2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.5 軌跡問題教案

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.5 軌跡問題教案知識(shí)梳理本節(jié)主要內(nèi)容是軌跡的概念及軌跡方程的求法.求軌跡方程常用的方法:(1)結(jié)合解析幾何中某種曲線的定義,從定義出發(fā)尋找解決問題的方法;(2)利用幾何性質(zhì),若所求的軌跡與圖形的性質(zhì)相關(guān),往往利用三角形或圓的性質(zhì)來解問題;(3)如果點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡或所在曲線已知,又點(diǎn)Q與點(diǎn)P之間的坐標(biāo)可以建立某種關(guān)系,則借助點(diǎn)P的軌跡可以得到點(diǎn)Q的軌跡;(4)參數(shù)法.點(diǎn)擊雙基1.動(dòng)點(diǎn)P到直線x=1的距離與它到點(diǎn)A(4,0)的距離之比為2,則P點(diǎn)的軌跡是A.中心在原點(diǎn)的橢圓B.中心在(5,0)的橢圓C.中心在原點(diǎn)的雙曲線D.中心在(5,0)的雙曲線解析:直接法.答案

2、:B2.(xx年春季北京,6)已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(,0)、F2(,0),P是此雙曲線上的一點(diǎn),且PF1PF2,|PF1|PF2|=2,則該雙曲線的方程是A.=1 B.=1C.y2=1 D.x2=1解析:設(shè)雙曲線的方程為=1.由題意|PF1|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2=(2)2.又|PF1|PF2|=2,a=2,b=1.故雙曲線方程為y2=1.答案:C3.已知A(0,7)、B(0,7)、C(12,2),以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過A、B的橢圓,橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡方程是A.y21(y1) B.y21C.y21 D.x21解析:由題意AC13,BC15,AB14,又AFACBFB

3、C,AFBFBCAC2.故F點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn),實(shí)軸長為2的雙曲線下支.又c=7,a=1,b248,所以軌跡方程為y21(y1).答案:A4.F1、F2為橢圓+=1的左、右焦點(diǎn),A為橢圓上任一點(diǎn),過焦點(diǎn)F1向F1AF2的外角平分線作垂線,垂足為D,則點(diǎn)D的軌跡方程是_.解析:延長F1D與F2A交于B,連結(jié)DO,可知DO=F2B=2,動(dòng)點(diǎn)D的軌跡方程為x2+y2=4.答案:x2+y2=45.已知ABC中,B(1,0)、C(5,0),點(diǎn)A在x軸上方移動(dòng),且tanB+tanC=3,則 ABC的重心G的軌跡方程為_.解析:設(shè)A(x0,y0),tanB+tanC=3,=3,點(diǎn)A的軌跡方程為y0=(

4、x026x0+5)(x01且x05).若 G(x,y)為ABC的重心,則由重心坐標(biāo)公式:x=,y=,x0=3x6,且y0=3y.代入A點(diǎn)軌跡方程得G的軌跡方程為y1=(x3)2(x且x).答案:y1=(x3)2(x且x)典例剖析【例1】 在PMN中,tanPMN=,tanMNP=2,且PMN的面積為1,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求以M、N為焦點(diǎn),且過點(diǎn)P的橢圓的方程.剖析:如上圖,以直線MN為x軸,線段MN的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則所求橢圓方程為+=1.顯然a2、b2是未知數(shù),但a2、b2與已知條件沒有直接聯(lián)系,因此應(yīng)尋找與已知條件和諧統(tǒng)一的未知元,或改造已知條件.解法一:如上圖,過P

5、作PQMN,垂足為Q,令|PQ|=m,于是可得|MQ|=|PQ|cotPMQ=2m,|QN|=|PQ|cotPNQ=m.|MN|=|MQ|NQ|=2mm=m.于是SPMN=|MN|PQ|=mm=1.因而m=,|MQ|=2,|NQ|=,|MN|=.|MP|=,|NP|=.以MN的中點(diǎn)為原點(diǎn),MN所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)橢圓方程為+=1(ab0).則2a=|MP|+|NP|=,2c=|MN|=,故所求橢圓方程為+=1.解法二:設(shè)M(c,0)、N(c,0),P(x,y),y0, =,則=2,yc=1,解之,得x=,y=,c=.設(shè)橢圓方程為b2x2+a2y2=a2b2,則b2()2+a2()2

