2020版高考數(shù)學一輪復習 第6章 不等式、推理與證明 第4節(jié) 歸納與類比教學案 理（含解析）北師大版

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1、第四節(jié)　歸納與類比 [考綱傳真]　了解合情推理的含義，能進行簡單的歸納推理和類比推理，體會合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用． 1．歸納推理 根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類事物中每一個都有這種屬性．我們將這種推理方式稱為歸納推理． 2．類比推理 由于兩類不同對象具有某些類似的特征，在此基礎上，根據(jù)一類對象的其他特征，推斷另一類對象也具有類似的其他特征，我們把這種推理過程稱為類比推理． 3．歸納推理和類比推理是最常見的合情推理，合情推理的結果不一定正確． [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)歸納推理得到的結論不一

2、定正確，類比推理得到的結論一定正確．(　　) (2)由平面三角形的性質推測空間四面體的性質，這是一種合情推理. (　　) (3)在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適. (　　) [答案](1)×　(2)√　(3)× 2．(教材改編)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，n≥2時，an＝an－1＋2n－1，依次計算a2，a3，a4后，猜想an的表達式是(　　) A．a(chǎn)n＝3n－1　　　　　 B．a(chǎn)n＝4n－3 C．a(chǎn)n＝n2 D．a(chǎn)n＝3n－1 C　[a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.] 3．下面幾種推理是合情推理的

3、是 (　　) ①由圓的性質類比出球的有關性質； ②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180°， 歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°； ③李鋒某次考試成績是100分，由此推出全班同學的成績都是100分； ④三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得凸n邊形內(nèi)角和是(n－2)·180°. A．①② B．①③ C．①②④ D．②④ C　[合情推理分為類比推理和歸納推理．其中①是類比推理，②④是歸納推理．故選C.] 4．(教材改編)在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜

4、19，n∈N*)成立，類比上述性質，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則b1b2b3…bn＝________. b1·b2·…·b17－n(n＜17，n∈N*)　[∵b9＝1，∴在等比數(shù)列中b1·b2·b3·…·bn＝b1·b2·…·b17－n(n＜17，n∈N*)．] 歸納推理 ?考法1　與數(shù)式有關的推理 【例1】　(1)(2019·南昌模擬)已知13＋23＝2,13＋23＋33＝2,13＋23＋33＋43＝2，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，則n＝(　　) A．8　　　　B．9　　　　C．10　　　　D．11 (2)(2019·濟寧模擬)已知ai＞0

5、(i＝1,2,3，…，n)，觀察下列不等式： ≥； ≥； ≥； …… 照此規(guī)律，當n∈N*，n≥2時，≥______. (1)C　(2)　[(1)觀察所提供的式子可知，等號左邊最后一個數(shù)是n3時，等號右邊的數(shù)為2，因此，令2＝3 025，則＝55，n＝10或n＝－11(舍)．故選C. (2)由題意得≥(n∈N*，n≥2)．] ?考法2　與圖形有關的推理 【例2】　某種平面分形圖如圖所示，一級分形圖是由一點出發(fā)的三條線段，長度均為1，兩兩夾角為120°；二級分形圖是從一級分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的的線段，且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120°，…，依此規(guī)律

6、得到n級分形圖． (1)n級分形圖中共有________條線段； (2)n級分形圖中所有線段長度之和為________． (1)3×2n－3(n∈N*)　(2)9－9×n(n∈N*)　[(1)由題圖知，一級分形圖中的線段條數(shù)為3＝3×2－3，二級分形圖中的線段條數(shù)為9＝3×22－3，三級分形圖中的線段條數(shù)為21＝3×23－3，按此規(guī)律，n級分形圖中的線段條數(shù)為an＝3×2n－3(n∈N*)． (2)∵從分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的的線段，∴n級分形圖中第n級的所有線段的長度和為bn＝3×n－1(n∈N*)，∴n級分形圖中所有線段長度之和為Sn＝3×0＋3×1＋…

