《2020版高考數(shù)學一輪復習 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第3節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教學案 理(含解析)新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學一輪復習 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第3節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教學案 理(含解析)新人教A版(10頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第三節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
[考綱傳真] 1.能畫出y=sin x,y=cos x,y=tan x的圖象,了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點等),理解正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.
1.用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖
正弦函數(shù)y=sin x,x∈[0,2π]圖象的五個關(guān)鍵點是:(0,0),,(π,0),,(2π,0).
余弦函數(shù)y=cos x,x∈[0,2π]圖象的五個關(guān)鍵點是:(0,1),,(π,-1),,(2π,1).
2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)
函數(shù)
y=sin x
y
2、=cos x
y=tan x
圖象
定義域
R
R
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
單調(diào)性
遞增區(qū)間:
,k∈Z,
遞減區(qū)間:
,k∈Z
遞增區(qū)間:
[2kπ-π,2kπ],k∈Z,
遞減區(qū)間:
[2kπ,2kπ+π],k∈Z
遞增區(qū)間
,k∈Z
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
對稱性
對稱中心
(kπ,0),k∈Z
對稱中心
,k∈Z
對稱中心
,k∈Z
對稱軸
x=kπ+(k∈Z)
對稱軸
x=kπ(k∈Z)
周期性
2π
2π
π
[常用結(jié)論]
若f(x)=Asin(ωx+φ)(A
3、,ω≠0),則:
(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ=+kπ(k∈Z);
(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ=kπ(k∈Z).
[基礎自測]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數(shù)y=sin x的圖象關(guān)于點(kπ,0)(k∈Z)中心對稱.( )
(2)正切函數(shù)y=tan x在定義域內(nèi)是增函數(shù).( )
(3)已知y=ksin x+1,x∈R,則y的最大值為k+1.( )
(4)y=sin |x|與y=|sin x|都是周期函數(shù).( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2.下列函數(shù)中,周期為的是( )
4、
A.y=cos 4x B.y=sin 2x
C.y=cos D.y=sin
A [由T=可知,ω==4,檢驗可知選項A正確,故選A.]
3.若函數(shù)y=sin(φ-x)是奇函數(shù),則φ的值可能是( )
A. B.
C. D.π
D [由y=sin(φ-x)是奇函數(shù)可知,φ=kπ,k∈Z,故選D.]
4.函數(shù)y=tan 2x的定義域是( )
A.
B.
C.
D.
D [由2x≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,
∴y=tan 2x的定義域為.]
5.y=sin的單調(diào)減區(qū)間是________.
(k∈Z) [由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z
5、得
+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.]
三角函數(shù)的定義域和值域
1.函數(shù)f(x)=3sin在區(qū)間上的值域為( )
A. B.
C. D.
B [因為x∈,
所以2x-∈,
所以sin∈,
所以3sin∈,
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域是.]
2.(2016·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)=cos 2x+6cos的最大值為( )
A.4 B.5
C.6 D.7
B [∵f(x)=cos 2x+6cos=cos 2x+6sin x
=1-2sin2x+6sin x=-22+,
又sin x∈[-1,1],∴當sin x=1時,f(x)取得
6、最大值5.故選B.]
3.函數(shù)y=lg sin x+的定義域為________.
(k∈Z) [要使函數(shù)有意義,則有
即
解得(k∈Z),
∴2kπ<x≤+2kπ,k∈Z.
∴函數(shù)的定義域為
.]
4.函數(shù)y=sin x-cos x+sin x cos x,x∈[0,π]的值域為________.
[-1,1] [設t=sin x-cos x,
則t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,
即sin xcos x=,且-1≤t≤.
∴y=-+t+=-(t-1)2+1.
當t=1時,ymax=1;
當t=-1時,ymin=-1.
∴函數(shù)的值域為[-1,1
7、].]
[規(guī)律方法] 1.三角函數(shù)定義域的求法,求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組),常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解.
2.求三角函數(shù)最值或值域的常用方法
(1)直接法:直接利用sin x和cos x的值域求解.
