2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第6節(jié) 拋物線教學(xué)案 理（含解析）北師大版

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1、第六節(jié)　拋物線 [考綱傳真]　1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率).2.理解數(shù)形結(jié)合思想.3.了解拋物線的實(shí)際背景及拋物線的簡單應(yīng)用． 1．拋物線的定義 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不過F)的距離相等的點(diǎn)的集合叫作拋物線．點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線． 2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn) y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 方程 p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離 圖形 頂點(diǎn) O(0,0) 對(duì)稱軸 y＝0

2、 x＝0 焦點(diǎn) F F F F 離心率 e＝1 準(zhǔn)線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半徑 (其中 P(x0， y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y(tǒng)0＋ |PF|＝－y0＋ 1．y2＝ax(a≠0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x＝－. 2.設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2)弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)． (3)以弦A

3、B為直徑的圓與準(zhǔn)線相切． (4)通徑：過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦，長度等于2p，通徑是過焦點(diǎn)最短的弦． [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線． (　　) (2)若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與拋物線一定相切． (　　) (3)若一拋物線過點(diǎn)P(－2,3)，則其標(biāo)準(zhǔn)方程可寫為y2＝2px(p＞0)．(　　) (4)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．拋物線y＝x2的準(zhǔn)線方程是(　　) A

4、．y＝－1　　　　　　　　 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x＝－2 A　[∵y＝x2，∴x2＝4y，∴準(zhǔn)線方程為y＝－1.] 3．(教材改編)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過點(diǎn)P(－4，－2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A．y2＝－x B．x2＝－8y C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y D　[若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)拋物線方程為x2＝my，由題意可知16＝－2m，∴m＝－8，即x2＝－8y.若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)拋物線方程為y2＝nx，由題意，得4＝－4n，∴n＝－1， ∴y2＝－x. 綜上知，y2＝－x或x2＝－8y.故選D．] 4．(教材改

5、編)若拋物線y＝4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是(　　) A. B． C. D．0 B　[M到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點(diǎn)的距離，又準(zhǔn)線方程為y＝－，設(shè)M(x，y)，則y＋＝1，∴y＝.] 5．(教材改編)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1＋x2＝6，則|PQ|等于________． 8　[|PQ|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.] 拋物線的定義及應(yīng)用 【例1】　(1)已知F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，且|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為(　　) A.

6、 B．1 C. D． (2)已知拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，A(3,2)，則|PA|＋|PF|的最小值為________，取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為________． (1)C　(2)　(2,2)　[(1)如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，AB的中點(diǎn)為M，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，MM1⊥l于M1，由拋物線的定義知p＝，|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為|MM1|－＝(|AA1|＋|BB1|)－＝.故選C. (2)將x＝3代入拋物線方程y2＝2x，得y＝±.因?yàn)椋?，所以點(diǎn)A在拋物線內(nèi)部，如圖所示． 過點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)

7、Q，則|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|， 當(dāng)PA⊥l，即A，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|＋|PQ|最小， 最小值為，即|PA|＋|PF|的最小值為，此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，代入y2＝2x，得x＝2，所以所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)．] [規(guī)律方法]　應(yīng)用拋物線定義的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) (1)由拋物線定義，把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離相互轉(zhuǎn)化． (2)注意靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)F的距離|PF|＝|x0|＋或|PF|＝|y0|＋. (1)動(dòng)圓過點(diǎn)(1,0)，且與直線x＝－1相切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為________． (2)(2017· 全國卷Ⅱ)已知F是拋物

8、線C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|＝________. (1)y2＝4x　(2)6　[(1)設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為(x，y)，則圓心到點(diǎn)(1,0)的距離與到直線x＝－1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知?jiǎng)訄A的圓心的軌跡方程為y2＝4x. (2)如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)P，∴PM∥OF. 由題意知，F(xiàn)(2,0)，|FO|＝|AO|＝2. ∵點(diǎn)M為FN的中點(diǎn)，PM∥OF， ∴|MP|＝|FO|＝1. 又|BP|＝|AO|＝2， ∴|MB|＝|MP|＋|B

9、P|＝3. 由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.] 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì) 【例2】　(1)如圖所示，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，則拋物線的方程為(　　) A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x (2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足．如果直線AF的傾斜角為120°，那么|PF|＝________. (1)B　(2)4　[(1)如圖，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線

10、，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)G，設(shè)|BF|＝a，則由已知得|BC|＝2a，由定義得|BD|＝a，故∠BCD＝30° ，則在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，又|AF|＝4，∴|AC|＝4＋3a，|AE|＝4，∴4＋3a＝8，從而得a＝，∵AE∥FG， ∴＝，即＝，p＝2.∴拋物線的方程為y2＝4x.故選B． (2)法一：拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.因?yàn)橹本€AF的傾斜角為120°，所以∠AFO＝60°.又tan 60°＝，所以yA＝2.因?yàn)镻A⊥l，所以yP＝y(tǒng)A＝2.將其代入y2＝4x，得xP＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4. 法

11、二：拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.因?yàn)镻A⊥l，所以|PA|＝|PF|.又因?yàn)橹本€AF的傾斜角為120°，所以∠AFO＝60°，所以∠PAF＝60°，所以△PAF為等邊三角形，所以|PF|＝|AF|＝＝4.] [規(guī)律方法]　(1)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問題更是如此． (1)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：

