2020屆高考數(shù)學大二輪復習 層級二 專題三 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列、等比數(shù)列教學案
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1、 第1講 等差數(shù)列、等比數(shù)列 [考情考向·高考導航] 1.等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定及基本運算是每年高考的熱點,在考查基本運算的同時,也注重考查對函數(shù)與方程、等價轉化等數(shù)學思想的應用. 2.對等差數(shù)列、等比數(shù)列性質的考查主要是求解數(shù)列的等差中項、等比中項、通項公式和前n項和. [真題體驗] 1.(2019·全國Ⅲ卷)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項和為15,且a5=3a3+4a1,則a3=( ) A.16 B.8 C.4 D.2 解析:C [應用等比數(shù)列前n項和公式解題時,要注意公比是否等于1,防止出錯.設正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為
2、q,則解得 ∴a3=a1q2=4,故選C.] 2.(2016·天津卷)設{an}是首項為正數(shù)的等比數(shù)列,公比為q,則“q<0”是“對任意的正整數(shù)n,a2n-1+a2n<0”的( ) A.充要條件 B.充分而不必要條件 C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件 解析:C [設數(shù)列的首項為a1,則a2n-1+a2n=a1q2n-2+a1q2n-1=a1q2n-2(1+q),當q<0,因為1+q的符號不確定,所以無法判斷a2n-1+a2n的符號;反之,若a2n-1+an<0, 即a1q2n-2(1+q)<0, 即q<-1<0,故“q<0”是“對任意的正整數(shù)n,a2n-1+a
3、2n<0”的必要不充分條件.] 3.(2019·全國Ⅰ卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.已知S9=-a5. (1)若a3=4,求{an}的通項公式; (2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范圍. 解:(1)設{an}的公差為d, 由S9=-a5得a1+4d=0. 由a3=4得a1+2d=4. 于是a1=8,d=-2. 因此{an}的通項公式為an=10-2n. (2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d, Sn=. 由a1>0知d<0,故Sn≥an等價于n2-1ln+10≤0,解得1≤n≤10, 所以n的取值范圍是{n|1≤n≤10,n∈N}. [
4、主干整合] 1.等差數(shù)列 (1)通項公式:an=a1+(n-1)d; (2)求和公式:Sn==na1+d; (3)性質: ①若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,則am+an=ap+aq; ②an=am+(n-m)d; ③Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…,成等差數(shù)列. 2.等比數(shù)列 (1)通項公式:an=a1qn-1(q≠0); (2)求和公式:q=1,Sn=na1;q≠1,Sn==; (3)性質: ①若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,則am·an=ap·aq; ②an=am·qn-m; ③Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(Sm≠0)成等比數(shù)
5、列. 熱點一 等差、等比數(shù)列的基本運算 [題組突破] 1.(2019·寧波三模)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,若a1·a6·a11=-3,b1+b6+b11=7π,則tan的值是( ) A.- B.-1 C.- D. 解析:A [依題意得,a=(-)3,3b6=7π, ∴a6=-,b6=,又==-, 故tan=tan=tan=-tan=-,選A.] 2.(2020·廣州調(diào)研)已知等比數(shù)列{an}公比為q,其前n項和為Sn,若S3,S9,S6成等差數(shù)列,則q3等于( ) A.- B.1 C.-或1 D.-1或 解析
6、:A [若q=1,則3a1+6a1=2×9a1, 得a1=0,矛盾,故q≠1. 所以+=2, 解得q3=-或1(舍),故選A.] 3.(2019·淄博三模)設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,(n+1)Sn<nSn+1(n∈N*).若<-1,則( ) A.Sn的最大值是S8 B.Sn的最小值是S8 C.Sn的最大值是S7 D.Sn的最小值是S7 解析:D [由(n+1)Sn<nSn+1得(n+1)·<n·,整理得an<an+1,所以等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,又<-1,所以a8>0,a7<0,所以數(shù)列{an}的前7項為負值,即Sn的最小值是S7.] 等差、等比數(shù)列基
