2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 第36講 合情推理與演繹推理學(xué)案

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1、 第36講　合情推理與演繹推理 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理．了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用． 2．了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理． 3．了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異. 2017·全國卷Ⅰ，12 2016·北京卷，8 2015·江蘇卷，11 2015·福建卷，15 合情推理一般以新定義、新規(guī)則的形式考查集合、函數(shù)、不等式、數(shù)列等問題；而演繹推理常結(jié)合函數(shù)、方程、不等式、解析幾何、立體幾何、數(shù)列等問題中的證明來考查. 分值：5分 1．合情推理

2、(1)歸納推理 ①定義：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的__全部對象__都具有這些特征的推理，或者由個別的事實概括出一般結(jié)論的推理． ②特點：是由__部分__到__整體__、由__個別__到__一般__的推理． (2)類比推理 ①定義：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有__這些特征__的推理． ②特點：是由__特殊__到__特殊__的推理． 2．演繹推理 (1)演繹推理 從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理．簡言之，演繹推理是由__一般__到__特殊__的推理． (2)“三段論”是演

3、繹推理的一般模式 ①大前提——已知的__一般原理__. ②小前提——所研究的__特殊情況__. ③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對__特殊情況__做出的判斷． 1．思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)． (1)歸納推理與類比推理都是由特殊到一般的推理．(　×　) (2)在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適．(　×　) (3)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，若數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯誤的．(　√　) (4)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確．(　×　) 解析 (1)錯誤．歸納推理是由部分到整體、由個

4、別到一般的推理；類比推理是由特殊到特殊的推理． (2)錯誤．平面中的三角形與空間中的四面體作為類比對象較為合適． (3)正確．因為大前提錯誤，所以結(jié)論錯誤． (4)錯誤．演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時，得到的結(jié)論一定正確． 2．命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯誤的原因是(　C　) A．使用了歸納推理 B．使用了類比推理 C．使用了“三段論”，但推理形式錯誤 D．使用了“三段論”，但小前提錯誤 解析 由條件知使用了三段論，但推理形式是錯誤的． 3．?dāng)?shù)列2,5,11,20，x,47，…中的x＝(　B　) A．2

5、8　　 B．32　　 C．33　　 D．27 解析 由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9. 則x－20＝12，因此x＝32. 4．給出下列三個類比結(jié)論： ①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn； ②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋b)2類比，則有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 其中結(jié)論正確的個數(shù)是(　B　) A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3 解析 只有③正確． 5．觀察下列不等式： 1＋＜， 1

6、＋＋＜， 1＋＋＋＜， … 按此規(guī)律，第五個不等式為__1＋＋＋＋＋<__. 解析 觀察得出規(guī)律，左邊為項數(shù)個連續(xù)自然數(shù)平方的倒數(shù)和，右邊為項數(shù)的2倍減1的差除以項數(shù)，即1＋＋＋＋＋…＋<(n∈N*，n≥2)， 所以第五個不等式為1＋＋＋＋＋<. 一　類比推理 (1)進行類比推理，應(yīng)從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進行對比，提出猜想．其中找到合適的類比對象是解題的關(guān)鍵． (2)類比推理常見的情形有：平面與空間類比、低維與高維的類比、等差與等比數(shù)列類比、運算類比(加與乘、乘與乘方、減與除、除與開方)、數(shù)的運算與向量運算類比、圓錐曲線間的類比等． 【例1】 (1)

7、若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也為等差數(shù)列．類比這一性質(zhì)可知，若正項數(shù)列是等比數(shù)列，且也是等比數(shù)列，則dn的表達式應(yīng)為(　D　) A．dn＝　　 B．dn＝ C．dn＝　　 D．dn＝ (2)在平面幾何中：△ABC的∠C內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為＝.把這個結(jié)論類比到空間：在三棱錐A－BCD中(如圖)，平面DEC平分二面角A－CD－B，且與AB相交于E，則得到類比的結(jié)論是__＝__. 解析 (1)若{an}是等差數(shù)列，則a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}為等差數(shù)列；若{cn}是等比數(shù)列，則c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c