12、y2＝4x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)．若|PF|＝4，則△POF的面積為(　　) A. B． C．2 D．3 (2)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，則拋物線C的方程為(　　) A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x (1)B　(2)C　[(1)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線為直線x＝－1.設(shè)點(diǎn)P(x，y)，由拋物線的定義，得|PF|＝x＋1＝4，所以x＝3.把x＝3代入y2＝4x，得y＝±2，故△POF的面積S＝

13、×|OF|×|y|＝×1×2＝.故選 B． (2)如圖所示，拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為l：x＝－.由|MF|＝5，可得點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為5，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為5－，可設(shè)M，則MF中點(diǎn)B的坐標(biāo)為B，∵以MF為直徑的圓過點(diǎn)A(0,2)，∴|AB|＝|MF|＝，則有2＋2＝2，解得m＝4，由點(diǎn)M在拋物線上可得m2＝42＝2p，解得p＝2或p＝8，∴所求拋物線方程為y2＝4x或y2＝16x，故選C.] 直線與拋物線的位置關(guān)系 【例3】　(2018·全國卷Ⅰ)設(shè)拋物線C：y2＝2x，點(diǎn)A(2,0)，B(－2,0)，過點(diǎn)A的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)． (1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求

14、直線BM的方程； (2)證明：∠ABM＝∠ABN. [解]　(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，l的方程為x＝2，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,2)或(2，－2)． 所以直線BM的方程為y＝x＋1或y＝－x－1. (2)證明：當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，AB為MN的垂直平分線， 所以∠ABM＝∠ABN. 當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y＝k(x－2)(k≠0)， M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1>0，x2>0. 由得ky2－2y－4k＝0， 可知y1＋y2＝，y1y2＝－4. 直線BM，BN的斜率之和為 kBM＋kBN＝＋＝.① 將x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表達(dá)式代入

15、①式分子，可得 x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0. 所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的傾斜角互補(bǔ)，所以∠ABM＝∠ABN. 綜上，∠ABM＝∠ABN. [規(guī)律方法]　解決直線與拋物線位置關(guān)系問題的三種常用方法 (1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系． (2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用弦長公式． (3)涉及拋物線的弦長、弦中點(diǎn)等相關(guān)問題時(shí)，一般采用“設(shè)而不求，整體代入”的解法． 提醒：涉及弦的中點(diǎn)、弦所在直線的斜

16、率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解． (1)過點(diǎn)(0,1)作直線，使它與拋物線y2＝4x僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有________條． (2)(2019·臨沂模擬)已知點(diǎn)A(m,4)(m＞0)在拋物線x2＝4y上，過點(diǎn)A作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線l1和l2，且l1，l2與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為B，C. ①求證：直線BC的斜率為定值； ②若拋物線上存在兩點(diǎn)關(guān)于BC對(duì)稱，求|BC|的取值范圍． (1)3　[結(jié)合圖形分析可知(圖略)，滿足題意的直線共有3條：直線x＝0，過點(diǎn)(0,1)且平行于x軸的直線以及過點(diǎn)(0,1)且與拋物線相切的直線(非直線x＝0)．] (2)[解]?、僮C明：∵點(diǎn)A(m,4

17、)在拋物線上， ∴16＝m2，∴m＝±4，又m＞0，∴m＝4. 設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)， 則kAB＋kAC＝＋＝＝0， ∴x1＋x2＝－8. ∴kBC＝＝＝＝－2， ∴直線BC的斜率為定值－2. ②設(shè)直線BC的方程為y＝－2x＋b，P(x3，y3)，Q(x4，y4) 關(guān)于直線BC對(duì)稱，設(shè)PQ的中點(diǎn)為M(x0，y0)，則 kPQ＝＝＝＝，∴x0＝1. ∴M(1，－2＋b)． 又點(diǎn)M在拋物線內(nèi)部，∴－2＋b＞，即b＞. 由得x2＋8x－4b＝0， ∴x3＋x4＝－8，x3x4＝－4b． ∴|BC|＝|x3－x4|＝· ＝×. 又b＞，∴|BC|＞10.

18、 ∴|BC|的取值范圍為(10，＋∞)． 1.(2018·全國卷Ⅰ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)(－2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則·＝(　　) A．5　　　　　　　　 B．6 C．7 D．8 D　[過點(diǎn)(－2,0)且斜率為的直線的方程為y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨設(shè)M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以＝(0,2)，＝(3,4)，所以·＝8.故選D．] 2．(2016·全國卷Ⅰ)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距

19、離為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 B　[設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，圓的方程為x2＋y2＝r2. ∵|AB|＝4，|DE|＝2， 拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－， ∴不妨設(shè)A，D. ∵點(diǎn)A，D在圓x2＋y2＝r2上， ∴∴＋8＝＋5， ∴p＝4(負(fù)值舍去)． ∴C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.] 3.(2018·全國卷Ⅲ)已知點(diǎn)M(－1,1)和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若∠AMB＝90°，則k＝________. 2　[由題意知拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，則過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線方程為y＝k(x－1)(k≠

20、0)，由消去y，得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝1.由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，則y1＋y2＝，y1y2＝－4.由∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，將x1＋x2＝，x1x2＝1與y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2.] 4.(2018·全國卷Ⅱ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k＞0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8. (1)求l的方程； (2)求過點(diǎn)

21、A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程． [解]　(1)由題意得F(1,0)，l的方程為y＝k(x－1)(k＞0)． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝. 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝. 由題設(shè)知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.因此l的方程為y＝x－1. (2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則 解得或 因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. - 9 -