6、=a2b2,a2b2=, 解之,得a2=,b2=3.(以下略)評(píng)述:解法一選擇了與a較接近的未知元|PM|、|PN|,但需改造已知條件,以便利用正弦定理和面積公式;解法二以條件為主,選擇了與條件聯(lián)系最直接的未知元x、y、c.本題解法較多,但最能體現(xiàn)方程思想方法的、學(xué)生易于理解和接受的是這兩種解法.深化拓展 若把PMN的面積為1改為=,求橢圓方程.提示:由tanPMN=,tanMNP=2,易得sinMPN=,cosMPN=.由=,得|=.易求得|PM|=,|PN|=.進(jìn)而求得橢圓方程為+=1.【例2】 (xx年福建,22)如下圖,P是拋物線C:y=x2上一點(diǎn),直線l過點(diǎn)P且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q

7、.若直線l與過點(diǎn)P的切線垂直,求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程.剖析:欲求PQ中點(diǎn)M的軌跡方程,需知P、Q的坐標(biāo).思路一,P、Q是直線l與拋物線C的交點(diǎn),故需求直線l的方程,再與拋物線C的方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得M的軌跡方程;思路二,設(shè)出P、Q的坐標(biāo),利用P、Q的坐標(biāo)滿足拋物線C的方程,代入拋物線C的方程相減得PQ的斜率,利用PQ的斜率就是l的斜率,可求得M的軌跡方程.解:設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M(x0,y0),依題意知x10,y10,y20.由y=x2, 得y=x.過點(diǎn)P的切線的斜率k切=x1,直線l的斜率kl=,直線l的方程為yx12=(xx1). 方法一:聯(lián)立

8、消去y,得x2+xx122=0.M為PQ的中點(diǎn),x0=,y0=x12(x0x1). 消去x1,得y0=x02+1(x00),PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x2+1(x0).方法二:由y1=x12,y2=x22,x0=,得y1y2=x12x22=(x1+x2)(x1x2)=x0(x1x2),則x0=kl=,x1=.將上式代入并整理,得y0=x02+1(x00),PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x2+1(x0).評(píng)述:本題主要考查了直線、拋物線的基礎(chǔ)知識(shí),以及求軌跡方程的常用方法.本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題.深化拓展 當(dāng)點(diǎn)P在拋物線C上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M到x軸的最短距

9、離.提示:x0,x20,y=x2+12+1=+1,當(dāng)且僅當(dāng)x2=,x=時(shí)等號(hào)成立,即點(diǎn)M到x軸的最短距離為+1.【例3】 (xx年春季全國)已知拋物線y24px(p0),O為頂點(diǎn),A、B為拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn),且滿足OAOB,如果OMAB于M點(diǎn),求點(diǎn)M的軌跡方程.剖析:點(diǎn)M是OM與AB的交點(diǎn),點(diǎn)M隨著A、B兩點(diǎn)的變化而變化,而A、B為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M與A、B的直接關(guān)系不明顯,因此需引入?yún)?shù).解法一:設(shè)M(x0,y0),則kOM=,kAB=,直線AB方程是y=(xx0)+y0.由y2=4px可得x=,將其代入上式,整理,得x0y2(4py0)y4py024px02=0. 此方程的兩根y1、y2分

10、別是A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo),A(,y1)、B(,y2).OAOB,kOAkOB=1.=1.y1y2=16p2.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,由可得y1y2=,=16p2.化簡,得x02+y024px0=0,即x2+y24px=0(除去原點(diǎn))為所求.點(diǎn)M的軌跡是以(2p,0)為圓心,以2p為半徑的圓,去掉坐標(biāo)原點(diǎn).解法二:設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A(pt12,2pt1)、B(pt22,2pt2).kOA=,kOB=,kAB=.OAOB,t1t2=4.AB方程是y2pt1=(xpt12), 直線OM的方程是y=x. ,得(px)t12+2pyt1(x2+y2)=0. 直線AB的方程還可寫為y2pt2=(xpt22).

