2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第3節(jié) 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)教學(xué)案 理(含解析)北師大版

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1、第三節(jié) 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) [考綱傳真] 1.能畫出y=sin x,y=cos x,y=tan x的圖像,了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖像與x軸的交點(diǎn)等),理解正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性. 1.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖 正弦函數(shù)y=sin x,x∈[0,2π]圖像的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:(0,0),,(π,0),,(2π,0). 余弦函數(shù)y=cos x,x∈[0,2π]圖像的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:(0,1),,(π,-1),,(2π,1). 2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì) 函數(shù) y=sin x y

2、=cos x y=tan x 圖像 定義域 R R xx≠kπ+, k∈Z 值域 [-1,1] [-1,1] R 遞增 區(qū)間 , k∈Z [2kπ-π,2kπ], k∈Z kπ-, kπ+,k∈Z 遞減 區(qū)間 , k∈Z [2kπ,2kπ+π], k∈Z 無 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 對(duì)稱 中心 (kπ,0),k∈Z ,k∈Z ,k∈Z 對(duì)稱軸 方程 x=kπ+(k∈Z) x=kπ(k∈Z) 無 周期性 2π 2π π  若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),則: (1)

3、f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ=+kπ(k∈Z); (2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ=kπ(k∈Z). [基礎(chǔ)自測(cè)] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)函數(shù)y=sin x的圖像關(guān)于點(diǎn)(kπ,0)(k∈Z)中心對(duì)稱. (  ) (2)正切函數(shù)y=tan x在定義域內(nèi)是增函數(shù). (  ) (3)已知y=ksin x+1,x∈R,則y的最大值為k+1. (  ) (4)y=sin |x|與y=|sin x|都是周期函數(shù). (  ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 2.下列函數(shù)中,周期為的是(  ) A.y=cos

4、4x      B.y=sin 2x C.y=cos D.y=sin A [由T=可知,ω==4,檢驗(yàn)可知選項(xiàng)A正確,故選A.] 3.若函數(shù)y=sin(φ-x)是奇函數(shù),則φ的值可能是(  ) A. B. C. D.π D [由y=sin(φ-x)是奇函數(shù)可知,φ=kπ,k∈Z,故選D.] 4.函數(shù)y=tan 2x的定義域是(  ) A. B. C. D. D [由2x≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z, ∴y=tan 2x的定義域?yàn)?] 5.y=sin的減區(qū)間是________. (k∈Z) [由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得 +kπ≤x

5、≤+kπ,k∈Z.] 三角函數(shù)的定義域和值域 1.函數(shù)f(x)=3sin在區(qū)間上的值域?yàn)?  ) A.       B. C. D. B [因?yàn)閤∈, 所以2x-∈, 所以sin∈, 所以3sin∈, 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域是.] 2.(2016·全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)=cos 2x+6cos的最大值為(  ) A.4 B.5 C.6 D.7 B [∵f(x)=cos 2x+6cos=cos 2x+6sin x =1-2sin2x+6sin x=-22+, 又sin x∈[-1,1],∴當(dāng)sin x=1時(shí),f(x)取得最大值5.故選B.

6、] 3.函數(shù)y=lg sin x+的定義域?yàn)開_______. (k∈Z) [要使函數(shù)有意義,則有 即 解得(k∈Z), ∴2kπ<x≤+2kπ,k∈Z. ∴函數(shù)的定義域?yàn)? .] 4.函數(shù)y=sin x-cos x+sin x cos x,x∈[0,π]的值域?yàn)開_______. [-1,1] [設(shè)t=sin x-cos x, 則t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x, 即sin xcos x=,且-1≤t≤. ∴y=-+t+=-(t-1)2+1. 當(dāng)t=1時(shí),ymax=1; 當(dāng)t=-1時(shí),ymin=-1. ∴函數(shù)的值域?yàn)閇-1,1].] [規(guī)律方

7、法] 1.三角函數(shù)定義域的求法 求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡(jiǎn)單的三角不等式(組),常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖像來求解. 2.求三角函數(shù)最值或值域的常用方法 (1)直接法:直接利用sin x和cos x的值域求解. (2)化一法:把所給三角函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式,由正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域. (3)換元法:把sin x,cos x,sin xcos x或sin x±cos x換成t,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解. 三角函數(shù)的單調(diào)性 【例1】 (1)(2018·全國(guó)卷Ⅱ)若f(x)=cos x-sin x在[0,a] 是減函數(shù),則a的最大值是(  ) A.