7、本運算的關注點 (1)基本量:在等差(比)數(shù)列中,首項a1和公差d(公比q)是兩個基本元素; (2)解題思路:①設基本量a1和d(q);②列、解方程(組);把條件轉化為關于a1和d(q)的方程(組),然后求解,注意整體計算,以減少計算量. 熱點二 等差(比)數(shù)列的判斷與證明 [例1] (2020·龍巖質檢)已知數(shù)列{an}滿足an=3an-1+k3n-1(n∈N*,n≥2,k∈R). (1)設a1=1,k=0,證明數(shù)列是等比數(shù)列; (2)對任意k∈R,是否存在一個實數(shù)t,使得bn=(an+t)(n∈N*)且{bn}為等差數(shù)列?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由. [解析]
8、(1)證明:當k=0時,an=3an-1-1,所以an-=3an-1-=3, 即=3,又a1-=≠0,所以數(shù)列是首項為,公比為3的等比數(shù)列. (2)當n≥2時,bn-bn-1=(an+t)-(an-1+t)=(an+t-3an-1-3t)=(3an-1+k3n-1+t-3an-1-3t) =(k3n-1-2t)=k-. 要使{bn}為等差數(shù)列,則必須使1+2t=0,∴t=-, 即對任意的k∈R,存在t=-,使{bn}為等差數(shù)列. 判斷和證明等差或等比數(shù)列的方法 (1)判斷一個數(shù)列是等差(等比)數(shù)列,還有通項公式法及前n項和公式法,但不作為證明方法. (2)若要判斷一個數(shù)列不
9、是等差(等比)數(shù)列,只需判斷存在連續(xù)三項不成等差(等比)數(shù)列即可; (3)a=an-1an+1(n≥2,n∈N*)是{an}為等比數(shù)列的必要而不充分條件,也就是要注意判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列時,要注意各項不為0. (2019·鄭州二模)成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15,并且這三個數(shù)分別加上2,5,13后成為等比數(shù)列{bn}中的b3,b4,b5. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式. (2)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,求證:數(shù)列是等比數(shù)列. 解析:(1)設成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為a-d,a,a+d. 依題意,得a-d+a+a+d=15. 解得a=5. 所以{bn}中的b3,b4
10、,b5依次為7-d,10,18+d. 依題意,有(7-d)(18+d)=100, 解得d=2或d=-13(舍去). 故{bn}的第3項為5,公比為2. 由b3=b1·22,即5=b1·22,解得b1=. 所以bn=b1·qn-1=·2n-1=5·2n-3, 即數(shù)列{bn}的通項公式bn=5·2n-3. (2)由(1)得數(shù)列{bn}的前n項和Sn==5·2n-2-,即Sn+=5·2n-2. 由S1+=,==2可知, 數(shù)列是以為首項,2為公比的等比數(shù)列. 熱點三 等差與等比數(shù)列的綜合問題 [例2] (2018·天津卷)設{an}是等差數(shù)列,其前n項和為Sn(n∈N*);{bn
11、}是等比數(shù)列,公比大于0,其前n項和為Tn(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6. (1)求Sn和Tn; (2)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整數(shù)n的值. [審題指導] (1)利用條件求出等比數(shù)列的公比和等差數(shù)列的首項及公差,寫出通項公式,進而求出前n項和. (2)由(1)知Tn=2n-1,將其拆成2n和-1兩部分,{2n}是等比數(shù)列,易求和,-1是常數(shù),易求和,再結合Sn=和已知條件,可求得n的值. [解析] (1)設等比數(shù)列{bn}的公比為q,由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0,因此為q>0,可得q=2
