2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 概率 3.3 隨機數(shù)的含義與應(yīng)用 3.4 概率的應(yīng)用學(xué)案 新人教B版必修3

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1、 3.3 隨機數(shù)的含義與應(yīng)用 3.4 概率的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標　1.通過具體問題感受幾何概型的概念，體會幾何概型的意義.2.會求一些簡單的幾何概型的概率.3.了解隨機數(shù)的意義，能用計算機隨機模擬法估計事件的概率.4.應(yīng)用概率解決實際問題． 知識點一　幾何概型的概念 思考　往一個方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一點上．這個試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個，還是無限個？若沒有人為因素，每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性是否相等？ 　 　 梳理 1．幾何概型的定義 事件A理解為區(qū)域Ω的某一子區(qū)域A，如圖，A的概 率只與子區(qū)域A的__________(長度、面積或體積)成____

2、____，而與A的__________和________無關(guān)．滿足以上條件的試驗稱為__________． 2．幾何概型的特點 (1)試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有________． (2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性________． 知識點二　幾何概型的概率公式 思考　既然幾何概型的基本事件有無限多個，難以像古典概型那樣計算概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件數(shù)與總的基本事件數(shù)之比？ 　 梳理 幾何概型的概率計算公式 在幾何概型中，事件A的概率定義為：______________，其中，μΩ表示________________，μA表示____________

3、______________． 知識點三　均勻隨機數(shù) 1．隨機數(shù) 隨機數(shù)就是在________________，并且得到這個范圍內(nèi)的________________________． 2．計算機隨機模擬法或蒙特卡羅方法 建立一個概率模型，它與某些我們____________有關(guān)，然后設(shè)計適當?shù)脑囼?，并通過這個試驗的結(jié)果來______________．按照以上思路建立起來的方法稱為計算機隨機模擬法或蒙特卡羅方法． 類型一　幾何概型的識別 例1　下列關(guān)于幾何概型的說法錯誤的是(　　) A．幾何概型是古典概型的一種，基本事件都要具有等可能性 B．幾何概型中事件發(fā)生的概率與它的形

4、狀或位置無關(guān) C．幾何概型在一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個 D．幾何概型中每個結(jié)果的發(fā)生都具有等可能性 反思與感悟　幾何概型特點的理解 (1)無限性：在每次隨機試驗中，不同的試驗結(jié)果有無窮多個，即基本事件有無限多個； (2)等可能性：在每次隨機試驗中，每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，即基本事件的發(fā)生是等可能的． 跟蹤訓(xùn)練1　判斷下列概率模型是古典概型還是幾何概型． (1)先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求出現(xiàn)兩個“4點”的概率； (2)如圖所示，圖中有一個轉(zhuǎn)盤，甲、乙玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當指針指向B區(qū)域時，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率． 　 　 類型二　幾何概型的

5、計算 命題角度1　與長度有關(guān)的幾何概型 例2　某公共汽車站，每隔15分鐘有一輛車發(fā)出，并且發(fā)出前在車站?？?分鐘，求乘客到站候車時間大于10分鐘的概率． 引申探究 1．本例中在題設(shè)條件不變的情況下，求候車時間不超過10分鐘的概率． 2．本例中在題設(shè)條件不變的情況下，求乘客到達車站立即上車的概率．　 　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　若一次試驗中所有可能的結(jié)果和某個事件A包含的結(jié)果(基本事件)都對應(yīng)一個長度，如線段長、時間區(qū)間長、距離、路程等，那么需要先求出各自相應(yīng)的長度，然后運用幾何概型的概率計算公式求出

6、事件A發(fā)生的概率． 跟蹤訓(xùn)練2　平面上畫了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑為r(r＜a)的硬幣任意擲在這個平面上，求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率． 　 　 命題角度2　與面積有關(guān)的幾何概型 例3　設(shè)點M(x，y)在區(qū)域{(x，y)||x|≤1，|y|≤1}上均勻分布出現(xiàn)，求： (1)x＋y≥0的概率； (2)x＋y＜1的概率； (3)x2＋y2≥1的概率． 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　如果每個基本事件可以理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，某個隨機事件的發(fā)生理解為恰好取到上述區(qū)域的某個指定區(qū)域內(nèi)的點，且該

7、區(qū)域中的每一個點被取到的機會都一樣，這樣的概率模型就可以視為幾何概型，并且這里的區(qū)域可以用面積表示，利用幾何概型的概率公式求解． 跟蹤訓(xùn)練3　歐陽修《賣油翁》中寫到，(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌瀝之，自錢孔入而錢不濕．若銅錢是直徑為3 cm的圓，中間有一個邊長為1 cm的正方形孔，若隨機向銅錢上滴一滴油(油滴的大小忽略不計)，則油滴正好落入孔中的概率是(　　) A. B. C. D. 命題角度3　與體積有關(guān)的幾何概型 例4　已知正四面體ABCD的體積為V，P是正四面體ABCD內(nèi)部的點． (1)設(shè)“VP－ABC≥V”的事件為X，求概率P(X)； (2)設(shè)“V