(2)化一法:把所給三角函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式,由正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域.
(3)換元法:把sin x,cos x,sin xcos x或sin x±cos x換成t,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解.
三角函數(shù)的單調(diào)性
【例1】 (1)(2018·全國卷Ⅱ)若f(x)=cos x-sin x在[0,a] 是減函數(shù),則a的最大值是
8、( )
A. B.
C. D.π
(2)函數(shù)f(x)=sin的單調(diào)減區(qū)間為________.
(1)C (2)(k∈Z) [(1)f(x)=cos x-sin x=-sin,
當x-∈,即x∈時,
sin單調(diào)遞增,-sin 單調(diào)遞減,
∴是f(x)在原點附近的單調(diào)遞減區(qū)間,
結(jié)合條件得[0,a]?,
∴a≤,即amax=,故選C.
(2)由已知,得函數(shù)為y=-sin,欲求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間,只需求y=sin的單調(diào)增區(qū)間即可.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
故所求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(k∈Z).]
[規(guī)律方法] 1.求三
9、角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法
(1)代換法:求形如y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的單調(diào)區(qū)間時,要視“ωx+φ”為一個整體,通過解不等式求解.若ω<0,應先用誘導公式化x的系數(shù)為正數(shù),以防止把單調(diào)性弄錯.
(2)圖象法:畫出三角函數(shù)的圖象,利用圖象求它的單調(diào)區(qū)間.
2.已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù),先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,然后利用集合間的關(guān)系求解.
(1)(2019·珠海模擬)已知ω>0,函數(shù)f(x)=sin在上單調(diào)遞減,則ω的取值范圍是( )
A.(0,2] B.
C. D.
(2)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均為正的常數(shù))的最小正周期為π,當x=
10、時,函數(shù)f(x)取得最小值,則下列結(jié)論正確的是( )
A.f(2)<f(-2)<f(0) B.f(0)<f(2)<f(-2)
C.f(-2)<f(0)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(-2)
(1)D (2)A [(1)由2kπ+≤ωx+≤2kπ+,得+≤x≤+,k∈Z,因為f(x)=sin在上單調(diào)遞減,所以解得因為k∈Z,ω>0,所以k=0,
所以≤ω≤,即ω的取值范圍為.故選D.
(2)因為T=π,所以ω=2.所以2×+φ=+2kπ,k∈Z,得φ的一個正值為,所以y=Asin.
由函數(shù)圖象及2,-2,0與最近的最高值的距離,距離越大值越小,可判斷f(2)<f(-
11、2)<f(0).故選A.]
三角函數(shù)的奇偶性、周期性及對稱性
?考法1 三角函數(shù)的周期性
【例2】 (1)函數(shù)y=sin 2x+cos 2x的最小正周期為( )
A. B.
C.π D.2π
(2)若函數(shù)f(x)=2tan的最小正周期T滿足1<T<2,則自然數(shù)k的值為________.
(1)C (2)2或3 [(1)因為y=sin 2x+cos 2x=2=2sin,所以其最小正周期T==π.故選C.
(2)由題意知1<<2,即k<π<2k.
又k∈Z,所以k=2或k=3.]
?考法2 三角函數(shù)的奇偶性
【例3】 已知函數(shù)f(x)=sin(x+θ)+
12、cos(x+θ),θ∈是偶函數(shù),則θ的值為( )
A.0 B.
C. D.
B [∵f(x)=2sin,
∴要使f(x)為偶函數(shù),只需θ+=kπ+,k∈Z.
∴θ=kπ+,k∈Z.
又θ∈,∴當k=0時, θ=.]
?考法3 三角函數(shù)圖象的對稱性
【例4】 (1)(2018·陜西二模)已知函數(shù)f(x)=sin(ω>0)的最小正周期為π,則該函數(shù)的圖象( )
A.關(guān)于點對稱
B.關(guān)于點對稱
C.關(guān)于直線x=對稱
D.關(guān)于直線x=對稱
(2)(2019·武漢模擬)若函數(shù)y=cos(ω∈N*)圖象的一個對稱中心是,則ω的最小值為________.
