《2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法教案 新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法教案 新人教A版（14頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法教案 新人教A版
自主梳理
1．?dāng)?shù)列的定義
按照________________著的一列數(shù)叫數(shù)列，數(shù)列中的______________都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)；在函數(shù)意義下，數(shù)列是________________________的函數(shù)，數(shù)列的一般形式為：______________________，簡(jiǎn)記為{an}，其中an是數(shù)列的第____項(xiàng)．
1．一定順序排列 每一個(gè)數(shù) 定義域?yàn)镹*(或它的子集)a1，a2，a3，…，an，… n
2．通項(xiàng)公式：
如果數(shù)列{an}的______與____之間的關(guān)系可以____________來(lái)表示，
2、那么這個(gè)式子叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式．但并非每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式，也并非都是唯一的．
2.第n項(xiàng) n 用一個(gè)公式
3．?dāng)?shù)列有三種表示法：它們分別是_________、________、________.
.解析法(通項(xiàng)公式或遞推公式) 列表法 圖象法
4．?dāng)?shù)列的分類(lèi)：
數(shù)列按項(xiàng)數(shù)來(lái)分，分為_(kāi)___________、__________；
按項(xiàng)的增減規(guī)律分為_(kāi)_______、________、__________和__________．
遞增數(shù)列?an＋1______an；遞減數(shù)列?an＋1______an；常數(shù)列?an＋1______an.
按其他標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi) 有界數(shù)列存在正數(shù)M，使
3、|an|≤M
擺動(dòng)數(shù)列 an的符號(hào)正負(fù)相間，如1，－1,1，－1，…
4.有窮數(shù)列 無(wú)窮數(shù)列 遞增數(shù)列 遞減數(shù)列 擺動(dòng)數(shù)列 常數(shù)列 >
4、一確定的數(shù)，而項(xiàng)數(shù)是指數(shù)列的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置序號(hào).
2.數(shù)列的函數(shù)特征
數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)的函數(shù)解析式，即f(n)＝an (n∈N*).
自我檢測(cè)
1．設(shè)an＝－n2＋10n＋11，則數(shù)列{an}從首項(xiàng)到第幾項(xiàng)的和最大 ( )
A．10 B．11 C．10或11 D．12
2.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝n＋ (n∈N*)，則數(shù)列{an}的最小項(xiàng)是 ( )
A.a12 B.a13 C.a12或a13 D.不存在
3.在數(shù)列{an}中，a1＝1，
5、a2＝5，an＋2＝an＋1－an (n∈N*)，則a100等于 ( )
A.1 B.－1 C.5 D.－5
4．已知數(shù)列{an}對(duì)任意的p，q∈N*滿足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于 ( )
A．－165 B．－33 C．－30 D．－21
5．已知數(shù)列－1，，－，，…按此規(guī)律，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是( )
A．a(chǎn)n＝(－1)n· B．a(chǎn)n＝(－1)n·
C．a(chǎn)n＝(－1)n· D．a(chǎn)n＝(－1)n·
6．下列對(duì)數(shù)列的理解：
①數(shù)列可以看成一個(gè)定義在N*(或它的有限子集{1,2,3，…
6、，n})上的函數(shù)；
②數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是有限的；
③數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn)；
④數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的．
其中說(shuō)法正確的序號(hào)是 ( )
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①②③④
7.已知數(shù)列{an}的前4項(xiàng)為1,3,7,15，寫(xiě)出數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)_ an＝2n－1 (n∈N*)________.
8.已知數(shù)列，，2，…，根據(jù)數(shù)列的規(guī)律，2應(yīng)該是該數(shù)列的第___7_____項(xiàng).
9.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－10n (n＝1,2,3，…)，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為a
7、n＝___.2n－11_______；數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項(xiàng)是第________項(xiàng).
10．在數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋ (n∈N*)，則該數(shù)列的通項(xiàng)an＝______.
