhì)的推理過程，然后通過類比，推導出類比對象的性質(zhì)． (3)歸納推理的關鍵是找規(guī)律，類比推理的關鍵是看共性． (1)(2019·臨沂三模)設△ABC的三邊長分別為a，b，c，△ABC的面積為S，則△ABC的內(nèi)切圓半徑為r＝.將此結(jié)論類比到空間四面體：設四面體S－AB

19、C的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，體積為V，則四面體的內(nèi)切球半徑為(　　) A. B. C. D. 解析：C　[設四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是r，所以四面體的體積等于以O為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和．則四面體的體積為：V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r，所以r＝.] (2)(2020·江蘇兩市聯(lián)考)古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù)1,3,6,10，…，第n個三角形數(shù)為＝n2＋n.記第n個k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式： 三角形數(shù)　　　　　　　 N(n,3)＝

20、n2＋n， 正方形數(shù) N(n,4)＝n2， 五邊形數(shù) N(n,5)＝n2－n， 六邊形數(shù) N(n,6)＝2n2－n， …… …… 可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(8,12)＝________. 解析：原已知式子可以化為N(n,3)＝n2＋n＝n2＋n，N(n,4)＝n2＝n2＋n，N(n,5)＝n2－n＝n2＋n，N(n,6)＝2n2－n＝n2＋n，由歸納推理可得N(n，k)＝n2＋n， 故N(8,12)＝×82＋×8＝288. 答案：288 限時40分鐘　滿分80分 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1．(2019·濰坊

21、三模)設a、b是兩個實數(shù)，且a≠b，①a5＋b5＞a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③＋＞2.上述三個式子恒成立的有(　　) A．0　　　　　　　　　　　 B．1個 C．2個 D．3個 解析：B　[①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)＞0不恒成立；(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；＋＞2或＋＜－2，故選B.] 2．(2019·龍巖質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)＝則“0＜x＜1”是“f(x)＜0”的(

22、　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：A　[當0＜x＜1時，f(x)＝log2x＜0， 所以“0＜x＜1”?“f(x)＜0”； 若f(x)＜0，則或 解得0＜x＜1或－1＜x≤0，所以－1＜x＜1， 所以“f(x)＜0”?/ “0＜x＜1”．故選A.] 3．(2019·北京卷)若x，y滿足|x|≤1－y，且y≥－1，則3x＋y的最大值為(　　) A．－7 B．1 C．5 D．7 解析： C　[本題是簡單線性規(guī)劃問題的基本題型，根據(jù)“畫、移、解”等步驟可得解．題目難度不大，注重了基礎知識、基本技能的考查．

23、 由題意，作出可行域如圖陰影部分所示. 設z＝3x＋y，y＝z－3x， 當直線l0∶y＝z－3x經(jīng)過點(2，－1)時，z取最大值5.故選C.] 4．(2020·廣州模擬)若關于x的不等式x2＋ax－2＞0在區(qū)間[1,5]上有解，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A. B. C．(1，＋∞) D．(－∞，－1) 解析：A　[令f(x)＝x2＋ax－2，則f(0)＝－2， ①頂點橫坐標x＝－≤0，要使關于x的不等式x2＋ax－2＞0在區(qū)間[1,5]上有解，則應滿足f(5)＞0，解得a＞－； ②－＞0時，要使關于x的不等式x2＋ax－2＞0在區(qū)間[1,5]上有解，也應滿足f(5

24、)＞0，解得a＞－. 綜上可知：實數(shù)a的取值范圍是，故選A.] 5．已知an＝n，把數(shù)列{an}的各項排列成如下的形狀： a1 a2　a3　a4 a5　a6　a7　a8　a9 …… 記A(m，n)表示第m行的第n個數(shù)，則A(11,2)＝(　　) A.67 B.68 C.101 D.102 解析：D　[由A(m，n)表示第m行的第n個數(shù)可知，A(11,2)表示第11行的第2個數(shù)，根據(jù)圖形可知：每一行的最后一項的項數(shù)為行數(shù)的平方，所以第10行的最后一項的項數(shù)為102＝100，即為a100，所以第11行的第2項的項數(shù)為100＋2＝102，所以A(11,2)＝a102＝102

25、，故選D.] 6．(2019·泉州三模)已知向量a＝(m,2)，b＝(1，n－1)，若a⊥b，則2m＋4n的最小值為(　　) A．2 B．2 C．4 D．8 解析：C　[因為向量a＝(m,2)，b＝(1，n－1)，a⊥b， 所以m＋2(n－1)＝0，即m＋2n＝2. 所以2m＋4n≥2＝2＝2＝4(當且僅當即時，等號成立)， 所以2m＋4n的最小值為4，故選C.] 7．(2019·浙江卷)若a＞0，b＞0，則“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：A　[易出現(xiàn)的錯誤有，一是基

26、本不等式掌握不熟，導致判斷失誤；二是不能靈活的應用“賦值法”，通過特取a，b的值，從假設情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果． 當a＞0，b＞0時，a＋b≥2，則當a＋b≤4時，有2≤a＋b≤4，解得ab≤4，充分性成立；當a＝1，b＝4時，滿足ab≤4，但此時a＋b＝5＞4，必要性不成立，綜上所述，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要條件．] 8．(多選題)下列命題正確的是(　　) A．已知a，b都是正數(shù)，且>，則a

27、x≤1且y≤1”是“x＋y≤2”的充要條件 解析：AC　[本題考查函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，比較大小以及充分必要條件．A.已知a，b都是正數(shù)，由>，得ab＋b>ab＋a，則a

28、后，三人成績互不相同且只有一個人預測正確，那么三人按成績由高到低的次序為(　　) A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙 解析：A　[若甲預測正確，則乙、丙預測都不對，那么三人成績由高到低的次序為甲、乙、丙．] 10．(2019·滄州三模)司機甲、乙加油習慣不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定錢數(shù)的油，恰有兩次司機甲、乙同時加同價格的油，但兩次的油價不同，則從這兩次加油的均價角度分析(　　) A．司機甲的均價低 B．司機乙的均價低 C．油價先高后低司機甲的均價低 D．油價先低后高司機甲的均價低 解析：B　[設司機甲每次加m升油，司機乙每次加n元錢的