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1、2022年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第05講 函數(shù)解析式的求法
【知識要點】
一、求函數(shù)的解析式的主要方法有以下五種:
1、待定系數(shù)法:如果已知函數(shù)解析式的類型(函數(shù)是二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)等)時,可以用待定系數(shù)法.
2、代入法:如果已知原函數(shù)的解析式,求復(fù)合函數(shù)的解析式時,可以用代入法.
3、換元法:如果已知復(fù)合函數(shù)的解析式,求原函數(shù)的解析式時,可以用換元法.換元時,注意新“元”的范圍.
4、解方程組法:如果已知抽象函數(shù)滿足的關(guān)系式中有互為相反的自變量或互為倒數(shù)的自變量時,可以用解方程組的方法.
5、實際問題法:在實際問題中,根據(jù)函數(shù)的意義求出函數(shù)的解析式.
2、【方法講評】
方法一
待定系數(shù)法
使用情景
已知函數(shù)的類型.
解題步驟
根據(jù)已知先設(shè)出函數(shù)的解析式,再列方程(組)求待定系數(shù).
【例1】已知是一次函數(shù),且滿足,求.
【點評】(1)本題由于已知函數(shù)的類型是一次函數(shù),所以可以利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式.(2)
由于對于定義域內(nèi)的任意一個值都成立,所以最后的
實際上是一個恒等式,所以可以比較等式兩邊的系數(shù)分別相等列方程組.
【例2】已知函數(shù)(的圖形的一個最高點為(2,),由這個最高點到相鄰的最低點時曲線經(jīng)過(6,0),求這個函數(shù)的解析式.
【解析】由題得
【點評】(1)對于三角函數(shù),待定系數(shù)法同樣適用,
3、關(guān)鍵是通過已知條件找到關(guān)于待定系數(shù)的方程
(組).(2)對于三角函數(shù)來說,一般利用最小正周期得到的方程,利用最值得到的方程,利用最值點得到的方程.
【反饋檢測1】已知為二次函數(shù),且 ,且,圖象在軸上截得的線段長為2,求的解析式.
方法二
代入法
使用情景
(1)已知原函數(shù)的解析式,求復(fù)合函數(shù)的解析式;(2)已知某區(qū)間的函數(shù)的解析式,求對稱區(qū)間的解析式.
解題步驟
(1)直接代入原函數(shù)的解析式即可;(2)一般先在所求的函數(shù)的圖像上任意取一點,然后求出它的對稱點的坐標(biāo),再把對稱點的坐標(biāo)代入對稱點滿足的方程.
【例3】已知函數(shù),求函數(shù)的表達式.
【解析】由題得
【點
4、評】本題就是已知原函數(shù)的解析式,求復(fù)合函數(shù)的解析式,所以只需直接用“”代換原函數(shù)中的“”即可.這就是代入法求函數(shù)的解析式.
【例4】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且當(dāng)時,,求當(dāng)時,的函數(shù)解析式.
【點評】本題就是已知某區(qū)間的函數(shù)的解析式,求對稱區(qū)間的解析式. 一般先在所求的函數(shù)的圖像上
任意取一點,然后求出它的對稱點的坐標(biāo),再把對稱點的坐標(biāo)代入對稱點滿足的方程.這是高中數(shù)學(xué)常見到的一種題型,要好好地理解和掌握.
【反饋檢測2】設(shè)函數(shù)的圖象為,關(guān)于點對稱的圖象為, 求對應(yīng)的函數(shù)的表達式.
方法三
換元法
使用情景
已知復(fù)合函數(shù)的解析式,求原函數(shù)的解析式.
解題步驟
5、
先換元,求出函數(shù)的自變量的表達式,再代入復(fù)合函數(shù)得到函數(shù)的解析式.
【例5】已知,求.
【解析】令(),則,∴,
所以.
【點評】(1)本題就是已知復(fù)合函數(shù)的解析式,求原函數(shù)的解析式.一般先換元,再求出函數(shù)的自變量的表達式,再代入復(fù)合函數(shù)得到函數(shù)的解析式.(2)換元時,一定要注意新元的取值范圍,它就是所求函數(shù)的定義域.
【反饋檢測3】 已知求的解析式.
方法四
解方程組法
使用情景
已知抽象函數(shù)滿足的關(guān)系式中有互為相反的自變量或互為倒數(shù)的自變量.
解題步驟
利用已知構(gòu)造另一個方程,得到一個方程組,解方程組即可.
【例6】已知滿足,求.
【解析】 ①,把①
6、中的換成,得 ②,
①②得,∴.
【點評】在已知的方程中有自變量和,它們互為倒數(shù),所以可以把方程中的地方統(tǒng)一換成,從而又得到一個關(guān)于的方程,解關(guān)于的方程組即可.
【反饋檢測5】定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足,求的表達式.
方法五
實際問題法
使用情景
實際問題
解題步驟
一般情況下根據(jù)函數(shù)的意義求出函數(shù)的解析式,要注意函數(shù)的定義域.
【例7】某人開汽車以的速度從地到遠處的地,在地停留后,再以 的速度返回地,把汽車離開地的路程表示為時間(從地出發(fā)是開始)的函數(shù),再把車速表示為時間的函數(shù).
【點評】實際問題中求函數(shù)的解析式難度比較大,一般要認(rèn)真讀題,再根據(jù)函數(shù)的
7、意義、自變量的意義及其它們之間的關(guān)系建立它們之間的函數(shù)關(guān)系.在寫函數(shù)的解析式時,要注意函數(shù)的定義域.
【反饋檢測6】 某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本為萬元,但每生產(chǎn)件需要增加投入萬元,市場對此產(chǎn)品的需要量為件,銷售收入為函數(shù) 萬元,其中是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位:百件).
(1)把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù);
(2)年產(chǎn)量為多少時,當(dāng)年公司所得利潤最大.
高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第05講:函數(shù)解析式的求法
參考答案
【反饋檢測1答案】
【反饋檢測1詳細(xì)解析】
【反饋檢測2答案】
【反饋檢測2詳細(xì)解析】設(shè)是函數(shù)圖象上任一點 ,則關(guān)于對稱點為在 上,即:即:
故.
【反饋檢測3答案】
【反饋檢測5答案】
【反饋檢測5詳細(xì)解析】
【反饋檢測6答案】(1)(2)當(dāng)年產(chǎn)量為件時,公司所得利潤最大.
(2)當(dāng)時,
∴當(dāng)年產(chǎn)量為件時,公司所得利潤最大,
∵該產(chǎn)品最多賣出件,
∴根據(jù)問題的實際意義可得,當(dāng)年產(chǎn)量為件時,公司所得利潤最大.