11、 由,得(px)t22+(2py)t2(x2+y2)=0. 由可知t1、t2是方程(px)t2+(2py)t2(x2+y2)=0的兩根.由根與系數(shù)的關(guān)系可得t1t2=.又t1t2=4,x2+y24px=0(原點(diǎn)除外)為所求點(diǎn)M的軌跡方程.故M的軌跡是以(2p,0)為圓心,以2p為半徑的圓,去掉坐標(biāo)原點(diǎn).解法三:設(shè)M(x,y),直線AB方程為y=kx+b,由OMAB得k=.由y2=4px及y=kx+b消去y,得k2x2+x(2kb4p)+b2=0.所以x1x2=.消去x,得ky24py+4pb=0.所以y1y2=.由OAOB,得y1y2=x1x2,所以=,b=4kp.故y=kx+b=k(x4p)

12、.用k=代入,得x2+y24px=0(x0).解法四:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),直線OA的方程為y=kx,解得A點(diǎn)的坐標(biāo)為(,),顯然k0,則直線OB的方程為y=x.由 y=kx,y2=4px, 類似地可得B點(diǎn)的坐標(biāo)為(4pk2,4pk),從而知當(dāng)k1時(shí),kAB=.故得直線AB的方程為y+4pk=(x4pk2),即(k)y+4p=x, 直線OM的方程為y=(k)x. 可知M點(diǎn)的坐標(biāo)同時(shí)滿足,由及消去k便得4px=x2+y2,即(x2p)2+y2=4p2,但x0,當(dāng)k=1時(shí),容易驗(yàn)證M點(diǎn)的坐標(biāo)仍適合上述方程.故點(diǎn)M的軌跡方程為(x2p)2+y2=4p2(x0),它表示以點(diǎn)(2p,0)為圓心,以2

13、p為半徑的圓.評(píng)述:本題考查了交軌法、參數(shù)法求軌跡方程,涉及了類比、分類討論等數(shù)學(xué)方法,消參時(shí)又用到了整體思想法,對(duì)含字母的式子的運(yùn)算能力有較高的要求,同時(shí)還需要注意軌跡的“完備性和純粹性”.此題是綜合考查學(xué)生能力的一道好題.深化拓展 本題中直線AB恒過定點(diǎn)(4p,0),讀者不妨探究一番.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.已知M(2,0)、N(2,0),PMPN4,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是A.雙曲線 B.雙曲線左邊一支C.一條射線 D.雙曲線右邊一支解析:利用幾何性質(zhì).答案:C2.(xx年河南)已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F(,0),直線y=x1與其相交于M、N兩點(diǎn),MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則此雙曲線的方程是A.=

14、1 B.=1C.=1 D.=1解析:設(shè)雙曲線方程為=1.將y=x1代入=1,整理得(b2a2)x2+2a2xa2a2b2=0.由韋達(dá)定理得x1+x2=,=.由c2=a2+b2求得a2=2,b2=5.答案:D3.曲線x24y24關(guān)于點(diǎn)M(3,5)對(duì)稱的曲線方程為_.解析:代入法(或相關(guān)點(diǎn)法).答案:(x6)2+4(y10)2=44.與圓x2+y24x=0外切,且與y軸相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程是_.解析:若動(dòng)圓在y軸右側(cè),則動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)(2,0)與到定直線x=2的距離相等,其軌跡是拋物線;若動(dòng)圓在y軸左側(cè),則動(dòng)圓圓心軌跡是x負(fù)半軸.答案:y2=8x(x0)或y=0(x0)5.自拋物線y22x上任

