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1、2022年高考數(shù)學(xué) 不等式 專(zhuān)題復(fù)習(xí)教案 蘇教版
一、知識(shí)回顧
不等式是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型,是解決許多實(shí)際問(wèn)題的重要工具,在高考中屬主體內(nèi)容.以考查不等式的解法和最值方面的應(yīng)用為重點(diǎn),多數(shù)情況是在函數(shù)、數(shù)列、幾何、實(shí)際應(yīng)用題等綜合型試題中考查,在考試說(shuō)明中考查要求也比較高
內(nèi) 容
要 求
A
B
C
不 等 式
基本不等式
√
一元二次不等式
√
線(xiàn)性規(guī)劃
√
因此,在復(fù)習(xí)中應(yīng)注意:
1.解某些不等式要與函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性聯(lián)系起來(lái),含參數(shù)的不等式可分類(lèi)討論.
2.利用基本不等式時(shí)要注意不等式運(yùn)用
2、的條件.
3.要強(qiáng)化不等式的應(yīng)用意識(shí),同時(shí)要注意到不等式與函數(shù)和方程的對(duì)比與聯(lián)系,充分利用函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合的思想處理問(wèn)題.
4.利用線(xiàn)性規(guī)劃解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)力求畫(huà)圖準(zhǔn)確.
二、例題精講
例1.設(shè)若是與的等比中項(xiàng),則的最小值為_(kāi)_________.
解析: 因?yàn)?,所以?
,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“=”成立,故最小值為.
練習(xí)1.若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓的圓心,則的最小值為_(kāi)_________________.
例2.已知關(guān)于的不等式的解集為,則的解集為_(kāi)_______________.
解析:由的解集為知,為方程的兩個(gè)根,由韋達(dá)定理得,解得,
∴即,其解集為.
練習(xí)2.已知不等式的解
3、集為,試用表示不等式的解集.
例3.已知且,則的取值范圍為_(kāi)________________.
解析:設(shè),
∴,解得
∴
∴, 即.
錯(cuò)解:解此題常見(jiàn)錯(cuò)誤是:-1<a+b<3, ①
2<a-b<4. ②
①+②得1<2a<7. ③
由②得-4<b-a<-2. ④
①+④得-5<2b<1,∴-<3b<. ⑤
③+⑤得-<2a+3b<.
另:本題也可用線(xiàn)性規(guī)劃來(lái)解.
練習(xí)3. 函數(shù)滿(mǎn)足:,求的取值范圍為
____________________.
例4.某種飲
4、料分兩次提價(jià),提價(jià)方案有三種,方案甲是:第一次提價(jià),第二次提價(jià) ;方案乙是:第一次提價(jià),第二次提價(jià);方案丙是:每次提價(jià) .如果,那么提價(jià)最多的是方案
解析:設(shè)原價(jià)為1,兩次提價(jià)后的價(jià)格為
則:
易證:,方案丙提價(jià)最多.
練習(xí)4.(1)甲、乙兩人兩次在同一個(gè)糧店購(gòu)買(mǎi)糧食(設(shè)兩次單價(jià)不同),甲每次購(gòu)買(mǎi)糧食100kg, 乙每次用100元購(gòu)買(mǎi)糧食.若規(guī)定,誰(shuí)兩次購(gòu)糧的平均單價(jià)低,誰(shuí)的購(gòu)糧方式就合算,則兩人購(gòu)糧方式更合算的是__________________.
(2)克鹽水中,有克鹽(),若再添加克鹽()
5、則鹽水就變咸了,試根據(jù)這一事實(shí)提煉一個(gè)不等式 ___________.
例5.(1)設(shè)為正實(shí)數(shù),滿(mǎn)足,則的最小值是__________.
(2)如果正數(shù)滿(mǎn)足,那么的取值范圍是____________.
解析:(1)
,即的最小值為.
(2)由題設(shè),.
又
,.
或解::
練習(xí)5.(1) 已知(為常數(shù)),,,若 的最小值為,求的值.
(2)若, 且, , 則的最大值是_______.
例6.解關(guān)于的不等式:
解析:
當(dāng)
當(dāng)
當(dāng)
當(dāng)
當(dāng)
當(dāng)
練習(xí)6. 解關(guān)于的一元二次不等式.
例7.
6、已知函數(shù),
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最小值;
(2)若對(duì)任意,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解析:(1)當(dāng)時(shí),.
(2)由題意,時(shí),恒成立,即恒成立,
,即恒成立,
若,若,則恒成立,故,
而,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故,
所以,
練習(xí)7. 三個(gè)同學(xué)對(duì)問(wèn)題“關(guān)于的不等式在 上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍”提出各自的解題思路.
甲說(shuō):“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”.
乙說(shuō):“把不等式變形為左邊含變量的函數(shù),右邊僅含常數(shù),求函數(shù)的最值”.
丙說(shuō):“把不等式兩邊看成關(guān)于的函數(shù),作出函數(shù)圖像”.
參考上述解題思路,你認(rèn)為他們所討論的問(wèn)題的正確結(jié)論,即的取值范圍
是
7、 .
例8.?dāng)?shù)列由下列條件確定:,當(dāng)時(shí),求證:(1);(2)
解析:(1)由,知,當(dāng)時(shí),
(2),
,所以,當(dāng)時(shí),
練習(xí)8.已知數(shù)列為等比數(shù)列,,設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,證明:.
