2019年高考數(shù)學一輪復習 第5章 數(shù)列 第4節(jié) 數(shù)列求和學案 文 北師大版

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1、 第四節(jié)　數(shù)列求和 [考綱傳真]　1.掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式.2.掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見的求和方法． (對應學生用書第74頁) [基礎知識填充] 1．公式法 (1)等差數(shù)列的前n項和公式： Sn＝＝na1＋d； (2)等比數(shù)列的前n項和公式： Sn＝ 2．分組轉化法 把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解． 3．裂項相消法 (1)把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和． (2)裂項時常用的三種變形： ①＝； ②＝＝； ③＝－. 4．錯位相減法

2、 如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，這個數(shù)列的前n項和可用錯位相減法求解． 5．倒序相加法 如果一個數(shù)列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解． 6．并項求和法 一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確

3、的打“√”，錯誤的打“×”) (1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項和Sn＝.(　　) (2)當n≥2時，＝.(　　) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和時只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得．(　　) (4)如果數(shù)列{an}是周期為k(k為大于1的正整數(shù))的周期數(shù)列，那么Skm＝mSk.(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an＝，則S5等于(　　) A．1　　　　　　　　　　 B． C． D． B　[∵an＝＝－， ∴S5＝a1＋a2

4、＋…＋a5＝1－＋－＋…－＝.] 3．(2018·開封模擬)已知等比數(shù)列{an}中，a2·a8＝4a5，等差數(shù)列{bn}中，b4＋b6＝a5，則數(shù)列{bn}的前9項和S9等于(　　) 【導學號：00090174】 A．9 B．18 C．36 D．72 B　[∵a2·a8＝4a5，即a＝4a5，∴a5＝4， ∴a5＝b4＋b6＝2b5＝4，∴b5＝2， ∴S9＝9b5＝18，故選B．] 4．若數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝__________. 2n＋1－2＋n2　[Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.] 5．3·2－1＋4·

5、2－2＋5·2－3＋…＋(n＋2)·2－n＝__________. 4－　[設S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×， 則S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×. 兩式相減得S＝3×＋－. ∴S＝3＋－ ＝3＋－＝4－.] (對應學生用書第74頁) 分組轉化求和 　(2016·北京高考)已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通項公式； (2)設cn＝an＋bn，求數(shù)列{cn}的前n項和． [解]　(1)設等比數(shù)列{bn}的公比為q，則q＝＝＝3， 所以b1＝＝1，b4＝b

6、3q＝27，所以bn＝3n－1(n＝1,2,3，…)． 2分 設等差數(shù)列{an}的公差為D． 因為a1＝b1＝1，a14＝b4＝27， 所以1＋13d＝27，即d＝2. 所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…). 5分 (2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1. 因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1. 7分 從而數(shù)列{cn}的前n項和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1 ＝＋＝n2＋. 12分 [規(guī)律方法]　分組轉化法求和的常見類型 (1)若an ＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，則可采用分組求和法

7、求{an}的前n項和． (2)通項公式為an＝的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和． 易錯警示：注意在含有字母的數(shù)列中對字母的分類討論． [變式訓練1]　(2016·浙江高考)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*. (1)求通項公式an； (2)求數(shù)列{|an－n－2|}的前n項和． [解]　(1)由題意得則 2分 又當n≥2時，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an， 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－1，n∈N*. 5分 (2)設

8、bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，則b1＝2，b2＝1. 當n≥3時，由于3n－1>n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3. 8分 設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則T1＝2，T2＝3， 當n≥3時，Tn＝3＋－＝， 所以Tn＝ 12分 裂項相消法求和 　(2018·鄭州模擬)若An和Bn分別表示數(shù)列{an}和{bn}的前n項的和，對任意正整數(shù)n，an＝2(n＋1)，3An－Bn＝4n. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式； (2)記cn＝，求{cn}的前n項和Sn. [解]　(1)由于an＝2(n＋1)，∴{an}為等差數(shù)列，且a1＝4. 2分 ∴A

9、n＝＝＝n2＋3n， ∴Bn＝3An－4n＝3(n2＋3n)－4n＝3n2＋5n， 當n＝1時，b1＝B1＝8， 當n≥2時，bn＝Bn－Bn－1＝3n2＋5n－[3(n－1)2＋5(n－1)]＝6n＋2.由于b1＝8適合上式，∴bn＝6n＋2. 5分 (2)由(1)知cn＝＝ ＝， 7分 ∴Sn＝ ＝ ＝－. 12分 [規(guī)律方法]　1.裂項相消法求和就是將數(shù)列中的每一項裂成兩項或多項，使這些裂開的項出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵捎，要注意消去了哪些項，保留了哪些項，從而達到求和的目的． 2．消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就

10、剩倒數(shù)第幾項． [變式訓練2]　(2017·全國卷Ⅲ)設數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n. (1)求{an}的通項公式； (2)求數(shù)列的前n項和. 【導學號：00090175】 [解]　(1)因為a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故當n≥2時， a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)， 2分 兩式相減得(2n－1)an＝2， 所以an＝(n≥2). 4分 又由題設可得a1＝2，滿足上式， 所以{an}的通項公式為an＝. 6分 (2)記的前n項和為Sn. 由(1)知＝＝－， 9分 則

11、Sn＝－＋－＋…＋－＝. 12分 錯位相減法求和 　(2016·山東高考)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差數(shù)列，且an＝bn＋bn＋1. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式； (2)令cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn. [解]　(1)由題意知當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5. 當n＝1時，a1＝S1＝11，符合上式． 所以an＝6n＋5. 2分 設數(shù)列{bn}的公差為D． 由即 解得所以bn＝3n＋1. 5分 (2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1. 7分 又Tn＝c1＋c2＋…＋cn， 得

12、Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]， 2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]， 9分 兩式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2] ＝3× ＝－3n·2n＋2，所以Tn＝3n·2n＋2. 12分 [規(guī)律方法]　1.如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，若{bn}的公比為參數(shù)，應分公比等于1和不等于1兩種情況討論． 2．在書寫“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項

13、對齊”，即公比q的同次冪項相減，轉化為等比數(shù)列求和． [變式訓練3]　(2017·天津高考)已知{an}為等差數(shù)列，前n項和為Sn(n∈N*)，{bn}是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4. (1)求{an}和{bn}的通項公式； (2)求數(shù)列{a2nbn}的前n項和(n∈N*)． [解]　(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q. 由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12. 而b1＝2，所以q2＋q－6＝0，解得q＝－3或q＝2. 又因為q>0，所以q＝2. 所以bn＝2n.

14、3分 由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8.①. 由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16.②， 聯(lián)立①②，解得a1＝1，d＝3， 由此可得an＝3n－2. 6分 所以，數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－2，數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n. (2)設數(shù)列{a2nbn}的前n項和為Tn.由a2n＝6n－2， 得Tn＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n－2)×2n， 2Tn＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1. 8分 上述兩式相減，得 －Tn＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－(6n－2)×2n＋1＝－4－(6n－2)×2n＋1＝－(3n－4)2n＋2－16， 10分 所以Tn＝(3n－4)2n＋2＋16. 所以，數(shù)列{a2nbn}的前n項和為(3n－4)2n＋2＋16. 12分 7