15、意一點(diǎn)P向其準(zhǔn)線l引垂線,垂足為Q,連結(jié)頂點(diǎn)O與P的直線和連結(jié)焦點(diǎn)F與Q的直線交于R點(diǎn),求R點(diǎn)的軌跡方程.解:設(shè)P(x1,y1)、R(x,y),則Q(,y1)、F(,0),OP的方程為y=x, FQ的方程為y=y1(x). 由得x1,y1,代入y22x,可得y22x2+x.6.求經(jīng)過定點(diǎn)A(1,2),以x軸為準(zhǔn)線,離心率為的橢圓下方的頂點(diǎn)的軌跡方程.解:設(shè)橢圓下方的焦點(diǎn)F(x0,y0),由定義=,|AF|=1,即點(diǎn)F的軌跡方程為(x01)2+(y02)2=1.又設(shè)橢圓下方頂點(diǎn)為P(x,y),則x0=x,y0=y,點(diǎn)P的軌跡方程是(x1)2+(y2)2=1.培養(yǎng)能力7.AB是圓O的直徑,且AB2

16、a,M為圓上一動(dòng)點(diǎn),作MNAB,垂足為N,在OM上取點(diǎn)P,使OPMN,求點(diǎn)P的軌跡.解:以圓心O為原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系(如下圖),則O的方程為x2y2a2,設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y),并設(shè)圓與y軸交于C、D兩點(diǎn),作PQAB于Q,則有.OPMN,OP2OMPQ.x2+y2ay,即 x2(y)2()2.軌跡是分別以CO、OD為直徑的兩個(gè)圓.8.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).求AOB的重心G的軌跡C的方程.解:拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí),設(shè)方程為y=k(x1),代入y2=4x,得k2x2x(2k2+4)+k2=0.設(shè)l方

17、程與拋物線相交于兩點(diǎn),k0.設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),根據(jù)韋達(dá)定理,有x1+x2=,從而y1+y2=k(x1+x22)=.設(shè)AOB的重心為G(x,y),消去k,得x=+(y)2,則 x=+,y=, y2=x.當(dāng)l垂直于x軸時(shí),A、B的坐標(biāo)分別為(1,2)和(1,2),AOB的重心G(,0),也適合y2=x,因此所求軌跡C的方程為y2=x.探究創(chuàng)新9.(xx年春季安徽)已知k0,直線l1:y=kx,l2:y=kx.(1)證明:到l1、l2的距離的平方和為定值a(a0)的點(diǎn)的軌跡是圓或橢圓;(2)求到l1、l2的距離之和為定值c(c0)的點(diǎn)的軌跡.(1)證明:設(shè)點(diǎn)P(x

18、,y)為動(dòng)點(diǎn),則+=a,整理得+=1.因此,當(dāng)k=1時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓;當(dāng)k1時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓.(2)解:設(shè)點(diǎn)P(x,y)為動(dòng)點(diǎn),則|ykx|+|y+kx|=c.當(dāng)yk|x|時(shí),ykx+y+kx=c,即y=c;當(dāng)yk|x|時(shí),kxyykx=c,即y=c;當(dāng)k|x|yk|x|,x0時(shí),kxy+y+kx=c,即x=c;當(dāng)k|x|yk|x|,x0時(shí),ykxykx=c,即x=c.綜上,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為矩形.思悟小結(jié)1.求軌跡方程的一般步驟是:建系、設(shè)點(diǎn)、列式、代入、化簡、檢驗(yàn).檢驗(yàn)就是要檢驗(yàn)點(diǎn)的軌跡的純粹性和完備性.2.如果題目中的條件有明顯的等量關(guān)系,或者可以利用平面幾何知識(shí)推出等量關(guān)系,求方程時(shí)可

19、用直接法.3.如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義,則可用曲線定義寫出方程,這種方法稱為定義法.4.如果軌跡動(dòng)點(diǎn)P(x,y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Q(a,b),而Q(a,b)又在某已知曲線上,則可先列出關(guān)于x、y、a、b的方程組,利用x、y表示出a、b,把a(bǔ)、b代入已知曲線方程便得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.此法稱為代入法.5.如果軌跡動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到,也沒有相關(guān)點(diǎn)可用時(shí),可先考慮將x、y用一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)來表示,消去參數(shù)得軌跡方程,此法稱為參數(shù)法.參數(shù)法中常選變角、變斜率等為參數(shù).6.注意參數(shù)的取值范圍對(duì)方程的影響.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.已知曲線求方程或已知方程畫曲線是解析幾何

