2018高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 第1節(jié) 合情推理與演繹推理學(xué)案 理 蘇教版選修2-2

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1、 第1節(jié)合情推理與演繹推理 一、學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1. 了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會并認(rèn)識合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用； 2. 體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理； 3. 了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。 二、重點、難點 重點：會用合情推理提出猜想，會用演繹推理進行推理論證，明確合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系。 難點：發(fā)現(xiàn)兩類對象的類似特征、在部分對象中尋找共同特征或規(guī)律，利用合情推理的原理提出猜想，利用演繹推理的形式進行證明。 三、考點分析： 推理是數(shù)學(xué)的基本思維過程，高中數(shù)學(xué)課程的重要

2、目標(biāo)就是培養(yǎng)和提高學(xué)生的推理能力，因此本部分內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位，是高考的重要內(nèi)容。由于解答高考試題的過程就是推理的過程，因此本部分內(nèi)容的考查將會滲透到每一個高考題中。在學(xué)習(xí)時，應(yīng)注意理解常用的推理的方法，了解其含義，掌握其過程以解決具體問題。今后的高考中若考查推理內(nèi)容，最有可能是把推理滲透到解答題中考查，因為解答與證明題本身就是一種推理，合情推理與演繹推理作為一種推理工具是很容易被解答與證明題接受的。 一、知識導(dǎo)圖 二、推理 根據(jù)一個或幾個事實（或假設(shè)）得出一個判斷，這種思維方式叫推理。 從結(jié)構(gòu)上說，推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實（或假設(shè)），叫做前

3、提，一部分是由已知推出的判斷，叫結(jié)論。 三、合情推理： 根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出的推理叫合情推理。 合情推理可分為歸納推理和類比推理兩類： （1）歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理。簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理。 （2）類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象具有的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理。 四、演繹推理： 從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)

4、論的推理叫演繹推理，簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理。三段論是演繹推理的一般模式，它包括：（1）大前提——已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情況；（3）結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的判斷。 知識點一：合情推理用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律 例1 通過觀察下列等式，猜想出一個一般性的結(jié)論，并證明結(jié)論的真假。 ； ； ； 思路分析：注意觀察四個式子的共同特征或規(guī)律（1）結(jié)構(gòu)的一致性（2）觀察角的“共性”。 解題過程：猜想： 證明：左邊＝ ＝＝右邊。 解題后反思： （1）先猜后證是一種常見題型； （2）歸納推理的一些常見形式：一是“具有共同特征型”，二

5、是“遞推型”，三是“循環(huán)型”（周期性）。 例2 蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖。其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以表示第幅圖的蜂巢總數(shù)。則＝_____；＝______。 思路分析：找出的關(guān)系式。 解題過程：， 解題后反思：處理“遞推型”問題的方法之一是尋找相鄰兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系 知識點二：用類比推理猜想新的命題 例3 已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的，把這個結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是______。 思路分析：從方法的類比入手。 解題過程：原問題的

6、解法為等面積法，即，類比問題的解法應(yīng)為等體積法，，即正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的 解題后反思：（1）不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比； （2）類比推理常見的情形有：平面向空間類比；低維向高維類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；實數(shù)集的性質(zhì)向復(fù)數(shù)集的性質(zhì)類比；圓錐曲線間的類比等。 例4 在中，若，則，用類比的方法，猜想三棱錐的類似性質(zhì)，并證明你的猜想。 思路分析：考慮兩條直角邊互相垂直如何類比到空間以及兩條直角邊與斜邊所成的角如何類比到空間。 解題過程：由平面類比到空間，有如下猜想：“在三棱錐中，三個側(cè)面兩兩垂直，且與底面所成的角分別為，則 ” 證明：設(shè)在平面的射影

7、為，延長交于，記 由得，從而，又 ，， 即。 解題后反思：（1）找兩類對象的對應(yīng)元素，如：三角形對應(yīng)三棱錐，圓對應(yīng)球，面積對應(yīng)體積，平面上的角對應(yīng)空間角等等；（2）找對應(yīng)元素的對應(yīng)關(guān)系，如：兩條邊（直線）垂直對應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對應(yīng)面積相等。 知識點三：利用“三段論”進行推理 例5 某校對文明班的評選設(shè)計了五個方面的多元評價指標(biāo)，并通過經(jīng)驗公式來計算各班的綜合得分，S的值越高則評價效果越好，若某班在自測過程中各項指標(biāo)顯示出，則下階段要把其中一個指標(biāo)的值增加1個單位，而使得S的值增加最多，那么該指標(biāo)應(yīng)為 。（填入中的某個字母）。 思路分析：從

8、分式的性質(zhì)中尋找S值的變化規(guī)律 解題過程：因都為正數(shù)，故分子越大或分母越小時，S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小時，S的值增長越多，，所以c增大1個單位會使得S的值增加最多 解題后反思：此題的大前提是隱含的，需要經(jīng)過思考才能得到。 （山東高考）設(shè)函數(shù)，觀察： …… 根據(jù)以上事實，由歸納推理可得： 當(dāng)且時，____________________。 解題思路：解題關(guān)鍵是歸納出等式右邊分式的分母，第n個等式右邊分式分母中的常數(shù)為，分母中x的系數(shù)為。 解答過程：通過， ， ， ， 得。 解題后反思：歸納法是由特殊到一般，由局部到整體的一

9、個方法，注意從特殊中找出一般規(guī)律。 在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：＝＋，那么在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由。 解：如圖（1）所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC， ∴＝＝＝。 又BC2＝AB2＋AC2， ∴＝＝＋。 所以＝＋。 猜想：類比AB⊥AC，AD⊥BC，猜想四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD。則＝＋＋。 如圖（2），連接BE交CD于F，連接AF。 ∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面ACD。 而AF?面ACD， ∴AB⊥AF。

10、 在Rt△ABF中， AE⊥BF， ∴＝＋。 在Rt△ACD中，AF⊥CD， ∴＝＋。 ∴＝＋＋，故猜想正確。 解答推理問題時，先明確出是哪種推理形式，顯然歸納、演繹等推理方式在以往的學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸過，類比推理相對而言比較陌生。所以學(xué)習(xí)類比推理時應(yīng)抓住兩點：一是找出合理的類比對象，二是找出類比對象，再進一步找出兩類事物間的相似性或一致性。 一、預(yù)習(xí)新知 請同學(xué)們課下預(yù)習(xí)選修2－2第2章 第2節(jié)直接證明與間接證明 二、預(yù)習(xí)點撥 探究與反思： 探究任務(wù)一：直接證明 【反思】 （1）什么是直接證明？ （2）什么情況下我們用直接證明？ 探究任務(wù)二：間接證明 【反思】 （1）什么叫間接證明？ （2）間接證明的一般方法是什么？ 6