8、 B. C. D.π (2)函數(shù)f(x)=sin的減區(qū)間為________. (1)C (2)(k∈Z) [(1)f(x)=cos x-sin x=-sin, 當(dāng)x-∈,即x∈時(shí), sin遞增,-sin 遞減, ∴是f(x)在原點(diǎn)附近的遞減區(qū)間, 結(jié)合條件得[0,a]?, ∴a≤,即amax=,故選C. (2)由已知,得函數(shù)為y=-sin,欲求函數(shù)的減區(qū)間,只需求y=sin的單調(diào)增區(qū)間即可. 由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 故所求函數(shù)的減區(qū)間為(k∈Z).] [規(guī)律方法] 1.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法 (1)代換法:求

9、形如y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的單調(diào)區(qū)間時(shí),要視“ωx+φ”為一個(gè)整體,通過解不等式求解.若ω<0,應(yīng)先用誘導(dǎo)公式化x的系數(shù)為正數(shù),以防止把單調(diào)性弄錯(cuò). (2)圖像法:畫出三角函數(shù)的圖像,利用圖像求它的單調(diào)區(qū)間. 2.已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù),先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,然后利用集合間的關(guān)系求解. (1)(2019·珠海模擬)已知ω>0,函數(shù)f(x)=sin在上遞減,則ω的取值范圍是(  ) A.(0,2] B. C. D. (2)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均為正的常數(shù))的最小正周期為π,當(dāng)x=時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值,則下列結(jié)論正確的是(

10、  ) A.f(2)<f(-2)<f(0) B.f(0)<f(2)<f(-2) C.f(-2)<f(0)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(-2) (1)D (2)A [(1)由2kπ+≤ωx+≤2kπ+,得+≤x≤+,k∈Z,因?yàn)閒(x)=sin在上遞減,所以解得因?yàn)閗∈Z,ω>0,所以k=0, 所以≤ω≤,即ω的取值范圍為.故選D. (2)因?yàn)門=π,所以ω=2.所以2×+φ=+2kπ,k∈Z,得φ的一個(gè)正值為,所以y=Asin. 由函數(shù)圖像及2,-2,0與最近的最高值的距離,距離越大值越小,可判斷f(2)<f(-2)<f(0).故選A.] 三角函數(shù)的奇偶性、周期

11、性及對(duì)稱性 ?考法1 三角函數(shù)的周期性 【例2】 (1)函數(shù)y=sin 2x+cos 2x的最小正周期為(  ) A. B. C.π D.2π (2)若函數(shù)f(x)=2tan的最小正周期T滿足1<T<2,則自然數(shù)k的值為________. (1)C (2)2或3 [(1)因?yàn)閥=sin 2x+cos 2x=2=2sin,所以其最小正周期T==π.故選C. (2)由題意知1<<2,即k<π<2k. 又k∈Z,所以k=2或k=3.] ?考法2 三角函數(shù)的奇偶性 【例3】 已知函數(shù)f(x)=sin(x+θ)+cos(x+θ),θ∈是偶函數(shù),則θ的值為(  ) A.0

12、 B. C. D. B [∵f(x)=2sin, ∴要使f(x)為偶函數(shù),只需θ+=kπ+,k∈Z. ∴θ=kπ+,k∈Z. 又θ∈,∴當(dāng)k=0時(shí), θ=.] ?考法3 三角函數(shù)圖像的對(duì)稱性 【例4】 (1)(2018·陜西二模)已知函數(shù)f(x)=sin(ω>0)的最小正周期為π,則該函數(shù)的圖像(  ) A.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 C.關(guān)于直線x=對(duì)稱 D.關(guān)于直線x=對(duì)稱 (2)(2019·武漢模擬)若函數(shù)y=cos(ω∈N*)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是,則ω的最小值為________. (1)C (2)2 [(1)由題意,得T==π,所以ω=2,所以f(x)