8、·q， ∴dn＝＝c1·q，即{dn}為等比數(shù)列，故選D． (2)由平面中線段的比轉(zhuǎn)化為空間中面積的比可得＝. 二　歸納推理 歸納推理中幾種問題的處理技巧 (1)與等式或不等式“共舞”問題．觀察所給的幾個等式或不等式兩邊式子的特點，注意是縱向看，發(fā)現(xiàn)隱含的規(guī)律． (2)與數(shù)列“牽手”問題．先求出幾個特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所含的范圍，從而由特殊的結(jié)論推廣到一般結(jié)論． (3)與圖形變化“相融”問題．合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡裕? 【例2】 觀察下列等式： 12＝1； 12－22＝－3； 12－22＋3

9、2＝6； 12－22＋32－42＝－10； … 依此規(guī)律，第n個等式可為__12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·__. 解析 第n個等式的左邊第n項應(yīng)是(－1)n＋1n2， 右邊數(shù)的絕對值為1＋2＋3＋…＋n＝， 故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·. 【例3】 觀察下列的圖形中小正方形的個數(shù)，則第6個圖中有__28__個小正方形． 解析 第1～5個圖形中分別有3,6,10,15,21個小正方形，它們分別為1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5,1＋2＋3＋4＋5＋6，因此an＝1＋2＋3＋…＋(n

10、＋1)．故a6＝1＋2＋3＋…＋7＝＝28，即第6個圖中有28個小正方形． 【例4】 (2016·山東卷)觀察下列等式： －2＋－2＝×1×2； －2＋－2＋－2＋－2＝×2×3； －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4； －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5； … 照此規(guī)律， －2＋－2＋－2＋…＋－2＝__n(n＋1)__. 解析 通過觀察已給出等式的特點，可知等式右邊的是個固定數(shù)，后面第一個數(shù)是等式左邊最后一個數(shù)括號內(nèi)角度值分子中π的系數(shù)的一半，后面第二個數(shù)是第一個數(shù)的下一個自然數(shù)，所以，所求結(jié)果為×n×(n＋1)，即n(n＋1)． 三　演繹推理 演繹推理是從一般

11、到特殊的推理；其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問題，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，若前提是顯然的，則可以省略． 【例5】 數(shù)列的前n項和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝·Sn(n∈N*)，證明： (1)數(shù)列是等比數(shù)列； (2)Sn＋1＝4an. 證明 (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn， ∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn， ∴＝2·，又＝1≠0，(小前提) 故是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列．(結(jié)論) (2)由(1)可知＝4·(n≥2)， ∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1＝4an(n≥2)，(小前提) 又

12、a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提) ∴對于任意正整數(shù)n，都有Sn＋1＝4an.(結(jié)論) 1．(2018·安徽淮南模擬)從1開始的自然數(shù)按如圖所示的規(guī)則排列，現(xiàn)有一個三角形框架在圖中上下或左右移動，使每次恰有九個數(shù)在此三角形內(nèi)，則這九個數(shù)的和可以為(　B　) A．2 011　　 B．2 012 C．2 013　　 D．2 014 解析 根據(jù)題圖所示的規(guī)則排列，設(shè)最上層的一個數(shù)為a∈N*，則第二層的三個數(shù)為a＋7，a＋8，a＋9，第三層的五個數(shù)a＋14，a＋15，a＋16，a＋17，a＋18，這9個數(shù)之和為a＋3a＋24＋5a＋80＝9a＋104.