7、＋3×n－1＝3×＝9－9×n.] [規(guī)律方法]　歸納推理問題的常見類型及解題策略 (1)與數(shù)字有關的等式的推理．觀察數(shù)字特點，找出等式左右兩側的規(guī)律及符號可解． (2)與式子有關的推理．觀察每個式子的特點，注意是縱向看，找到規(guī)律后可解． (3)與圖形變化有關的推理．合理利用特殊圖形歸納推理得出結論，并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡裕? (1)《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術．得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟．”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術”：2＝，3＝，4＝，5＝，…，則按照以上規(guī)律，若9＝具有“穿墻術”，則n＝(　　) A．25 B．48

8、 C．63 D．80 (2)如圖的圖形由小正方形組成，請觀察圖①至圖④的規(guī)律，并依此規(guī)律，寫出第n個圖形中小正方形的個數(shù)是________． (1)D　(2)(n∈N*)　[(1)由2＝，3＝，4＝，5＝，…， 可得若9＝具有“穿墻術”，則n＝92－1＝80. (2)由題圖知第n個圖形的小正方形個數(shù)為1＋2＋3＋…＋n.所以總個數(shù)為(n∈N*)．] 類比推理 【例3】　(1)我國古代數(shù)學名著《九章算術》中割圓術有：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉化過程，比如在中“…”即代表無限次重復，但原式卻是個定值x，

9、這可以通過方程＝x確定出來x＝2，類似地不難得到1＋＝(　　) A. B． C. D． (2)(2018·南昌一模)平面內(nèi)直角三角形兩直角邊長分別為a，b，則斜邊長為，直角頂點到斜邊的距離為.空間中三棱錐的三條側棱兩兩垂直，三個側面的面積分別為S1，S2，S3，類比推理可得底面積為，則三棱錐頂點到底面的距離為(　　) A. B． C. D． (1)C　(2)C　[(1)令1＋＝x(x＞0)， 即1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝(x＝舍)，故1＋＝，故選C. (2)設空間中三棱錐O-ABC的三條兩兩垂直的側棱OA，OB，OC的長分別為a，b，c，不妨設三個側

10、面的面積分別為S△OAB＝ab＝S1，S△OAC＝ac＝S2，S△OBC＝bc＝S3，則ab＝2S1，ac＝2S2，bc＝2S3. 過O作OD⊥BC于D，連接AD(圖略)，由OA⊥OB，OA⊥OC，且OB∩OC＝O，得OA⊥平面OBC，所以OA⊥BC，又OA∩OD＝O，所以BC⊥平面AOD， 又BC平面OBC，所以平面OBC⊥平面AOD， 所以點O在平面ABC內(nèi)的射影O′在線段AD上，連接OO′. 在直角三角形OBC中，OD＝. 因為AO⊥OD，所以在直角三角形OAD中，OO′＝＝ ＝＝ ＝＝.] [規(guī)律方法]　求解類比推理題的關鍵：①會定類，即找出兩類對象之間可以確切表述的

11、相似特征；②會推測，即用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個命題(猜想)． (1)在正項等差數(shù)列{an}中有＝成立，則在正項等比數(shù)列{bn}中，類似的結論為________． (2)如圖(1)所示，點O是△ABC內(nèi)任意一點，連接AO，BO，CO，并延長交對邊于A1，B1，C1，則＋＋＝1，類比猜想：點O是空間四面體VBCD內(nèi)的任意一點，如圖(2)所示，連接VO，BO，CO，DO并延長分別交面BCD，VCD，VBD，VBC于點V1，B1，C1，D1，則有________． (1)＝　(2)＋＋＋＝1　[(1)由等差數(shù)列的性質知，＝＝，＝＝， 所以＝. 在正項等比數(shù)列{b

12、n}中，類似的有： ＝＝＝， ＝＝， 所以＝， 所以在正項等比數(shù)列{bn}中，類似的結論為＝. (2)利用類比推理，猜想應有＋＋＋＝1. 用“體積法”證明如下： ＋＋＋＝＋＋＋＝＝1.] 推理在生活中的應用 【例4】　(1)甲、乙、丙、丁四位同學參加比賽，只有其中三位獲獎．甲說：“乙或丙未獲獎”；乙說：“甲、丙都獲獎”；丙說：“我未獲獎”；丁說：“乙獲獎”．四位同學的話恰有兩句是對的，則 (　　) A．甲和乙不可能同時獲獎 B．丙和丁不可能同時獲獎 C．乙和丁不可能同時獲獎 D．丁和甲不可能同時獲獎 (2)(2019·鄭州模擬)甲、乙、丙三位同學，其中一位是班