12、,故bn=2n-1.所以,Tn==2n-1. 設等差數(shù)列{an}的公差為d,由b4=a3+a5,可得a1+3d=4,由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,從而a1=1,d=1,故an=n.所以,Sn=. (2)由(1),有T1+T2+…+Tn=(21+22+…+2n)-n=-n=2n+1-n-2. 由Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn可得+2n+1-n-2=n+2n+1,整理得n2-3n-4=0, 解得n=-1(舍),或n=4.所以,n的值為4. (1)關于等差、等比數(shù)列的綜合問題大多為兩者運算的綜合題以及相互之間的轉化,關鍵是求出兩個數(shù)列的基本量;首項和公差
13、(或公比),靈活運用性質轉化條件,簡化運算,準確記憶相關的公式是解決此類問題的關鍵. (2)求數(shù)列中的最大項,可以利用圖象或者數(shù)列的單調(diào)性求解,同時注意數(shù)列的單調(diào)性與函數(shù)單調(diào)性的區(qū)別. (2020·湖北八校聯(lián)考)已知等比數(shù)列{an}的公比q>1,a1=2,且a1,a2,a3-8成等差數(shù)列,數(shù)列{anbn}的前n項和為. (1)分別求出數(shù)列{an}和{bn}的通項公式; (2)設數(shù)列的前n項和為Sn,已知?n∈N*,Sn≤m恒成立,求實數(shù)m的最小值. 解析:(1)∵a1=2,且a1,a2,a3-8成等差數(shù)列, ∴2a2=a1+a3-8, 即2a1q=a1+a1q2-8,∴q2-
14、2q-3=0, ∴q=3或-1,而q>1,∴q=3, ∴an=2·3n-1. ∵a1b1+a2b2+…+anbn=, ∴a1b1+a2b2+…+an-1bn-1 =, 兩式相減得anbn=2n·3n-1(n≥2). ∵an=2·3n-1,∴bn=n(n≥2), 令n=1,可求得b1=1,∴bn=n. (2)∵數(shù)列{an}是首項為2,公比為3的等比數(shù)列, ∴數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列, ∴Sn==·<. ∵?∈N*,Sn≤m恒成立,故實數(shù)m的最小值為. 熱點四 數(shù)列與傳統(tǒng)文化的交匯創(chuàng)新 數(shù)學 建模 素養(yǎng) 數(shù)學建模——數(shù)列實際應用中的核心素養(yǎng) 以學習過的數(shù)學
15、知識為基礎,把現(xiàn)實生活中的實際問題通過“建?!鞭D化為數(shù)學問題——數(shù)列問題,進而通過數(shù)學運算來解釋實際問題,并接受實際的檢驗. [例3] (2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例,為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份,依次得到十三個單音,從第二個單音起,每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于12.若第一個單音的頻率為f,則第八個單音的頻率為( ) A.3 f B.3 f C.12 f D.12 f [解析] D [由題意可知,單音的頻率構成以a1=f為首項,q=為公比的等比
16、數(shù)列,則a8=a1q7=f·()7=f.故選D.] 涉及等比數(shù)列的數(shù)學文化題頻繁出現(xiàn)在考試試題中.解決這類問題的關鍵是將古代實際問題轉化為現(xiàn)代數(shù)學問題,掌握等比數(shù)列的概念、通項公式和前n項和公式. (2020·銀川模擬)《九章算術》是我國古代第一部數(shù)學專著,全書收集了246個問題及其解法,其中一個問題為“現(xiàn)有一根九節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面四節(jié)容積之和為3升,下面三節(jié)的容積之和為4升,求中間兩節(jié)的容積各為多少?”該問題中第2節(jié),第3節(jié),第8節(jié)竹子的容積之和為( ) A.升 B.升 C.升 D.升 解析:A [自上而下依次設各節(jié)竹子的容積分別為a1,a
17、2,…,a9,依題意有因為a2+a3=a1+a4,a7+a9=2a8,故a2+a3+a8=+=,故選A.] 限時45分鐘 滿分74分 一、選擇題(本大題共7小題,每小題5分,共35分) 1.(2019·全國Ⅰ卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.已知S4=0,a5=5,則( ) A.a(chǎn)n=2n-5 B.a(chǎn)n=3n-10 C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n 解析:A [設{an}的公差為d,則解得a1=-3,d=2. ∴an=-3+(n-1)·2=2n-5, Sn=-3n+×2=n2-4n,故選A.] 2.(多選題)設等比數(shù)列{an}的公比為q
18、,其前n項和為Sn,前n項積為Tn,并且滿足條件a1>1,a7·a8>1,<0.則下列結論正確的是( )
A.01
C.Sn的最大值為S9 D.Tn的最大值為T7
解析:AD [本題考查等比數(shù)列的性質及前n項積的最值.