13、由9a＋104＝2 012，得a＝212，是自然數(shù)，故選B． 2．(2018·江西臨川一中模擬)已知12＝×1×2×3,12＋22＝×2×3×5,12＋22＋32＝×3×4×7,12＋22＋32＋42＝×4×5×9，則12＋22＋…＋n2＝__n(n＋1)(2n＋1)(n∈N*)__(其中n∈N*)． 解析 根據(jù)題意可歸納出12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，下面給出證明：(k＋1)3－k3＝3k2＋3k＋1，則23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，…，(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，累加得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(

14、1＋2＋…＋n)＋n，整理得12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，故填n(n＋1)(2n＋1)． 3．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示，按照下面的規(guī)律，第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為__6n＋2__. 　… 解析 由題意知，圖②的火柴棒比①的多6根，圖③的火柴棒比圖②的多6根，而圖①的火柴棒的根數(shù)為2＋6，∴第n條小魚需要(2＋6n)根． 4．(2018·北京海淀模擬)若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，且f(1)＝2，則＋＋…＋＝__2_018__. 解析 利用三段論． 因為f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，(大前提) 令b＝1，則＝f(1

15、)＝2，(小前提) 所以＝＝…＝＝2.(結(jié)論) 所以原式＝＝2 018. 易錯點　類比不當(dāng) 錯因分析：從平面類比到空間時，缺乏對對應(yīng)特點的分析，無法得到正確結(jié)論． 【例1】 在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：＝＋，那么在四面體A－BCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由． 解析 如圖(1)所示，由射影定理知AD2＝BD·DC， AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC， ∴＝ ＝＝. 又BC2＝AB2＋AC2，∴＝＝＋， ∴＝＋. 四面體A－BCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD于E， 則＝＋＋. 證明如下：如

16、圖(2)，連接BE交CD于F，連接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面ACD．而AF?平面ACD，∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴＝＋. 在Rt△ACD中，AF⊥CD，＝＋. ∴＝＋＋. 【跟蹤訓(xùn)練1】 在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立．類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則有等式__b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b17－n(n<17，n∈N*)__成立． 解析 在等差數(shù)列{an}中，由a10＝0，得：a1＋a19＝a2＋a18＝…＝a

17、n＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0， ∴S19＝a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0(n<19)， 即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1， 又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1， ∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n. 若a9＝0，同理a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n(n<17)． 在等比數(shù)列{bn}中，b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b17－n(n<17，n∈N*) 課時達標(biāo)　第36講 [解密考綱]高考中，歸納推理和類比推理主要是和數(shù)列、不等式等內(nèi)容

18、聯(lián)合考查，多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)． 一、選擇題 1．下面四個推導(dǎo)過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是(　B　) A．大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：π是無理數(shù)；結(jié)論：π是無限不循環(huán)小數(shù) B．大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；結(jié)論：π是無理數(shù) C．大前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；結(jié)論：π是無理數(shù) D．大前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：π是無理數(shù)；結(jié)論：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù) 解析 對于A項，小前提與結(jié)論互換，錯誤；對于B項，符合演繹推理過程且結(jié)論正確；對于C項和D項，均為大前提錯誤，故選B． 2．請仔細觀察

19、1,1,2,3,5，(　　)，13，運用合情推理，可知寫在括號里的數(shù)最可能是(　A　) A．8　　 B．9　　 C．10　　 D．11 解析 觀察題中所給各數(shù)可知，2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3,8＝3＋5,13＝5＋8，∴括號中的數(shù)為8.故選A． 3．在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z} ，k＝0,1,2,3,4.給出如下四個結(jié)論： ①2 013∈[3]； ②－2∈[2]； ③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]； ④整數(shù)a，b屬于同一“類”的充要條件是“a－b∈[0]”． 其中正確結(jié)論的個數(shù)為(　C

20、　) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 解析 因為2013＝402×5＋3，所以2013∈[3]，①正確；－2＝－1×5＋3，－2∈[3]，所以②不正確；因為整數(shù)集中被5除的數(shù)可以且只可以分成五類，所以③正確；整數(shù)a，b屬于同一“類”，因為整數(shù)a，b被5除的余數(shù)相同，從而a－b被5除的余數(shù)為0，反之也成立，故整數(shù)a，b屬于同一“類”的充要條件是“a－b∈[0]”，故④正確．所以正確的結(jié)論有3個，故選C． 4．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3, (cos x)′＝－sin x，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的

