2022年高二數(shù)學(xué)3月月考試題 文(III)
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1、2022年高二數(shù)學(xué)3月月考試題 文(III) 一、選擇題:(本大共12小題,每小題5分,共60分,在每個小題所給出的四個選項中,只有一項是符合要求的,把正確選項的代號填在答題卡的指定位置.) 1.命題“若x2<1,則-1<x<1”的逆否命題是( ) A.若x2≥1,則x≥1或x≤-1 B.若-1<x<1,則x2<1 C.若x>1或x<-1,則x2>1 D.若x≥1或x≤-1,則x2≥1 2.設(shè),則“”是“”的( ? ) A.充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D.
2、 既不充分也不必要條件 3.下列四個命題中,真命題的個數(shù)是 ( ? ) ①“x=1”是“x2-3x+2 = 0”的充分不必要條件 ②命題“”的否定是“” ③命題p: lgx≥0,命題 pq 為真命題 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.已知直線l過圓x2+(y-3)2=4的圓心,且與直線x+y+1=0垂直,則l的方程是( ) A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 5.橢圓的焦距為2,則的值等于( ) A.5
3、 B.3或5 C.6或3 D.6 6.如果實數(shù)x、y滿足條件那么z=2x-y的最大值為( ) A.2 B.1 C.-2 D.-3 7.過橢圓()的左焦點作軸的垂線交橢圓于點,為右焦點,若,則橢圓的離心率為 ( ) A. B. C. D. 8.執(zhí)行下面的程序框圖,如果輸入的x,t均為2, 則輸出的S=( ) A.4 B.5 C.6 D.7 9.我國發(fā)射的“神舟四號”宇宙飛船的運行軌道是以 地球的中心F2為一個焦點的橢圓,近地點A
4、距 地面為m千米,遠(yuǎn)地點B距地面為n千米,地 球半徑為R千米,則飛船運行軌道的短軸長為( ) A. B. C.mn千米 D.2mn千米 10.命題“”為真命題的一個充分不必要條件是( ) A. B. C. D. 11.節(jié)日,家前的樹上掛了兩串彩燈,這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立,若接通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生,然后每串彩燈在內(nèi)4秒為間隔閃亮,那么這兩串彩燈同時通電后,它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是( ) A. B.
5、C. D. 12.已知圓和圓,動圓M與圓,圓都相切,動圓的圓心M的軌跡為兩個橢圓,這兩個橢圓的離心率分別為,(), 則的最小值是 ( ) A. B. C. D. 二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分。請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上。答錯位置,書寫不清,模棱兩可均不給分。 13.過原點的直線與圓x2+y2-2x-4y+4=0相交所得弦的長為2,則該直線的方程為 . 14.如果橢圓的弦被點(4,2)平分,則這條弦所在的直線方程是 . 15.橢圓+
6、=1(a>b>0)的一個焦點為F1,若橢圓上存在一個點P, 滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF1相切于該線段的中點,則橢圓的離心率為__________. 16.設(shè)P,Q分別為圓x2+(y-6)2=2和橢圓+y2=1上的點,則P,Q兩點間的最大距離是___________. 三、解答題:(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟). 17.(本小題滿分10分)已知 (1)若,命題“且”為真,求實數(shù)的取值范圍; (2)若是的必要不充分條件,求實數(shù)的取值范圍. 18.(本小題滿分12分) 下表是成都市從3月份中隨機抽取的10天空氣質(zhì)量指
7、數(shù)(AQI)和“PM2.5”(直徑小于等于2.5微米的顆粒物)24小時平均濃度的數(shù)據(jù),空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良. 日期編號 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI) 179 40 98 124 29 133 241 424 95 89 PM2.5日均濃度() 135 5 80 94 80 100 190 387 70 66 (2) 在上表數(shù)據(jù)中、在表示空氣質(zhì)量優(yōu)良的日期中,隨機抽取兩個對其當(dāng)天的數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的分析,設(shè)事件M為“抽取的兩個日期中,當(dāng)天‘PM2.5
8、’的24小時平均濃度小于75”,求事件M發(fā)生的概率. 19.(本小題滿分12分) 已知直線與橢圓相交于A、B兩點. (1)若橢圓的離心率為,焦距為2,求線段AB的長; (2)在(1)的橢圓中,設(shè)橢圓的左焦點為F1,求△ABF1的面積. 20.(本小題滿分12分) 如圖,四棱錐中,底面為矩形,平面,是的中點. (1) 證明://平面; (2) 設(shè),三棱錐的體積,求到平面的距離. 21.(本小題滿分12分) 設(shè)直線l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中實數(shù)k1,k2滿足k1k2+2=0