(1)C (
13、2)2 [(1)由題意,得T==π,所以ω=2,所以f(x)=sin.由2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z),所以函數(shù)f(x)關(guān)于點(k∈Z)對稱,故A,B不正確;由2x+=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),所以函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=對稱,故C正確,D不正確,故選C.
(2)由題意知π+=kπ+(k∈Z),
∴ω=6k+2(k∈Z),又ω∈N* ,
∴ωmin=2.]
[規(guī)律方法] 1.對于函數(shù)y=Asin(ωx+φ),其對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點,對稱中心的橫坐標一定是函數(shù)的零點.
2.求三角函數(shù)周期的方法
(1)利用周期函數(shù)的定義.
(2)利用公式:y=A
14、sin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期為,y=tan(ωx+φ)的最小正周期為.
(1)在函數(shù)①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos,④y=tan中,最小正周期為π的所有函數(shù)為( )
A.①②③ B.①③④
C.②④ D.①③
(2)(2019·山師大附中模擬)設函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)在x=時取得最大值,則函數(shù)g(x)=cos(2x+φ)的圖象( )
A.關(guān)于點對稱
B.關(guān)于點對稱
C.關(guān)于直線x=對稱
D.關(guān)于直線x=對稱
(3)(2018·濟南一模)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx
15、+φ)的最小正周期為π,且f=f(x),則( )
A.f(x)在上單調(diào)遞減
B.f(x)在上單調(diào)遞增
C.f(x)在上單調(diào)遞增
D.f(x)在上單調(diào)遞減
(1)A (2)A (3)D [(1)①y=cos|2x|=cos 2x,最小正周期為π;
②由圖象知y=|cos x|的最小正周期為π;
③y=cos的最小正周期T==π;
④y=tan的最小正周期T=,故選A.
(2)因為x=時,f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)取得最大值,
所以φ=,即g(x)=cos,
所以對稱中心,對稱軸x=-,故選A.
(3)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=2s
16、in,因為其最小正周期為π,所以=π,ω=2,則f(x)=2sin,又因為f=f(x),所以x=為函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸,則2×+φ+=+kπ,k∈Z,解得φ=-+kπ,k∈Z,又因為|φ|<,所以φ=-,則f(x)=2sin=2sin,令+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,令k=0,得函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減,故選D.]
1.(2017·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)=sin的最小正周期為( )
A.4π B.2π
C.π D.
C [函數(shù)f(x)=sin的最小正周期T==π.故選C.]
2.(2017·全國卷Ⅲ)設函數(shù)f(x)=cos
17、,則下列結(jié)論錯誤的是( )
A.f(x)的一個周期為-2π
B.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱
C.f(x+π)的一個零點為x=
D.f(x)在單調(diào)遞減
D [A項,因為f(x)=cos的周期為2kπ(k∈Z),所以f(x)的一個周期為-2π,A項正確.
B項,因為f(x)=cos圖象的對稱軸為直線x=kπ-(k∈Z),所以y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱,B項正確.
C項,f(x+π)=cos.令x+=kπ+(k∈Z),得x=kπ-π,當k=1時,x=,所以f(x+π)的一個零點為x=,C項正確.
D項,因為f(x)=cos的遞減區(qū)間為(k∈Z),遞增區(qū)間為(k∈Z)
18、,所以是減區(qū)間,是增區(qū)間,D項錯誤.
故選D.]
3.(2018·全國卷Ⅲ)函數(shù)f(x)=cos在[0,π]的零點個數(shù)為________.
3 [由題意知,cos=0,所以3x+=+kπ,k∈Z,所以x=+,k∈Z.當k=0時,x=;當k=1時,x=;當k=2時,x=,均滿足題意,所以函數(shù)f(x)在[0,π]的零點個數(shù)為3.]
4.(2017·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)=sin2x+cos x-的最大值是________.
1 [f(x)=1-cos2x+cos x-=-2+1.
∵x∈,∴cos x∈[0,1],
∴當cos x=時,f(x)取得最大值,最大值為1.]
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