題型一 由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式
探究點(diǎn)一 由數(shù)列前幾項(xiàng)求數(shù)列通項(xiàng)
例1 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫(xiě)出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：
(1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；
(3)，，－，，－，，…； (4)，1，，，…；
(5)0,1,0,1，…. (6)，，，，，…；
解題導(dǎo)引 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求它的一個(gè)通項(xiàng)公式，要
8、注意觀察每一項(xiàng)的特點(diǎn)，要使用添項(xiàng)、還原、分割等方法，轉(zhuǎn)化為一些常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)求；
解 (1)符號(hào)問(wèn)題可通過(guò)(－1)n或(－1)n＋1表示，其各項(xiàng)的絕對(duì)值的排列規(guī)律為：后面的數(shù)的絕對(duì)值總比前面數(shù)的絕對(duì)值大6，故通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(6n－5).
(2)將數(shù)列變形為
(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，∴an＝.
(3)各項(xiàng)的分母分別為21,22,23,24，…，易看出第2,3,4項(xiàng)的分子分別比分母少3.因此把第1項(xiàng)變?yōu)椋?，原?shù)列可化為
－，，－，，…，
∴an＝(－1)n·.
(4)將數(shù)列統(tǒng)一為，，，，…，對(duì)于分子3,5,7,9，…，是序號(hào)的2倍加
9、1，可得分子的通項(xiàng)公式為bn＝2n＋1，對(duì)于分母2,5,10,17，…，聯(lián)想到數(shù)列1,4,9,16，…，即數(shù)列{n2}，可得分母的通項(xiàng)公式為cn＝n2＋1，
因此可得它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝.
(5)an＝或an＝或an＝.
(6)原數(shù)列為，，，，，…，
∴an＝＝.
探究提高 (1)據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住以下幾方面的特征：
①分式中分子、分母的特征；②相鄰項(xiàng)的變化特征；③拆項(xiàng)后的各部分特征；
④各項(xiàng)符號(hào)特征等，并對(duì)此應(yīng)多進(jìn)行對(duì)比分析、從整體到局部多角度觀察、歸納、聯(lián)想..
(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是不完全歸納法，它蘊(yùn)含
10、著“從特殊到一般”的思想，由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的，要注意代值檢驗(yàn)，對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來(lái)調(diào)整.
變式訓(xùn)練1 寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：
(1)3,5,9,17,33，…；(2)，2，，8，，…；
(3)，，2，，…；
(4)3,5,7,9，…；(5)，，，，，…；
(6)－1，，－，，－，，…；
(7)3,33,333,3 333，….
解 (1)∵a1＝3＝21＋1，
a2＝5＝22＋1，a3＝9＝23＋1，…，
∴an＝2n＋1.
(2)將數(shù)列中各項(xiàng)統(tǒng)一成分母為2的分?jǐn)?shù)，得
，，，，，…，
觀察知，各項(xiàng)的分子是對(duì)應(yīng)項(xiàng)數(shù)的平
11、方，
∴數(shù)列通項(xiàng)公式是an＝.
(3)將數(shù)列各項(xiàng)統(tǒng)一成的形式得
，，，，…；
觀察知，數(shù)列各項(xiàng)的被開(kāi)方數(shù)逐個(gè)增加3，且被開(kāi)方數(shù)加1后，又變?yōu)?,6,9,12，…，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝.
(4)各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù)，所以an＝2n＋1.
(5)每一項(xiàng)的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，…，所以an＝.
(6)奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式中含因子(－1)n；各項(xiàng)絕對(duì)值的分母組成數(shù)列1,2,3,4，…；而各項(xiàng)絕對(duì)值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為3，
即奇數(shù)項(xiàng)為2－1，偶數(shù)項(xiàng)為2＋1，
所以an＝(－1)n·.
也可寫(xiě)為an＝.
(7)
12、將數(shù)列各項(xiàng)改寫(xiě)為，，，，…，分母都是3，而分子分別是10－1,102－1,103－1,104－1，…，
所以an＝(10n－1).
題型二 已知數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式
例2 根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(1)a1＝2，an＋1＝an＋n；(2)an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，
(3)a1＝1,2n－1an＝an－1 (n≥2)．
(4)a1＝1，an＝an－1 (n≥2)；
(5)a1＝1，an＋1＝3an＋2；
解 (1)當(dāng)n＝1,2,3，…，n－1時(shí)，可得n－1個(gè)等式，an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n－2，…，a2－a1＝1，
將其
13、相加，
得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)．
∴an＝a1＋＝2＋.
