2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）2.2.1.1 對(duì)數(shù)學(xué)案（含解析）新人教A版必修1

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1、第1課時(shí)　對(duì)數(shù) 知識(shí)點(diǎn)　對(duì)數(shù) 1．對(duì)數(shù)的概念 (1)定義 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN. logaN是一個(gè)數(shù)，是一種取對(duì)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)果仍是一個(gè)數(shù)，不可分開書寫． (2)相關(guān)概念 ①底數(shù)與真數(shù) 其中，a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)． ②常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù) 通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，并把log10N記作lg_N；以無理數(shù)e＝2.718 28…為底數(shù)的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，并且把logeN記為ln_N. 2．對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系 當(dāng)a>0，a≠1時(shí)，ax＝N?x＝logaN.前者叫指數(shù)式，后者叫對(duì)數(shù)式． 3

2、．對(duì)數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)1 零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù) 性質(zhì)2 1的對(duì)數(shù)是0，即loga1＝0(a>0，且a≠1) 性質(zhì)3 底數(shù)的對(duì)數(shù)是1，即logaa＝1(a>0，且a≠1) 指數(shù)式、對(duì)數(shù)式中各個(gè)字母的名稱變化如下表： 式子 名稱 a x N 指數(shù)式 ax＝N 底數(shù) 指數(shù) 冪 對(duì)數(shù)式 x＝logaN 底數(shù) 對(duì)數(shù) 真數(shù) [小試身手] 1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)logaN是loga與N的乘積．(　　) (2)(－2)3＝－8可化為log(－2)(－8)＝3.(　　) (3)對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是求冪指數(shù)．(　　) 答案：

3、(1)×　(2)×　(3)√ 2．把指數(shù)式ab＝N化為對(duì)數(shù)式是(　　) A．logba＝N　　　　　B．logaN＝b　　　　　C．logNb＝a　　　　　D．logNa＝b 解析：根據(jù)對(duì)數(shù)定義知ab＝N?logaN＝b. 答案：B 3．把對(duì)數(shù)式loga49＝2寫成指數(shù)式為(　　) A．a(chǎn)49＝2 B．2a＝49 C．492＝a D．a(chǎn)2＝49 解析：根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化可知，把loga49＝2化為指數(shù)式為a2＝49. 答案：D 4．已知logx16＝2，則x等于(　　) A．±4 B．4 C．256 D．2 解析：由logx16＝2可知x2＝16，所以x

4、＝±4， 又x>0且x≠1，所以x＝4. 答案：B 類型一　指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化 例1　(1)根據(jù)對(duì)數(shù)定義，將下列指數(shù)式寫成對(duì)數(shù)式： ①3x＝；　　　　②x＝64； ③x＝； ④5＝. (2)根據(jù)對(duì)數(shù)定義，把下列對(duì)數(shù)式寫成指數(shù)式： ①loga1＝0(a>0，a≠1)； ②log16＝－； ③ln 10＝x. 【解析】　(1)①log3＝x；②log64＝x；③log＝x；④log5＝－. (2)①a0＝1(a>0，a≠1)；②16＝；③ex＝10. (1)把指數(shù)式轉(zhuǎn)化成對(duì)數(shù)式時(shí)，應(yīng)注意底數(shù)保持不變，冪作為真數(shù)，指數(shù)作為對(duì)數(shù)． (2)指數(shù)式

5、與對(duì)數(shù)式互化過程中，應(yīng)注意底數(shù)保持不變．真數(shù)與冪；對(duì)數(shù)與指數(shù)分別對(duì)應(yīng)．, 方法歸納 指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的思路 (1)指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式 將指數(shù)式的冪作為真數(shù)，指數(shù)作為對(duì)數(shù)，底數(shù)不變，寫出對(duì)數(shù)式． (2)對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式 將對(duì)數(shù)式的真數(shù)作為冪，對(duì)數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫出指數(shù)式．, 跟蹤訓(xùn)練1　將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化： (1)25＝32; (2)－2＝4； (3)log381＝4; (4)log4＝m. 解析：(1)log232＝5；(2)log4＝－2；(3)34＝81；(4)m＝4. 底數(shù)不變，指數(shù)與對(duì)數(shù)，冪與真數(shù)相對(duì)應(yīng)． 類型二　對(duì)數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用

6、 例2　求下列各式中的x的值． (1)log2(log3x)＝0； (2)log5(log2x)＝1； (3)log(＋1)＝x. 【解析】　(1)因?yàn)閘og2(log3x)＝0， 所以log3x＝1， 所以x＝3. (2)因?yàn)閘og5(log2x)＝1， 所以log2x＝5， 所以x＝25＝32. (3)＝＝＋1， 所以log(＋1)＝log(＋1)(＋1)＝1， 所以x＝1. 利用性質(zhì)logaa＝1，loga1＝0求值． 方法歸納 利用對(duì)數(shù)性質(zhì)求值的方法 (1)求多重對(duì)數(shù)式的值的解題方法是由內(nèi)到外，如求loga(logbc)的值，先求logb