9、. (1)證明l1與l2相交; (2)證明l1與l2的交點在橢圓2x2+y2=1上. 22.(本小題滿分12分) 如圖示,橢圓C:的一個焦點為 F(1,0),且過點。 (Ⅰ)求橢圓C的方程; (Ⅱ)已知A、B為橢圓上的點,且直線AB垂直于軸,直線與軸交于點N,直線AF與BN交于點M。 (ⅰ) 試探究:點M是否恒在橢圓C上.,并加以證明; (ⅱ) 求△AMN面積的最大值. 成都七中實驗學(xué)校高二(下)第一次月考文科數(shù)學(xué)試題 第Ⅰ卷 一、選擇題:(本大共12小題,每小題5分,共60分,在每個小題所給出的四個選項中,只有一項是符合要求的,把正確選項的
10、代號填在答題卡的指定位置.) 1.命題“若x2<1,則-1<x<1”的逆否命題是( ) A.若x2≥1,則x≥1或x≤-1 B.若-1<x<1,則x2<1 C.若x>1或x<-1,則x2>1 D.若x≥1或x≤-1,則x2≥1 2.設(shè),則“”是“”的( ? ) A.充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 3.下列四個命題中,真命題的個數(shù)是 ( ? ) ①“x=1”是“x2-3x+2 = 0”的充分不必要條件 ②命題“”的否定是“”
11、 ③命題p: lgx≥0,命題 pq 為真命題 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.已知直線l過圓x2+(y-3)2=4的圓心,且與直線x+y+1=0垂直,則l的方程是( ) A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 5.橢圓的焦距為2,則的值等于( ) A.5 B.3或5 C.6或3 D.6 6.如果函數(shù)x、y滿足條件那么z=2x-y的最大值為( ) A.2 B.1
12、 C.-2 D.-3 7.過橢圓()的左焦點作軸的垂線交橢圓于點,為右焦點,若,則橢圓的離心率為 ( ) A. B. C. D. 8.執(zhí)行下面的程序框圖,如果輸入的x,t均為2, 則輸出的S=( ) A.4 B.5 C.6 D.7 9.我國發(fā)射的“神舟四號”宇宙飛船的運行軌道是以 地球的中心F2為一個焦點的橢圓,近地點A距 地面為m千米,遠(yuǎn)地點B距地面為n千米,地 球半徑為R千米,則飛船運行軌道的短軸長為( ) A. B. C.mn千米 D.2mn千米
13、 10.命題“”為真命題的一個充分不必要條件是( ) A. B. C. D. 11.節(jié)日 家前的樹上掛了兩串彩燈,這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立,若接通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生,然后每串彩燈在內(nèi)4秒為間隔閃亮,那么這兩串彩燈同時通電后,它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是( ) A. B. C. D. 12.已知圓和圓,動圓M與圓,圓都相切,動圓的圓心M的軌跡為兩個橢圓,這兩個橢圓的離心率分別為,(), 則的最小值是 (
14、 ) A. B. C. D. 解析:①動圓與兩定圓都內(nèi)切時:,所以 ②動圓與兩定圓分別內(nèi)切,外切時:,所以 處理1:,再用均值求的最小值; 處理2:選A. 二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分。請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上。答錯位置,書寫不清,模棱倆可均不給分。 13.過原點的直線與圓x2+y2-2x-4y+4=0相交所得弦的長為2,則該直線的方程為________. 2x-y=0 14.如果橢圓的弦被點(4,2)平分,則這條弦所在的直線方程是 15.橢圓+=
15、1(a>b>0)的一個焦點為F1,若橢圓上存在一個點P, 滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF1相切于該線段的中點,則橢圓的離心率為__________. 9.解析:如圖,設(shè)切點為M,由條件知,OM⊥PF1且OM=b, ∵M(jìn)為PF1的中點,∴PF2=2b,且PF1⊥PF2, 從而PF1=2a-2b.∴PF+PF=F1F,即(2a-2b)2+(2b)2=(2c)2, 整理得3b=2a,∴5a2=9c2,解得e==. 16.設(shè)P,Q分別為圓x2+(y-6)2=2和橢圓+y2=1上的點,則P,Q兩點間的最大距離是___________. 解析:設(shè)圓心為點C,則圓x2+(y-6)2=
16、2的圓心為C(0,6),半徑r=. 設(shè)點Q(x0,y0)是橢圓上任意一點,則+y=1,即x=10-10y, ∴|CQ|===, 當(dāng)y0=-時,|CQ|有最大值5 ,則P,Q兩點間的最大距離為5+r=6. 三、解答題:(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟). 17.(本小題滿分10分)已知 (1)若,命題“且”為真,求實數(shù)的取值范圍; (2)若是的必要不充分條件,求實數(shù)的取值范圍. 解(1) (2) 18.(本小題滿分10分) 下表是成都市從3月份中隨機抽取的10天空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)和“PM2