21、導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝(　D　) A．f(x)　　 B．－f(x) C．g(x)　　 D．－g(x) 解析 由所給等式知，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)．∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)，從而g(x)是奇函數(shù)．∴g(－x)＝－g(x)． 5．已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，觀察下列運算： a1·a2＝log23·log34＝·＝2； a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·…·log78＝··…·＝3；…. 若a1·a2·a3·…·ak(k∈N*)為整數(shù)，則稱k為“企盼數(shù)”，試確定當(dāng)a1·a2·a3·…·ak＝2 018時，“企盼數(shù)”k為(　C　

22、) A．22 017 ＋2　　 B．22 017 C．22 018－2　　 D．22 017－4 解析 a1·a2·a3·…·ak＝＝2 018，lg(k＋2)＝lg 22 018，故k＝22 018－2. 6．(2016·北京卷)袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半．甲，乙，丙是三個空盒．每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒．重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則(　B　) A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多 C．乙盒中紅球不多于丙盒中紅球 D．乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣

23、多 解析 假設(shè)袋中只有一紅一黑兩個球，第一次取出后，若將紅球放入了甲盒，則乙盒中有一個黑球，丙盒中無球，A錯誤；若將黑球放入了甲盒，則乙盒中無球，丙盒中有一個紅球，D錯誤；同樣，假設(shè)袋中有兩個紅球和兩個黑球，第一次取出兩個紅球，則乙盒中有一個紅球，第二次必然拿出兩個黑球，則丙盒中有一個黑球，此時乙盒中紅球多于丙盒中的紅球，C錯誤，故選B． 二、填空題 7．(2018·河南開封聯(lián)考)如圖所示，由曲線y＝x2，直線x＝a，x＝a＋1(a>0)及x軸圍成的曲邊梯形的面積介于相應(yīng)小矩形與大矩形的面積之間，即a2<∫x2dx<(a＋1)2.運用類比推理，若對?n∈N*，＋＋…＋

24、，則實數(shù)A＝__ln 2__. 解析 令

25、)2__. 解析 觀察這些等式，第一個等式左邊是1個數(shù)，從1開始；第二個等式左邊是3個數(shù)相加，從2開始；第三個等式左邊是5個數(shù)相加，從3開始；……；第n個等式左邊是2n－1個數(shù)相加，從n開始．等式的右邊為左邊2n－1個數(shù)的中間數(shù)的平方，故第n個等式為n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2. 9．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為 Sn，則 S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論我們可以得到一個真命題為：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn，則__T4，，，__成等比數(shù)列． 解析 利用類比推理把等差數(shù)列中的差換成商即可． 三、解答題 10

26、．設(shè)f(x)＝，先分別求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明． 解析 f(0)＋f(1)＝＋ ＝＋ ＝＋＝， 同理可得f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝. 由此猜想f(x)＋f(1－x)＝. 證明：f(x)＋f(1－x)＝＋ ＝＋ ＝＋＝＝. 11．定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝2，公和為5. 求：(1)a18的值； (2)該數(shù)列的前n項和Sn. 解析 (1)由等和數(shù)列

27、的定義，數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝2，公和為5，易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1,2，…)，故a18＝3. (2)當(dāng)n為偶數(shù)時， Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an) 當(dāng)n為奇數(shù)時， Sn＝Sn－1＋an＝(n－1)＋2＝n－. 綜上所述，Sn＝ 12．對于三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，給出定義：設(shè)f′(x)是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)，f″(x)是f′(x)的導(dǎo)數(shù)，若方程f″(x)＝0有實數(shù)解x0，則稱點(x0，f(x0))為函數(shù)y＝f(x)的“拐點”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何—個三次函數(shù)都有“

28、拐點”；任何—個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)， (1)求函數(shù)f(x)＝x3－x2＋3x－的對稱中心； (2)計算f＋f＋f＋…＋f. 解析 (1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1， 由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝. f＝×3－×2＋3×－＝1. 由題中給出的結(jié)論，可知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋3x－的對稱中心為. (2)由(1)知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋3x－的對稱中心為，所以f＋f＝2， 即f(x)＋f(1－x)＝2. 故f＋f＝2，f＋f＝2， f＋f＝2，…，f＋f＝2， 所以f＋f＋f＋…＋f＝×2×2 016＝2 016. 13