(2)∵an＋1－an＝3n＋2，
∴an－an－1＝3n－1 (n≥2)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝ (n≥2).
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝n2＋.
(3)方法一 an＝··…···a1
＝n－1·n－2·…·2·1
＝1＋2＋…＋(n－1)＝，
∴an＝.
方法二 由2n－1an＝an－1，
得an＝n－1an－1.
∴an＝n－1an－1
＝n－1·n－2an－2
＝n－1·n－2·…·1a1
14、＝(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝
(4)∵an＝an－1 (n≥2)，
∴an－1＝an－2，…，a2＝a1.
以上(n－1)個(gè)式子相乘得
an＝a1···…·＝＝.
(5)∵an＋1＝3an＋2，
∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3，
∴數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，
∴an＝2·3n－1－1.
探究提高 已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解.
當(dāng)出現(xiàn)an＝an－1＋m時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)an＝xan－1＋y時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)an＝an－1＋f(n)時(shí)，用累加法求解；
15、當(dāng)出現(xiàn)＝f(n)時(shí)，用累乘法求解.
變式訓(xùn)練2 根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(1) a1＝2，an＋1＝an＋ln.
(2)a1＝1，an＋1＝(n＋1)an；
(3) 在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝；
(4)在數(shù)列{an}中，an＋1＝3a，a1＝3；
(5) 在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1；
(6) 在數(shù)列{an}中，a1＝8，a2＝2，且滿足an＋2－4an＋1＋3an＝0.
(7) 數(shù)列{an}滿足an＋1＝若a1＝，則a2 010的值為_(kāi)___．
解 (1) ∵an＋1＝an＋ln，
∴an＋1－an＝ln＝ln
16、 .
∴an－an－1＝ln ，
an－1－an－2＝ln ，
……
a2－a1＝ln ，
累加可得，an－a1＝ln ＋ln ＋…＋ln
＝ln n－ln(n－1)＋ln(n－1)－ln(n－2)＋…＋ln 2－ln 1
＝ln n.
又a1＝2，∴an＝ln n＋2.
(2)∵an＋1＝(n＋1)an，∴＝n＋1.
∴＝n，＝n－1，
……
＝3，
＝2，
a1＝1.
累乘可得，an＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！.
故an＝n！.
(3) 將an＋1＝取倒數(shù)得：
＝2＋，∴－＝2，又＝1，
∴是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.
17、∴＝1＋2(n－1)，∴an＝.
(4)由已知an>0，在遞推關(guān)系式兩邊取對(duì)數(shù).
有l(wèi)g an＋1＝2lg an＋lg 3，
令bn＝lg an，則bn＋1＝2bn＋lg 3，
∴bn＋1＋lg 3＝2(bn＋lg 3)，
∴{bn＋lg 3}是等比數(shù)列，
∴bn＋lg 3＝2n－1·2lg 3＝2nlg 3，
∴bn＝2nlg 3－lg 3＝(2n－1)lg 3＝lg an，
∴an＝32n－1.
(5) 由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，又a1－1＝1，所以數(shù)列{an－n}是首項(xiàng)為1，且公比為4的等比數(shù)列，
∴an－n＝(a1－
18、1)4n－1，∴an＝4n－1＋n.
(6) 將an＋2－4an＋1＋3an＝0變形為an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)，
則數(shù)列{an＋1－an}是以a2－a1＝－6為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則an＋1－an＝－6·3n－1，利用累加法可得an＝11－3n.
題型三 由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an
例3?。?）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－3n＋1，求{an}的通項(xiàng)公式．
解 當(dāng)n＝1時(shí)，
a1＝S1＝2×12－3×1＋1＝0；
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋1)－2(n－1)2＋3(n－1)－1＝4n－5；
又n＝1時(shí)，an＝4×1
19、－5＝－1≠a1，
∴an＝
（2） 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和滿足Sn>1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.求{an}的通項(xiàng)公式.
解 由a1＝S1＝(a1＋1)(a1＋2)，
解得a1＝1或a1＝2，由已知a1＝S1>1，因此a1＝2.
