2019-2020學年高中數(shù)學 第1章 導數(shù)及其應用 1.2.2 函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù) 1.2.3 單復合函數(shù)的導數(shù)學案 蘇教版選修2-2

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1、1.2.2　函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù) 1.2.3　簡單復合函數(shù)的導數(shù) 學 習 目 標 核 心 素 養(yǎng) 1.理解導數(shù)的四則運算法則，能運用運算法則求函數(shù)的導數(shù)．(重點) 2．能求簡單的復合函數(shù)(僅限于形如f(ax＋b)的復合函數(shù))的導數(shù)．(難點) 3．積函數(shù)、商函數(shù)求導公式的正確運用．(易錯點) 通過導數(shù)的運算及應用，提升數(shù)學運算素養(yǎng). 1．導數(shù)的四則運算法則 設(shè)兩個函數(shù)f(x)，g(x)可導，則 和的導數(shù) [f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x) 差的導數(shù) [f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x) 積的導數(shù) [Cf(x)]′＝Cf′(x)(

2、C為常數(shù)) [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 商的導數(shù) ′＝(g(x)≠0) 2．復合函數(shù)的導數(shù) 復合函數(shù) 的概念 由基本初等函數(shù)復合而成的函數(shù)，稱為復合函數(shù) 復合函數(shù) 的求導法則 若y＝f(u)，u＝ax＋b，則y′x＝y(tǒng)′u·u′x，即y′x＝y(tǒng)′u·a 1．函數(shù)f(x)＝sin x＋x的導數(shù)是(　　) A．f′(x)＝cos x＋1 B．f′(x)＝cos x－1 C．f′(x)＝－cos x＋1 D．f′(x)＝－cos x＋x A　[f′(x)＝cos x＋1.選A.] 2．函數(shù)y＝x2cos 2x的導數(shù)為(　　)

3、 A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x B　[y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′ ＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′ ＝2xcos 2x－2x2sin 2x.] 3．函數(shù)y＝的導數(shù)是__________ . y′＝　[y′＝′ ＝ ＝＝.] 4．已知函數(shù)f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，則a＝____________. 1　[f′(x)＝2(2x＋a)(2x＋a)′＝4(2

4、x＋a)， ∴f′(2)＝4(4＋a)＝20，∴a＝1.] 利用導數(shù)的運算法則求導數(shù) 【例1】　(1)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(e)＋ln x(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則f′(e)＝________. (2)求下列函數(shù)的導數(shù)： ①f(x)＝(x＋2)(x－3)；②f(x)＝lg x－3x； ③f(x)＝＋；④f(x)＝. (1)－　[f′(x)＝2f′(e)＋，則f′(e)＝2f′(e)＋.∴f′(e)＝－.] (2)[解]　①∵f(x)＝x2－x－6， ∴f′(x)＝(x2－x－6)′＝2x－1. ②f′(x)＝(lg x)′－

5、(3x)′＝－3xln 3. ③∵f(x)＝＝， ∴f′(x)＝′＝＝. ④∵f(x)＝＝1－， ∴f′(x)＝1′－′ ＝－＝. 1．解答此類問題時常因?qū)?shù)的四則運算法則不熟而出錯． 2．對一個函數(shù)求導時，要緊扣導數(shù)運算法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，當不易直接應用導數(shù)公式時，應先對函數(shù)進行化簡(恒等變形)，然后求導．這樣可以減少運算量，優(yōu)化解題過程． 1．求下列函數(shù)的導數(shù)． (1)y＝x－2＋x2； (2)y＝3xex－2x＋e； (3)y＝； (4)y＝x2－sin cos. [解]　(1)y′＝2x－2x－3. (2)y′＝(ln 3＋1)·(

6、3e)x－2xln 2. (3)y′＝. (4)∵y＝x2－sincos＝x2－sin x， ∴y′＝2x－cos x. 求簡單復合函數(shù)的導數(shù) 【例2】　求下列函數(shù)的導數(shù)． (1)y＝e2x＋1；(2)y＝； (3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x. [思路探究]　先分析函數(shù)是怎樣復合而成的，找出中間變量，分層求導． [解]　(1)函數(shù)y＝e2x＋1可看做函數(shù)y＝eu和u＝2x＋1的復合函數(shù)， ∴y′x＝y(tǒng)′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1. (2)函數(shù)y＝可看做函數(shù)y＝u－3和u＝2x－1的復合函數(shù)， ∴y′x

7、＝y(tǒng)′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4 ＝－6(2x－1)－4＝－. (3)函數(shù)y＝5log2(1－x)可看做函數(shù)y＝5log2u和u＝1－x的復合函數(shù)， ∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝. (4)函數(shù)y＝sin3x可看做函數(shù)y＝u3和u＝sin x的復合函數(shù)，函數(shù)y＝sin 3x可看作函數(shù)y＝sin v和v＝3x的復合函數(shù)． ∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′ ＝3u2cos x＋3cos v ＝3sin2x cos x＋3cos 3x. 1．解答此類問題常犯兩個錯誤 (1)不能正確區(qū)分所