8、P－ABC≥V且VP－BCD≥V”的事件為Y，求概率P(Y)． 　 　 反思與感悟　如果試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示，則其概率的計算公式為 P(A)＝. 解決此類問題的關(guān)鍵是注意幾何概型的條件，分清所求的概率是與體積有關(guān)還是與長度有關(guān)，不要將二者混淆． 跟蹤訓(xùn)練4　在一個球內(nèi)有一棱長為1的內(nèi)接正方體，一動點在球內(nèi)運動，則此點落在正方體內(nèi)部的概率為(　　) A. B.π C. D. 類型三　均勻隨機數(shù)及隨機模擬方法 例5　在如圖所示的正方形中隨機撒一把豆子，計算落在圓中的豆子數(shù)與落在正方形中的豆子數(shù)之比并以此估計圓周率的值. 　 　

9、 　 　 　 　 　 反思與感悟　用隨機數(shù)模擬的關(guān)鍵是把實際問題中事件A及基本事件總體對應(yīng)的區(qū)域轉(zhuǎn)化為隨機數(shù)的范圍．用轉(zhuǎn)盤產(chǎn)生隨機數(shù)，這種方法可以親自動手操作，但費時費力，試驗次數(shù)不可能很大． 用計算機產(chǎn)生隨機數(shù)，可以產(chǎn)生大量的隨機數(shù)，又可以自動統(tǒng)計試驗的結(jié)果，同時可以在短時間內(nèi)進行多次重復(fù)試驗，可以對試驗結(jié)果的隨機性和規(guī)律性有更深刻的認識． 跟蹤訓(xùn)練5　取一根長度為5 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，用均勻隨機模擬方法估計剪得兩段的長都不小于2 m的概率有多大？ 　 　 　 　 　 1．下列概率模型是幾何概型的為(　　)

10、 A．已知a，b∈{1,2,3,4}，求使方程x2＋2ax＋b＝0有實根的概率 B．已知a，b滿足|a|≤2，|b|≤3，求使方程x2＋2ax＋b＝0有實根的概率 C．從甲、乙、丙三人中選2人參加比賽，求甲被選中的概率 D．求張三和李四的生日在同一天的概率(一年按365天計算) 2．面積為S的△ABC，D是BC的中點，向△ABC內(nèi)部投一點，那么點落在△ABD內(nèi)的概率為(　　) A. B. C. D. 3．如圖，在邊長為1的正方形中隨機撒1 000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計陰影部分的面積為________． 4．在200 mL的水中有一個草履蟲，現(xiàn)從中隨

11、機取出20 mL水樣利用顯微鏡觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率是________． 5．在區(qū)間[0,1]上任取三個數(shù)a，b，c，若向量m＝(a，b，c)，求|m|≥1的概率． 　 　 1．幾何概型適用于試驗結(jié)果是無窮多且事件是等可能發(fā)生的概率模型． 2．幾何概型主要用于解決與長度、面積、體積有關(guān)的問題． 3．注意理解幾何概型與古典概型的區(qū)別． 4．理解如何將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型的問題，利用幾何概型公式求解，概率公式為 P(A)＝. 答案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識點一 思考　出現(xiàn)的結(jié)果是無限個；每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的． 梳理 1．幾何度量　正比　位置　形狀　幾何概型

12、 2．(1)無限多個　(2)相等 知識點二 思考　可以用事件A所占有的幾何量與總的基本事件所占有的幾何量之比來表示． 梳理　P(A)＝　區(qū)域Ω的幾何度量　子區(qū)域A的幾何度量 知識點三 1．一定范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生的數(shù)　每一個數(shù)的機會一樣 2．感興趣的量　確定這些量 題型探究 類型一 例1　A　[幾何概型和古典概型是兩種不同的概率模型，幾何概型中的基本事件有無限多個，古典概型中的基本事件有有限個．] 跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，所有可能結(jié)果有6×6＝36(種)，且它們的發(fā)生都是等可能的，因此屬于古典概型． (2)游戲中指針指向B區(qū)域時有無限多個結(jié)果，且它們

13、的發(fā)生都是等可能的，而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”的概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量，即與區(qū)域面積有關(guān)，因此屬于幾何概型． 類型二 命題角度1 例2　解　如圖所示，設(shè)相鄰兩班車的發(fā)車時刻為T1，T2，T1T2＝15. 設(shè)T0T2＝3，TT0＝10，記“乘客到站候車時間大于10分鐘”為事件A. 則當乘客到站時刻t落到T1T上時，事件A發(fā)生． 因為T1T＝15－3－10＝2，T1T2＝15， 所以P(A)＝＝. 引申探究　 1．解　由原題解析圖可知，當t落在TT2上時，候車時間不超過10分鐘，故所求概率P＝＝. 2．解　由原題解析圖可知，當t落在T0T2上時，乘