又由an＋1＝Sn＋1－Sn＝(an＋1＋1)(an＋1＋2)－(an＋1)(an＋2)，
得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an.
因?yàn)閍n>0，故an＋1＝－an不成立，舍去.
因此an＋1－an－3＝0.
即an＋1－an＝3，從而{an}是公差為3，首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，故{an}的通項(xiàng)為
an＝3
20、n－1.
探究提高 (1)已知{an}的前n項(xiàng)和Sn，求an時(shí)應(yīng)注意以下三點(diǎn)：
① an與Sn的關(guān)系式an＝Sn－Sn－1的條件是n≥2，求an時(shí)切勿漏掉n＝1，即a1＝S1的情況．
②由Sn－Sn－1＝an推得的an，當(dāng)n＝1時(shí)，a1也適合“an式”，則需統(tǒng)一“合寫(xiě)”.
③由Sn－Sn－1＝an推得的an，當(dāng)n＝1時(shí)，a1不適合“an式”，則數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng) 分段表示(“分寫(xiě)”)，即an＝
(2)利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)是一個(gè)重要內(nèi)容，應(yīng)注意Sn與an間關(guān)系的靈活運(yùn)用.
變式訓(xùn)練3 (1)已知{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n＋b，求{an}的通項(xiàng)公式．
(2)已知在正項(xiàng)數(shù)列
21、{an}中，Sn表示前n項(xiàng)和且2＝an＋1，求an.
解 (1)a1＝S1＝3＋b，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.
當(dāng)b＝－1時(shí)，a1適合此等式；
當(dāng)b≠－1時(shí)，a1不適合此等式．
∴當(dāng)b＝－1時(shí)，an＝2·3n－1；
當(dāng)b≠－1時(shí)，an＝.
(2)由2＝an＋1，得Sn＝2，
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2，得a1＝1；
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1
＝2－2，
整理，得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
∵數(shù)列{an}各項(xiàng)為正，∴an＋an－1>0.
∴an－an－1－2＝0.
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)
22、為1，公差為2的等差數(shù)列．
∴an＝a1＋(n－1)×2＝2n－1.
(3) 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an＝＋2 (n－1) (n∈N*).
①求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并分別寫(xiě)出an和Sn關(guān)于n的表達(dá)式；
②是否存在自然數(shù)n，使得S1＋＋＋…＋－(n－1)2＝2 013？若存在，求出n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
解 ①由an＝＋2(n－1)，得Sn＝nan－2n(n－1) (n∈N*).
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)·an－1－4(n－1)，即an－an－1＝4，∴數(shù)列{an}是以a1＝1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列.
于是，an＝
23、4n－3，Sn＝＝2n2－n (n∈N*).
②由Sn＝nan－2n(n－1)，得＝2n－1 (n∈N*)，
∴S1＋＋＋…＋－(n－1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)－(n－1)2＝n2－(n－1)2＝2n－1.令2n－1＝2 013，得n＝1 007，
即存在滿足條件的自然數(shù)n＝1 007.
題型四 用函數(shù)的思想方法解決數(shù)列問(wèn)題
數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個(gè)定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列.因此，在研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性.
例4已知數(shù)列{an}.
24、 (1)若an＝n2－5n＋4，
①數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？
②n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值.
(2)若an＝n2＋kn＋4且對(duì)于n∈N*，都有an＋1>an成立.求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
(1)求使an<0的n值；從二次函數(shù)看an的最小值.(2)數(shù)列是一類(lèi)特殊函數(shù)，通項(xiàng)公式可以看作相應(yīng)的解析式f(n)＝n2＋kn＋4.f(n)在N*上單調(diào)遞增，但自變量不連續(xù).
解 (1)①由n2－5n＋4<0，解得1
25、n＝3時(shí)，an有最小值，其最小值為a2＝a3＝－2.
(2)由an＋1>an知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，又因?yàn)橥?xiàng)公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到n∈N*，所以－<，即得k>－3.
(1)本題給出的數(shù)列通項(xiàng)公式可以看做是一個(gè)定義在正整數(shù)集N*上的二次函數(shù)，因此可以利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸來(lái)研究其單調(diào)性，得到實(shí)數(shù)k的取值范圍，使問(wèn)題得到解決.