∵a1>1,a7·a8>1,<0,∴a7>1,a8<1,
∴0
1,0
1,a8<1,∴T7是數(shù)列{Tn}中的最大項,故D正確.故選AD.]
3.(2020·銀川模擬)我國古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題:“今有
19、金箠,長五尺,斬本一尺,重四斤,斬未一尺,重二斤,問次一尺各重幾何?”意思是:“現(xiàn)有一根金箠,長五尺,一頭粗,一頭細,在粗的一端截下1尺,重4斤,在細的一端截下1尺,重2斤,問依次每一尺各重多少斤?”根據(jù)上述的已知條件,若金箠由粗到細是均勻變化的,問第二尺與第四尺的重量之和為( ) A.6斤 B.9斤 C.9.5斤 D.12斤 解析:A [依題意,金箠由粗到細各尺的重量構成一個等差數(shù)列,設首項a1=4,則a5=2,由等差數(shù)列的性質得a2+a4=a1+a5=6,所以第二尺與第四尺的重量之和為6斤,故選A.] 4.(2020·荊州質檢)已知數(shù)列{an}滿足5an+1=25·5an,且
20、a2+a4+a6=9,則log(a5+a7+a9)等于( ) A.-3 B.3 C.- D. 解析:A [∵5an+1=25·5an=52+an, ∴an+1=an+2, ∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且公差為2. ∵a2+a4+a6=9, ∴3a4=9,a4=3. ∴l(xiāng)og(a5+a7+a9)=log3a7=log3(a4+6)=log27=-3.] 5.(2020·豫西五校聯(lián)考)在等差數(shù)列{an}中,其前n項和是Sn,若S15>0,S16<0,則在,,…,中最大的是( ) A. B. C. D. 解析:B [由于S15==15a8>0, S16==8(a
21、8+a9)<0, 可得a8>0,a9<0. 這樣>0,>0,…,>0,<0,<0,…,<0, 而0<S1<S2<…<S8,a1>a2>…>a8>0, 所以在,,…,中最大的是. 故選B.] 6.(2020·洛陽聯(lián)考)數(shù)列{an}是以a為首項,b為公比的等比數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足bn=1+a1+a2+…+an(n=1,2,…),數(shù)列{cn}滿足cn=2+b1+b2+…+bn(n=1,2,…),若{cn}為等比數(shù)列,則a+b等于( ) A. B.3 C. D.6 解析:B [由題意知,當b=1時,{cn}不是等比數(shù)列, 所以b≠1.由an=abn-1, 得bn=1+=
22、1+-, 則cn=2+n-· =2-+n+, 要使{cn}為等比數(shù)列,必有 得a+b=3.] 7.(2020·重慶二調(diào))已知a1,a2,a3,a4依次成等比數(shù)列,且公比q不為1,將此數(shù)列刪去一個數(shù)后得到的數(shù)列(按原來的順序)是等差數(shù)列,則正數(shù)q的值是( ) A. B. C. D. 解析:B [因為公比q不為1,所以刪去的數(shù)不是a1,a4.①若刪去a2,則由2a3=a1+a4得2a1q2=a1+a1q3,又a1≠0,所以2q2=1+q3,整理得q2(q-1)=(q-1)(q+1).又q≠1,所以q2=q+1,又q>0,得q=;②若刪去a3,則由2a2=a1+a4得2a1q=
23、a1+a1q3,又a1≠0,所以2q=1+q3,整理得q(q+1)(q-1)=q-1.又q≠1,則可得q(q+1)=1,又q>0,得q=. 綜上所述,q=,故選B.] 二、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分) 8.(2020·資陽診斷)設數(shù)列{an}是以2為首項,1為公差的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,則ab1+ab2+…+ab10值為________. 解析:依題意得an=2+(n-1)×1=n+1,bn=1×2n-1=2n-1,abn=bn+1=2n-1+1,因此ab1+ab2+…+ab10=(20+1)+(21+1)+…+(29+1)=+10=