14、客立即上車，故所求概率P＝＝＝. 跟蹤訓(xùn)練2　解　記“硬幣不與任何一條平行線相碰”為事件A，如圖，由圖可知：硬幣圓心在線段AB上的任意一點的出現(xiàn)是等可能的．圓心在線段CD(不含點C、D)上出現(xiàn)時硬幣不與平行線相碰，所以P(A)＝＝＝. 命題角度2 例3　解　如圖，滿足|x|≤1，|y|≤1的點(x，y)組成一個邊長為2的正方形(ABCD)區(qū)域(含邊界)，S正方形ABCD＝4. (1)x＋y＝0的圖象是直線AC，滿足x＋y≥0的點在AC的右上方(含AC)，即在△ACD內(nèi)(含邊界)，而S△ACD＝·S正方形ABCD＝2，所以P(x＋y≥0)＝＝. (2)設(shè)E(0,1)，F(xiàn)(1,0

15、)，則x＋y＝1的圖象是EF所在的直線，滿足x＋y＜1的點在直線EF的左下方，即在五邊形ABCFE內(nèi)(不含邊界EF)，而S五邊形ABCFE＝S正方形ABCD－S△EDF＝4－＝， 所以P(x＋y＜1)＝＝＝. (3)滿足x2＋y2＝1的點是以原點為圓心的單位圓O，S⊙O＝π， 所以P(x2＋y2≥1)＝＝. 跟蹤訓(xùn)練3　A　[∵S正方形＝1 cm2，S圓＝π·2＝(cm2)， ∴P＝＝，故選A.] 命題解度3 例4　解　(1)如圖，分別取DA、DB、DC上的點E、F、G，并使DE＝3EA，DF＝3FB，DG＝3GC，連接EF、FG、GE，則平面EFG∥平面ABC. 當P在正

16、四面體DEFG內(nèi)部運動時，滿足VP－ABC≥V，故P(X)＝＝3＝3＝. (2)在AB上取點H，使AH＝3HB，在AC上取點I，使AI＝3IC，在AD上取點J，使AJ＝3JD，連接JH、JI，分別交EF、EG于點M、N，連接MN、HI，則P在正四面體AHIJ內(nèi)部運動時，滿足VP－BCD≥V. 結(jié)合(1)可知，當P在正四面體DEFG的內(nèi)部及正四面體AHIJ的內(nèi)部運動，即P在正四面體EMNJ內(nèi)部運動時， 滿足VP－ABC≥V且VP－BCD≥V， 于是P(Y)＝＝3＝3＝. 跟蹤訓(xùn)練4　D　[由題意可知這是一個幾何概型，棱長為1的正方體的體積V1＝1，球的直徑是正方體的體對角線長，故球的半

17、徑R＝，球的體積V2＝π×3＝π，則此點落在正方體內(nèi)部的概率P＝＝.] 類型三 例5　解　隨機撒一把豆子，每個豆子落在正方形內(nèi)任何一點是等可能的，落在每個區(qū)域的豆子數(shù)與這個區(qū)域的面積近似成正比， 即≈. 設(shè)正方形的邊長為2，則圓的半徑為1，則＝＝，由于落在每個區(qū)域的豆子數(shù)是可以數(shù)出來的， 所以π≈×4.所以就得到了π的近似值． 跟蹤訓(xùn)練5　解　設(shè)剪得兩段的長都不小于2 m為事件A. (1)利用計算器或計算機產(chǎn)生n個0～5之間的均勻隨機數(shù)， x＝rand()*5. (2)作伸縮變換：y＝x*(5－0)，轉(zhuǎn)化為[0,5]上的均勻隨機數(shù)． (3)統(tǒng)計出[2,3]內(nèi)均勻隨機數(shù)的個數(shù)

18、m. (4)則概率P(A)的近似值為. 當堂訓(xùn)練 1．B　[對于選項B，a，b滿足的條件為坐標平面內(nèi)某一區(qū)域，涉及面積問題，為幾何概型，其他三個選項均為古典概型．] 2．B　[向△ABC內(nèi)部投一點的結(jié)果有無限個，屬于幾何概型．設(shè)點落在△ABD內(nèi)為事件M，則P(M)＝＝.] 3．0.18 解析　設(shè)陰影部分的面積為S，則＝， ∴S＝0.18. 4．0.1 解析　記“從200 mL水中隨機取出20 mL水樣利用顯微鏡觀察，發(fā)現(xiàn)草履蟲”為事件A，則由幾何概型的概率計算公式可得P(A)＝＝0.1. 5．解　∵a，b，c∈[0,1]， ∴Ω＝{(a，b，c)|0≤a≤1,0≤b≤1,0≤c≤1}構(gòu)成的區(qū)域為單位正方體(其中原點O為正方體的一個頂點)． 設(shè)“|m|≥1”為事件A，則表示“|m|＜1”，即a2＋b2＋c2＜1，這樣的點(a，b，c)位于單位正方體內(nèi)，且在以原點為球心，1為半徑的球內(nèi)，V′＝×π×13＝.又V正方體＝1， ∴P()＝＝，因此P(|m|≥1)＝P(A)＝1－P()＝1－. 11