例9.已知函數(shù)在處取得極大值,在處取得極小值,且,若設(shè),求實(shí)數(shù)的取值范圍
解析:,又處取得極大值,在處取得極小值
故在有,在上有
方程即的兩根分布在內(nèi)
又,由線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)易知,當(dāng)過(guò)兩點(diǎn)時(shí)取得最大和最小值,的范圍為.
練習(xí)9. 已知關(guān)于的不等式的解集中的一個(gè)元素是,求實(shí)數(shù)的取值范圍,并用表示該不等式的解集.
例10.已知二次函數(shù)滿(mǎn)
8、足,
(1) 求二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2) 若不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。
解析 (1)設(shè).由得,故.
∵ ∴
即,所以,解得 ∴
(2)由(1)知在恒成立,即在恒成立.
令,則在上單調(diào)遞減.所以在上的最大值為.所以的取值范圍是.
練習(xí)10. 對(duì)于總有成立,求的值.
練習(xí)題及答案
練習(xí)1.若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓的圓心,則的最小值為_(kāi)_________________.
解析: 由,得,圓心為
又直線(xiàn)過(guò)圓心,得
,當(dāng)且僅當(dāng),即,
時(shí)“=”成立,故最小值為.
練習(xí)2.已知不等式的解集為,試用表示不等式的解集.
解析:由題設(shè),原不等式與同解,即與不等式
9、
同解,比較系數(shù)得,且,所以,
,代入,得,,即
又,所以不等式解集為
練習(xí)3. 函數(shù)滿(mǎn)足:,求的取值范圍為
____________________.
解析:由得
則
由條件
可得,所以的取值范圍是
練習(xí)4.(1)甲、乙兩人兩次在同一個(gè)糧店購(gòu)買(mǎi)糧食(設(shè)兩次單價(jià)不同),甲每次購(gòu)買(mǎi)糧食100kg, 乙每次用100元購(gòu)買(mǎi)糧食.若規(guī)定,誰(shuí)兩次購(gòu)糧的平均單價(jià)低,誰(shuí)的購(gòu)糧方式就合算,則兩人購(gòu)糧方式更合算的是__________________.
(2)克鹽水中,有克鹽(),若再添加克鹽()則鹽水就變咸了,試根據(jù)這一事實(shí)提煉一個(gè)不等式
10、 ___________.
解析:(1)設(shè)兩次單價(jià)分別為元/kg,
則甲兩次購(gòu)糧200kg,共花費(fèi)元,兩次購(gòu)糧平均單價(jià)為,
乙兩次花費(fèi)200元,共購(gòu)糧kg,兩次購(gòu)糧平均單價(jià)為,、
,,而,
所以,,即甲的購(gòu)糧方式更合算.
(2)由鹽的濃度變大,得.
練習(xí)5. (1)已知(為常數(shù)),,,若 的最小值為,求的值.
(2)若, 且, , 則的最大值是______.
解析:(1)為正數(shù),
或.
(2)
,,即的最大值為.
或解:設(shè)
則,最大值為。
本題也可用柯西不等式來(lái)求.
易見(jiàn)錯(cuò)誤:,相加,得,原因是等號(hào)取不到.
練
11、習(xí)6. 解關(guān)于的一元二次不等式
解析:∵,∴
(1)當(dāng),不等式解集為;
(2)當(dāng)時(shí),不等式為,解集為;
(3)當(dāng),不等式解集為
練習(xí)7. 三個(gè)同學(xué)對(duì)問(wèn)題“關(guān)于的不等式在 上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍”提出各自的解題思路.
甲說(shuō):“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”.
乙說(shuō):“把不等式變形為左邊含變量的函數(shù),右邊僅含常數(shù),求函數(shù)的最值”.
丙說(shuō):“把不等式兩邊看成關(guān)于的函數(shù),作出函數(shù)圖像”.
參考上述解題思路,你認(rèn)為他們所討論的問(wèn)題的正確結(jié)論,即的取值范圍
是 .
解析: 由,而
,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立;且,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立;所以,,等號(hào)當(dāng)
12、且僅當(dāng)時(shí)成立;故.
練習(xí)8.已知數(shù)列為等比數(shù)列,,設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,證明:.
解析::設(shè)等比數(shù)列的公比為,則
數(shù)列的通項(xiàng)公式為,得
,
即.
本題用分析法證明也很方便
練習(xí)9..已知關(guān)于的不等式的解集中的一個(gè)元素是,求實(shí)數(shù)的取值范圍,并用表示該不等式的解集.
解析:原不等式即,由適合不等式,
得,所以,或.
當(dāng)時(shí),,不等式解集為
當(dāng)時(shí),,不等式解集為
練習(xí)10. 對(duì)于總有成立,求的值.
解析:要使恒成立,只要在上恒成立.
當(dāng)時(shí),,所以,不符合題意,舍去。
當(dāng)時(shí),即單調(diào)遞減,,舍去.
當(dāng)時(shí)
① 若時(shí)在和 上單調(diào)遞增,
在上單調(diào)遞減。
所以
② 當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減,
,不符合題意,舍去.綜上可知.