(2)在利用二次函數(shù)的觀點(diǎn)解決該題時(shí)，一定要注意二次函數(shù)對(duì)稱軸位置的選取.
(3)易錯(cuò)分析：本題易錯(cuò)答案為k>－2.原因是忽略了數(shù)列作為函數(shù)的特殊性，即自變量是正整數(shù).
(3)已知數(shù)列{an}的通
26、項(xiàng)an＝(n＋1)n (n∈N*)，試問(wèn)該數(shù)列{an}有沒(méi)有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若沒(méi)有，說(shuō)明理由．
解 方法一 令
??，∴n＝9或n＝10時(shí)，an最大，
即數(shù)列{an}有最大項(xiàng)，此時(shí)n＝9或n＝10.
方法二 ∵an＋1－an＝(n＋2)·n＋1－(n＋1)·n
＝n·，
當(dāng)n<9時(shí)，an＋1－an>0，即an＋1>an；
當(dāng)n＝9時(shí)，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
當(dāng)n>9時(shí)，an＋1－an<0，即an＋1a11>a12>…，
∴數(shù)列{an}中有最大項(xiàng)，為第9、10項(xiàng)．
有關(guān)數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)，數(shù)列
27、有界性問(wèn)題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來(lái)解決，判斷單調(diào)性常用①作差法，②作商法，③圖象法．求最大項(xiàng)時(shí)也可用an滿足；若求最小項(xiàng)，則用an滿足.
數(shù)列實(shí)質(zhì)就是一種特殊的函數(shù)，所以本題就是用函數(shù)的思想求最值．
方法與技巧
1.求數(shù)列通項(xiàng)或指定項(xiàng).通常用觀察法(對(duì)于交錯(cuò)數(shù)列一般用(－1)n或(－1)n＋1來(lái)區(qū)分奇偶項(xiàng)的符號(hào))；已知數(shù)列中的遞推關(guān)系，一般只要求寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)，若求通項(xiàng)可用歸納、猜想和轉(zhuǎn)化的方法.
2.強(qiáng)調(diào)an與Sn的關(guān)系：an＝.
3.已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)：對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的要求不高，但試題難度較難把握.一般有三種常見(jiàn)思路：
(1)算出前幾項(xiàng)，再歸納、猜想；
(2)“an＋1＝pan＋
28、q”這種形式通常轉(zhuǎn)化為an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系數(shù)法求出λ，再化為等比數(shù)列；
(3)逐差累加或累乘法.
數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法
一、選擇題
1.下列說(shuō)法正確的是 ( )
A.數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}
B.數(shù)列1,0，－1，－2與數(shù)列－2，－1,0,1是相同的數(shù)列
C.數(shù)列的第k項(xiàng)為1＋ D.數(shù)列0,2,4,6，…可記為{2n}
2.數(shù)列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an對(duì)所有正整數(shù)n都成立，則a10等于( )
A.34 B.55 C.89 D.100
3.如果
29、數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an－3，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是 ( )
A.an＝2(n2＋n＋1) B.an＝3·2n C.an＝3n＋1 D.an＝2·3n
二、填空題
4.已知數(shù)列{an}對(duì)于任意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝，a36＝__4______.
5.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意n∈N*都有Sn＝an－，且1
30、公式是an＝n2－7n＋6.
(1)這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少？
(2)150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)？
(3)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開(kāi)始各項(xiàng)都是正數(shù)？
解 (1)當(dāng)n＝4時(shí)，a4＝42－4×7＋6＝－6.
(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，
解得n＝16或n＝－9(舍去)，
即150是這個(gè)數(shù)列的第16項(xiàng).
(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍).∴從第7項(xiàng)起各項(xiàng)都是正數(shù).
一、選擇題
1.已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝ (n∈N*)，則a1·a2·…·a2 011的值為 ( )
A.－3 B.1
31、 C.2 D.3
2.數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝ (n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S21為( )
A.5 B. C. D.