8、給函數(shù)是否為復合函數(shù)； (2)若是復合函數(shù)，不能正確判斷它是由哪些基本初等函數(shù)復合而成． 2．復合函數(shù)求導的步驟 2．求下列函數(shù)的導數(shù)． (1)y＝； (2)y＝log2(2x2－1)． [解]　(1)y＝ ＝ ＝＝1＋. 設(shè)y＝1＋，u＝1－x， 則y′＝y(tǒng)u′·ux′＝(1＋)′·(1－x)′ ＝·(－1) ＝－. (2)設(shè)y＝log2u，u＝2x2－1， 則y′＝y(tǒng)′u·ux′＝·4x＝. 導數(shù)法則的綜合應用 [探究問題] 試說明復合函數(shù)y＝(3x＋2)2的導函數(shù)是如何得出的？ [提示]　函數(shù)y＝(3x＋2)2可看做函數(shù)y＝u2和u＝3

9、x＋2的復合函數(shù)， ∴yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝(u2)′·(3x＋2)′＝6u＝6(3x＋2)． 【例3】　已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，設(shè)曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線為l，若直線l與圓C：x2＋y2＝相切，求實數(shù)a的值． [思路探究]　求出導數(shù)f′(1)，寫出切線方程，由直線l與圓C相切，建立方程求解． [解]　因為f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)， 所以f′(1)＝2a－2， 所以切線l的方程為2(a－1)x－y＋2－a＝0. 因為直線l與圓相切，所以圓心到直線l的距離等于半徑，即d＝＝，解得a＝. 若將本例中條件改為

10、“直線l與圓C：x2＋y2＝相交”，求a的取值范圍． [解]　由例題知，直線l的方程為2(a－1)x－y＋2－a＝0. ∵直線l與圓C：x2＋y2＝相交， ∴圓心到直線l的距離小于半徑， 即d＝<，解得a>. 關(guān)于復合函數(shù)導數(shù)的應用及其解決方法 (1)應用：求在某點處的切線方程，已知切線的方程或斜率求切點，以及涉及切線問題的綜合應用． (2)方法：先求出復合函數(shù)的導數(shù)，若已知切點則求出切線斜率、切線方程；若切點未知，則先設(shè)出切點，用切點表示切線斜率，再根據(jù)條件求切點坐標．總之，在解決此類問題時切點起著至關(guān)重要的作用． 1．正確運用四則運算求導法則是求導的關(guān)鍵，注意[

11、f(x)·g(x)]′與′這兩個法則的區(qū)別． 2．在運用法則求導時，對于復雜的函數(shù)可先化簡函數(shù)解析式再求導． 3．對于求復合函數(shù)的導數(shù)，要正確區(qū)分基本函數(shù). 1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)若f′(x)＝2x，則f(x)＝x2.(　　) (2)已知函數(shù)y＝2sin x－cos x，則y′＝2cos x＋sin x．(　　) (3)已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)(x＋2)，則f′(x)＝2x＋1.(　　) [解析]　(1)由f′(x)＝2x，則f(x)＝x2＋C. (2)由y＝2sin x－cos x， 則y′＝(2sin x)′－(cos x)′＝2cos

12、 x＋sin x. (3)由f(x)＝(x＋1)(x＋2)＝x2＋3x＋2， 所以f′(x)＝2x＋3. [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 2．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)等于(　　) A．0　　 B．－4 C．－2 D．2 B　[f′(x)＝2x＋2f′(1)．∴f′(1)＝2＋2f′(1)． 即f′(1)＝－2.∴f′(0)＝2(－2)＝－4.] 3．設(shè)曲線y＝eax在點(0,1)處的切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，則a＝________. 2　[令y＝f(x)，則曲線y＝eax在點(0,1)處的切線的斜率為f′(0)，又切線與直線x＋2y＋1

13、＝0垂直，所以f′(0)＝2.因為f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝(eax)·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.] 4．求下列函數(shù)的導數(shù)． (1)y＝cos(x＋3)； (2)y＝(2x－1)3；(3)y＝e－2x＋1. [解]　(1)函數(shù)y＝cos(x＋3)可以看做函數(shù)y＝cos u和u＝x＋3的復合函數(shù)， 由復合函數(shù)的求導法則可得 yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝(cos u)′·(x＋3)′ ＝－sin u·1＝－sin u＝－sin(x＋3)． (2)函數(shù)y＝(2x－1)3可以看做函數(shù)y＝u3和u＝2x－1的復合函數(shù)， 由復合函數(shù)的求導法則可得 yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝(u3)′·(2x－1)′ ＝3u2·2＝6u2＝6(2x－1)2. (3)y′＝e－2x＋1·(－2x＋1)′＝－2e－2x＋1. - 7 -