13、=sin.由2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z),所以函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(k∈Z)對(duì)稱,故A,B不正確;由2x+=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),所以函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=對(duì)稱,故C正確,D不正確,故選C. (2)由題意知π+=kπ+(k∈Z), ∴ω=6k+2(k∈Z),又ω∈N* , ∴ωmin=2.] [規(guī)律方法] 1.對(duì)于函數(shù)y=Asin(ωx+φ),其對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn). 2.求三角函數(shù)周期的方法 (1)利用周期函數(shù)的定義. (2)利用公式:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期為,

14、y=tan(ωx+φ)的最小正周期為. (1)在函數(shù)①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos,④y=tan中,最小正周期為π的所有函數(shù)為(  ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ (2)(2019·山師大附中模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)在x=時(shí)取得最大值,則函數(shù)g(x)=cos(2x+φ)的圖像(  ) A.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 C.關(guān)于直線x=對(duì)稱 D.關(guān)于直線x=對(duì)稱 (3)(2018·濟(jì)南一模)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期為π,且f=f(x),則(  ) A.f

15、(x)在上遞減 B.f(x)在上遞增 C.f(x)在上遞增 D.f(x)在上遞減 (1)A (2)A (3)D [(1)①y=cos|2x|=cos 2x,最小正周期為π; ②由圖像知y=|cos x|的最小正周期為π; ③y=cos的最小正周期T==π; ④y=tan的最小正周期T=,故選A. (2)因?yàn)閤=時(shí),f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)取得最大值, 所以φ=,即g(x)=cos, 所以對(duì)稱中心,對(duì)稱軸x=-,故選A. (3)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=2sin,因?yàn)槠渥钚≌芷跒棣?,所以=π,ω?,則f(x)=2sin,又因?yàn)閒

16、=f(x),所以x=為函數(shù)f(x)圖像的一條對(duì)稱軸,則2×+φ+=+kπ,k∈Z,解得φ=-+kπ,k∈Z,又因?yàn)閨φ|<,所以φ=-,則f(x)=2sin=2sin,令+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,令k=0,得函數(shù)f(x)在上遞減,故選D.] 1.(2017·全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)=sin的最小正周期為(  ) A.4π          B.2π C.π D. C [函數(shù)f(x)=sin的最小正周期T==π.故選C.] 2.(2017·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)=cos,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(  ) A.f(x)的一個(gè)周期為-2π B.

17、y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱 C.f(x+π)的一個(gè)零點(diǎn)為x= D.f(x)在遞減 D [A項(xiàng),因?yàn)閒(x)=cos的周期為2kπ(k∈Z),所以f(x)的一個(gè)周期為-2π,A項(xiàng)正確. B項(xiàng),因?yàn)閒(x)=cos圖像的對(duì)稱軸為直線x=kπ-(k∈Z),所以y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱,B項(xiàng)正確. C項(xiàng),f(x+π)=cos.令x+=kπ+(k∈Z),得x=kπ-π,當(dāng)k=1時(shí),x=,所以f(x+π)的一個(gè)零點(diǎn)為x=,C項(xiàng)正確. D項(xiàng),因?yàn)閒(x)=cos的遞減區(qū)間為(k∈Z),遞增區(qū)間為(k∈Z),所以是減區(qū)間,是增區(qū)間,D項(xiàng)錯(cuò)誤. 故選D.] 3.(2018·全國(guó)卷Ⅲ)函數(shù)f(x)=cos在[0,π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________. 3 [由題意知,cos=0,所以3x+=+kπ,k∈Z,所以x=+,k∈Z.當(dāng)k=0時(shí),x=;當(dāng)k=1時(shí),x=;當(dāng)k=2時(shí),x=,均滿足題意,所以函數(shù)f(x)在[0,π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.] 4.(2017·全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)=sin2x+cos x-的最大值是________. 1 [f(x)=1-cos2x+cos x-=-2+1. ∵x∈,∴cos x∈[0,1], ∴當(dāng)cos x=時(shí),f(x)取得最大值,最大值為1.] - 11 -

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