3.數(shù)列{an}中，a1＝1，對(duì)于所有的n≥2，n∈N*都有a1·a2·a3·…·an＝n2，則a3＋a5等于( )
A. B. C. D.
1．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2，則a8的值為 ( )
A．15 B．16 C．49 D．64
2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝，那么這個(gè)數(shù)列是 ( )
A．遞增數(shù)列 B．
32、遞減數(shù)列 C．?dāng)[動(dòng)數(shù)列 D．常數(shù)列
3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2(an－1)，則a2等于 ( )
A．4 B．2 C．1 D．－2
4．?dāng)?shù)列{an}中，若an＋1＝，a1＝1，則a6等于 ( )
A．13 B. C．11 D.
5．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋an＋1＝ (n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S21為 ( )
A．5 B. C. D.
二、填空題
4.已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＋1＝1－ (n≥2)，則a16＝_______
33、_.
5.數(shù)列，，，，…中，有序數(shù)對(duì)(a，b)是______________.
6.若數(shù)列中的最大項(xiàng)是第k項(xiàng)，則k＝__4______.
7．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且有Sn＝n2＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝__________________.
8．將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
… … … … … …
根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第n (n≥3)行從左至右的第3個(gè)數(shù)是____________．
三、解答題
7.已知數(shù)列{an}中，an＝1＋ (n∈N*，a∈R，且a≠0).
(1
34、)若a＝－7，求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值；
(2)若對(duì)任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍.
7.解 (1)∵an＝1＋ (n∈N*，a∈R，且a≠0)，∵a＝－7，∴an＝1＋.
結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋的單調(diào)性.
可知1>a1>a2>a3>a4； a5>a6>a7>…>an>1 (n∈N*).
∴數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為a5＝2，最小項(xiàng)為a4＝0.
(2)an＝1＋＝1＋.
∵對(duì)任意的n∈N*，都有an≤a6成立，并結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋的單調(diào)性，
∴5<<6，∴－10
35、(2)－1，，－，，－，.
9．解 (1)∵a1＝1＋，a2＝2＋，a3＝3＋，…，∴an＝n＋(n∈N*)．
(2)∵a1＝－，a2＝，a3＝－， a4＝，…，
∴an＝(－1)n·(n∈N*)
10．由下列數(shù)列{an}遞推公式求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：
(1)a1＝1，an－an－1＝n (n≥2)； (2)a1＝1，＝ (n≥2)；
(3)a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2)．
10．解 (1)由題意得，an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…，a3－a2＝3，a2－a1＝2.
將上述各式等號(hào)兩邊累加得， an－a1＝n＋(n－1)＋…＋3＋2，
即
36、an＝n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝，
故an＝.
(2)由題意得，＝，＝，…，＝，＝.
將上述各式累乘得，＝，故an＝ (3)由an＝2an－1＋1，
得an＋1＝2(an－1＋1)，
又a1＋1＝2≠0，所以＝2，
即數(shù)列{an＋1}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
所以an＋1＝2n，即an＝2n－1
11．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2＋2n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝2－bn.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)cn＝a·bn，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí)，cn＋1
37、n－Sn－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n.a1也適合，
∴{an}的通項(xiàng)公式an＝4n
將n＝1代入Tn＝2－bn，得b1＝2－b1，故T1＝b1＝1
(求bn方法一)對(duì)于n≥2，由Tn－1＝2－bn－1，
Tn＝2－bn，得bn＝Tn－Tn－1＝－(bn－bn－1)，
∴bn＝bn－1，bn＝21－n
(求bn方法二)對(duì)于n≥2，由Tn＝2－bn得
Tn＝2－(Tn－Tn－1)，
2Tn＝2＋Tn－1，Tn－2＝(Tn－1－2)，
Tn－2＝21－n(T1－2)＝－21－n， Tn＝2－21－n，
bn＝Tn－Tn－1＝(2－21－n)－(2－22－n)＝21－n.
b1＝1也適合
綜上，{bn}的通項(xiàng)公式bn＝21－n. (2)證明 方法一 由cn＝a·bn＝n225－n，
得＝2
當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí)，1＋≤<，
∴<·()2＝1，又cn＝n2·25－n>0，即cn＋1
2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法教案 新人教A版