7、c的值，再求loga(logbc)的值． (2)已知多重對(duì)數(shù)式的值，求變量值，應(yīng)從外到內(nèi)求，逐步脫去“l(fā)og”后再求解． 跟蹤訓(xùn)練2　求下列各式中的x的值． (1)log8[log7(log2x)]＝0； (2)log2[log3(log2x)]＝1. 解析：(1)由log8[log7(log2x)]＝0 得log7(log2x)＝1， 所以log2x＝7， 所以x＝27＝128. (2)由log2[log3(log2x)]＝1得 log3(log2x)＝2， 所以log2x＝32， 所以x＝29＝512. 多種對(duì)數(shù)求值先內(nèi)到外，利用性質(zhì)逐一求值． 類型三　對(duì)數(shù)

8、恒等式alogaN＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)的應(yīng)用 例3　求下列各式的值： (1)2log23＋3log32； (2)22＋log2； (3)101＋lg 2； (4)e－1＋ln 3. 【解析】　(1)因?yàn)?＝3,3＝2， 所以原式＝3＋2＝5. (2)原式＝22×2＝4×＝. (3)原式＝10×10lg 2＝10×2＝20. (4)原式＝e－1×eln 3＝×3＝. 化成alogaN＝N形式，再求值． 方法歸納 利用對(duì)數(shù)恒等式化簡的關(guān)鍵是利用指數(shù)冪的相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)把式子轉(zhuǎn)化為alogaN的形式． 跟蹤訓(xùn)練3　計(jì)算：(1)9＝________； (2

9、)－1＋log32＝________. 解析：(1)9＝(9)＝3＝4. (2)原式＝－1×＝3×(3－1) ＝3×(3)－1 ＝3×2－1 ＝. 答案：(1)4　(2) 不同底的先化成同底，再利用對(duì)數(shù)恒等式求值． [基礎(chǔ)鞏固](25分鐘，60分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．對(duì)于下列說法： (1)零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)； (2)任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式； (3)以10為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)； (4)以e為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)． 其中錯(cuò)誤說法的個(gè)數(shù)為(　　) A．1　B．2 C．3 D．4 解析：只有符合a>0，且a≠1，N>0，才有

10、ax＝N?x＝logaN，故(2)錯(cuò)誤．由定義可知(3)(4)均錯(cuò)誤．只有(1)正確． 答案：C 2．將－2＝9寫成對(duì)數(shù)式，正確的是(　　) A．log9＝－2　　　　　B．log9＝－2 C．log (－2)＝9 D．log9(－2)＝ 解析：根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，得log9＝－2，故選B. 答案：B 3．若loga2b＝c則(　　) A．a(chǎn)2b＝c B．a(chǎn)2c＝b C．bc＝2a D．c2a＝b 解析：loga2b＝c?(a2)c＝b?a2c＝b. 答案：B 4．3－27－lg 0.01＋ln e3等于(　　) A．14 B．0 C．1 D．6 解析：3l

11、og34－27－lg 0.01＋ln e3＝4－－lg＋3＝4－32－(－2)＋3＝0.選B. 答案：B 5．已知loga＝m，loga3＝n，則am＋2n等于(　　) A．3 B. C．9 D. 解析：由已知得am＝，an＝3. 所以am＋2n＝am×a2n＝am×(an)2＝×32＝.故選D. 答案：D 二、填空題(每小題5分，共15分) 6．求下列各式的值： (1)log636＝________； (2)ln e3＝________； (3)log50.2＝________； (4)lg 0.01＝________. 解析：(1)log636＝2. (2

12、)ln e3＝3. (3)log50.2＝log55－1＝－1. (4)lg 0.01＝lg 10－2＝－2. 答案：(1)2　(2)3　(3)－1　(4)－2 7．計(jì)算： ＋ln e2＝________. 解析：＋ln e2＝π－3＋2＝π－1. 答案：π－1 8．10lg 2－ln e＝________. 解析：ln e＝1， 所以原式＝10lg2－1＝10lg 2×10－1 ＝2×＝. 答案： 三、解答題(每小題10分，共20分) 9．將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化： (1)log216＝4; (2)log27＝－3； (3)logx＝6; (4)43＝64；

13、 (5)3－2＝； (6)－2＝16. 解析：(1)24＝16；(2)－3＝27； (3)()6＝x；(4)log464＝3； (5)log3＝－2；(6)log16＝－2. 10．計(jì)算下列各式： (1)2ln e＋lg 1＋3log3 2； (2)3log34－lg 10＋2ln 1. 解析：(1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4. (2)原式＝3log34－1＋20 ＝3log34÷31＋1 ＝＋1＝. [能力提升](20分鐘，40分) 11．已知f(2x＋1)＝，則f(4)等于(　　) A.log25 B.log23 C. D. 解析：令2x

14、＋1＝4，得x＝log23， 所以f(4)＝log23，選B. 答案：B 12．若log(x－1)(3－x)有意義，則x的取值范圍是________． 解析：由已知得 解得10，b>0，c>0，a≠1，b≠1)． 解析：(1)∵log3(log2x)＝0，∴l(xiāng)og2x＝1.∴x＝21＝2. (2)∵log2(lg x)＝1，∴l(xiāng)g x＝2.∴x＝102＝100. (3)x＝5＝＝. (4)x＝(a)＝b＝c. 14．計(jì)算下列各式： (1)10lg 3－()＋eln 6； (2)2＋3. 解析：(1)原式＝3－()0＋6 ＝3－1＋6 ＝8. (2)原式＝22÷2＋3－2·3 ＝4÷3＋×6 ＝＋ ＝2. - 10 -