13、長，一位是體育委員，一位是學習委員，已知丙比學習委員的年齡大，甲與體育委員的年齡不同，體育委員比乙的年齡小，據(jù)此推斷班長是________． (1)C　(2)乙　[(1)若甲未獲獎，則乙、丙、丁三位同學獲獎，此時甲、乙、丙說的都錯了，與題設矛盾，所以甲一定獲獎了；若丙未獲獎，則甲、乙、丁三位同學獲獎，此時甲、丙、丁說的都對，與題設矛盾，所以丙也一定獲獎了，由此可知乙、丁只有一個獲獎，不可能同時獲獎，故選C. (2)若甲是班長，由于體育委員比乙的年齡小，故丙是體育委員，乙是學習委員，但這與丙比學習委員的年齡大矛盾，故甲不是班長；若丙是班長，由于體育委員比乙的年齡小，故甲是體育委員，這和甲與體

14、育委員的年齡不同矛盾，故丙不是班長；若乙是班長，由于甲與體育委員的年齡不同，故甲是學習委員，丙是體育委員，此時其他條件均成立，故乙是班長．] [規(guī)律方法]　該類問題求解時，需要對題設條件認真分析，常從某一條件出發(fā)，在推理中如果推出矛盾，則將其否定，如果沒有推出矛盾，則說明其為正確的，從而得出結論． 甲、乙、丙三人各從圖書館借來一本書，他們約定讀完后互相交換．三人都讀完了這三本書之后，甲說：“我最后讀的書與丙讀的第二本書相同．”乙說：“我讀的第二本書與甲讀的第一本書相同．”根據(jù)以上說法，推斷乙讀的最后一本書是________讀的第一本書． 丙　[因為共有三本書，而乙讀的第一本書與第二本書

15、已經(jīng)明確，只有丙讀的第一本書乙還沒有讀，所以乙讀的最后一本書是丙讀的第一本書．] 1．(2017·全國卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則(　　) A．乙可以知道四人的成績 B．丁可以知道四人的成績 C．乙、丁可以知道對方的成績 D．乙、丁可以知道自己的成績 D　[由甲說：“我還是不知道我的成績”可推知甲看到乙、丙的成績?yōu)椤?個優(yōu)秀、1個良好”．乙看丙的成績，結合甲的說法，丙為“優(yōu)秀”時，乙為“良好”；丙

16、為“良好”時，乙為“優(yōu)秀”，可得乙可以知道自己的成績．丁看甲的成績，結合甲的說法，甲為“優(yōu)秀”時，丁為“良好”；甲為“良好”時，丁為“優(yōu)秀”，可得丁可以知道自己的成績．故選D．] 2.(2016·全國卷Ⅱ)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是________ 1和3　[法一：由題意得丙的卡片上的數(shù)字不是2和3. 若丙的卡片上的數(shù)字是1和2，則由乙的說法知乙的卡片上的數(shù)字是2和3，則甲

17、的卡片上的數(shù)字是1和3，滿足題意； 若丙的卡片上的數(shù)字是1和3，則由乙的說法知乙的卡片上的數(shù)字是2和3，則甲的卡片上的數(shù)字是1和2，不滿足甲的說法． 故甲的卡片上的數(shù)字是1和3. 法二：因為甲與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2，所以丙的卡片上必有數(shù)字2.又丙的卡片上的數(shù)字之和不是5，所以丙的卡片上的數(shù)字是1和2.因為乙與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1，所以乙的卡片上的數(shù)字是2和3，所以甲的卡片上的數(shù)字是1和3.] 3．(2014·全國卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A，B，C三個城市時， 甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市； 乙說：我沒去過C城市； 丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市． 由此可判斷乙去過的城市為________． A　[由題意可推斷：甲沒去過B城市，但比乙去的城市多，而丙說“三人去過同一城市”，說明甲去過A，C城市，而乙“沒去過C城市”，說明乙去過城市A，由此可知，乙去過的城市為A.] - 8 -