20、中的兩個(gè)基本問題.如何探求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程呢?從定義出發(fā),還本索源.在探求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí),如能結(jié)合解析幾何中某種曲線的定義,也就能尋找到解決問題的鑰匙;利用平面幾何的性質(zhì).動(dòng)點(diǎn)的軌跡與圖形的性質(zhì)相關(guān),若某些軌跡與直線或圓有關(guān),則可以利用三角形或圓的性質(zhì)來幫助分析;伴隨曲線的思想和方法.如果點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡或所在的曲線已知,又點(diǎn)P與點(diǎn)Q的坐標(biāo)之間可以建立起某種關(guān)系,則借助于點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡,我們便可以得到點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡,這便是伴隨曲線的思想方法.2.在探求軌跡的過程中,需要注意的是軌跡的“完備性”和“純粹性”,也就是說既不能多,也不能少,因此,在求得軌跡方程之后,要深入地再思考一下:是否還遺漏了一些

21、點(diǎn)?是否還有另一個(gè)滿足條件的軌跡方程存在?在所求得的軌跡方程中,x、y的取值范圍是否有什么限制?拓展題例【例1】 是否存在同時(shí)滿足下列條件的拋物線?若存在,求出它的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由(1)準(zhǔn)線是y軸;(2)頂點(diǎn)在x軸上;(3)點(diǎn)A(3,0)到此拋物線上動(dòng)點(diǎn)P的距離最小值是2.解:假設(shè)存在這樣的拋物線,頂點(diǎn)為(a,0),則方程為y24a(xa)(a0),設(shè)P(x0,y0),則y024a(x0a),AP2(x03)2y02x0(32a)212a8a2,令f(a)AP2,當(dāng)a0時(shí),有x0a,當(dāng)32aa即a(0,1時(shí),AP2f(32a),a1或a;拋物線方程為y24(x1)或y22(x).當(dāng)3

22、2aa即a1時(shí),AP2f(a).a5或a1(舍),拋物線方程為y220(x5).當(dāng)a0時(shí),顯然與已知矛盾,所求拋物線方程為y24(x1)或y22(x)或y220(x5)【例2】 (xx年太原市模擬題)已知橢圓的焦點(diǎn)為F1(1,0)、F2(1,0),直線x=4是它的一條準(zhǔn)線.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)A1、A2分別是橢圓的左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn),P是橢圓上滿足|PA1|PA2|=2的一點(diǎn),求tanA1PA2的值;(3)若過點(diǎn)(1,0)的直線與以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、A2為焦點(diǎn)的拋物線相交于點(diǎn)M、N,求MN中點(diǎn)Q的軌跡方程.解:(1)設(shè)橢圓方程為+=1(ab0).由題設(shè)有 c=1,=4,b2=3.解得 c=1,a

23、=2,所求橢圓方程為+=1.(2)由題設(shè)知,點(diǎn)P在以A1、A2為焦點(diǎn),實(shí)軸長為2的雙曲線的右支上.由(1)知A1(2,0),A2(2,0),設(shè)雙曲線方程為=1(m0,n0).則解得 2m=2, m=1,m2+n2=4, n=.雙曲線方程為x2=1.由+=1,x2=1,解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為(,)或(,).當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(,)時(shí),tanA1PA2=4.同理當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(,)時(shí),tanA1PA2=4.故tanA1PA2=4.(3)由題設(shè)知,拋物線方程為y2=8x.設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),MN的中點(diǎn)Q(x,y),當(dāng)x1x2時(shí),有y12=8x1, y22=8x2, x=, y=, =. ,得(y1+y2)=8,將代入上式,有2y=8,即y2=4(x1)(x1).當(dāng)x1=x2時(shí),MN的中點(diǎn)為(1,0),仍滿足上式.故所求點(diǎn)Q的軌跡方程為y2=4(x1).

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