24、210+9=1 033. 答案:1 033 9.(2019·北京卷)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a2=-3,S5=-10,則a5=____________,Sn的最小值為____________. 解析:本題考查等差數(shù)列的通項公式、求和公式、等差數(shù)列的性質,難度不大,注重重要知識、基礎知識、基本運算能力的考查. 等差數(shù)列{an}中,S5=5a3=-10,得a3=-2,a2=-3,公差d=a3-a2=1,a5=a3+2d=0,由等差數(shù)列{an}的性質得n≤5時,an≤0,n≥6時,an大于0,所以Sn的最小值為S4或S5,即為-10. 答案:(1)0 (2)-10 10.(
25、2019·益陽三模)設等差數(shù)列{an}的各項均為整數(shù),其公差d≠0,a5=6,若a3,a5,am(m>5)是公比為q(q>0)的等比數(shù)列,則m的值為________. 解析:由a3am=a,(6-2d)[6+(m-5)d]=36, 得-2d[(m-5)d-3m+21]=0 ∵d≠0,∴(m-5)d-3m+21=0, ∴d==3- 由m>5,m,d∈Z知m-5為6的正約數(shù) ∴m-5可取1,2,3,6 當m-5=1,m=6時,d=-3, q===, 當m-5=2,m=7時,d=0,不合題意, 當m-5=3,m=8時,d=1,q= 當m-5=6,m=11時,d=2,q=3,故m
26、的值為6,8或11. 答案:6,8或11 三、解答題(本大題共2小題,每小題12分,共24分) 11.(2018·北京卷)設{an}是等差數(shù)列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2. (1)求{an}的通項公式; (2)求ea1+ea2+…+ean. 解:(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d, ∵a2+a3=5ln 2, ∴a1+d+a1+2d=5ln 2, ∵a1=ln 2,∴d=ln 2, ∵等差數(shù)列{an}中an=a1+(n-1)d=nln 2, ∴an=nln 2,n∈N*. (2)由(1)知an=nln 2, ∵ean=enln 2=eln2n=2n,
27、∴{ean}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列 ∴ea1+ea2+…+ean =eln 2+eln 22+…+eln 2n =2+22+…+2n = =2n+1-2 ∴所求為ea1+ea2+…ean=2n+1-2,n∈N*. 12.(2019·濰坊三模)設數(shù)列{an}的各項為正實數(shù),bn=log2an,若數(shù)列{bn}滿足b2=0,bn+1=bn+log2p,其中p為正常數(shù),且p≠1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若p=2,設數(shù)列{cn}對任意的n∈N*,都有c1bn+c2bn-1+c3bn-2+…+cnb1=-2n成立,問數(shù)列{cn}是不是等比數(shù)列?若是,請求出其通
28、項公式;若不是,請說明理由. 解析:(1)因為bn+1=bn+log2p,所以bn+1-bn=log2p, 所以數(shù)列{bn}是以log2p為公差的等差數(shù)列, 又b2=0,所以bn=b2+(n-2)(log2p)=log2pn-2, 故由bn=log2an,得an=2bn=2log2pn-2=pn-2. (2)因為p=2,由(1)得bn=n-2, 所以c1(n-2)+c2(n-3)+c3(n-4)+…+cn(-1)=-2n,① 則c1(n-1)+c2(n-2)+c3(n-3)+…+cn+1(-1)=-2(n+1),② 由②-①,得c1+c2+c3+…+cn-cn+1=-2,③ 所以c1+c2+c3+…+cn+cn+1-cn+2=-2,④ 再由④-③,得2cn+1=cn+2, 即=2(n∈N*), 所以當n≥2時,數(shù)列{cn}成等比數(shù)列, 又由①式,可得c1=2,c2=4,則=2, 所以數(shù)列{cn}一定是等比數(shù)列,且cn=2n. - 12 -
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