17、.5”(直徑小于等于2.5微米的顆粒物)24小時平均濃度的數(shù)據(jù),空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良. 日期編號 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI) 179 40 98 124 29 133 241 424 95 89 PM2.5日均濃度() 135 5 80 94 80 100 190 387 70 66 (1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),估計我市當(dāng)月某日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率 ; (2)在上表數(shù)據(jù)中、在表示空氣質(zhì)量優(yōu)良的日期中,隨機抽取兩個對其當(dāng)天的數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的分析,設(shè)事件M
18、為“抽取的兩個日期中,當(dāng)天‘PM2.5’的24小時平均濃度小于75”,求事件M發(fā)生的概率. 解:(1)由上表數(shù)據(jù)知,10天中空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)小于100的日期編號為: A2 、A3 、A5 、A9 、A10共5天,…………………………2分 故可估計該市當(dāng)月某日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率.……………………4分 (2)在表示空氣質(zhì)量為優(yōu)良的日期A2、A3、A5、A9、A10中隨機抽取兩個的所有可能的情況為:{ A2,A3},{ A2,A5},{ A2,A9},{ A2,A10},{ A3,A5},{ A3,A9},{ A3,A10},{ A5,A9},{ A5,A10},{ A9,A10}
19、,共10種;……………………8分 兩個日期當(dāng)天“PM2.5”24小時平均濃度小于75的有:{ A2,A9},{ A2,A10}, { A9,A10},共3種;……………………10分 故事件M發(fā)生的概率.……………………12 19. 已知直線與橢圓相交于A、B兩點. (1)若橢圓的離心率為,焦距為2,求線段AB的長; (2)在(1)的橢圓中,設(shè)橢圓的左焦點為F1,求△ABF1的面積. 解:(1) , ∴橢圓的方程為. 聯(lián)立 . (2)由(1)可知橢圓的左焦點坐標(biāo)為F1(-1,0),直線AB的方程為x+y-1=0, 所以點F1到直線AB的距離d
20、=, 又|AB|=, ∴△ABF1的面積S==. 20.(本小題滿分12分) 如圖,四棱錐中,底面為矩形,平面,是的重點. (2) 證明://平面; (3) 設(shè),三棱錐的體積,求到平面的距離. (18)解: (I)設(shè)BD與AC的交點為O,連結(jié)EO. 因為ABCD為矩形,所以O(shè)為BD的中點,又 E為PD的中點,所以EO∥PB. EO平面AEC,PB平面AEC, 所以PB∥平面AEC. (Ⅱ)V. 由,可得. 作交于。 由題設(shè)知平面,所以,故平面。 又. 所以A到平面PBC的距離為. 21.設(shè)直線l1:y
21、=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中實數(shù)k1,k2滿足k1k2+2=0. (1)證明l1與l2相交; (2)證明l1與l2的交點在橢圓2x2+y2=1上. 證明 (1)反證法.假設(shè)l1與l2不相交,則l1與l2平行,有k1=k2,代入k1k2+2=0,得k+2=0, 此與k1為實數(shù)的事實相矛盾. 從而k1≠k2.即l1與l2相交. (2)法一 由方程組 解得交點P的坐標(biāo)(x,y)為 而2x2+y2=2+ ===1. 此即表明交點P(x,y)在橢圓2x2+y2=1上. 法二 交點P的坐標(biāo)(x,y)滿足 故知x≠0.從而 代入k1k2+2=0,得·+2=0. 整理后
22、,得2x2+y2=1. 所以交點P在橢圓2x2+y2=1上. 22.(本小題滿分15分) 如圖示,橢圓C:的一個焦點為 F(1,0),且過點。 (Ⅰ)求橢圓C的方程; (Ⅱ)已知A、B為橢圓上的點,且直線AB垂直于軸,直線與軸交于點N,直線AF與BN交于點M。 (ⅰ) 試探究:點M是否恒在橢圓C上.,并加于證明; (ⅱ) 求△AMN面積的最大值. 13.解:(Ⅰ)由題,從而, 所以橢圓C的方程為.………………4分 (Ⅱ)(i)證明:由題得F(1,0)、N(4,0).設(shè),則, AF與BN的方程分別為:. 設(shè),則有由上得 由于==1. 所以點M恒在橢圓C上.…………………………………………………………9分 (ⅱ)解:設(shè)AM的方程為,代入,得 設(shè)、,則有,. ==. 令,則= 因為函數(shù)在為增函數(shù),所以當(dāng)即時, 函數(shù)有最小值4.即時,有最大值3, △AMN的面積S△AMN=·有最大值 .………………………15分
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