2022年高三數(shù)學(xué) 專題3 不等式問題練習(xí)

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1、2022年高三數(shù)學(xué) 專題3 不等式問題練習(xí) 一、前測訓(xùn)練 1． 解下列不等式： (1)－3x2＋4x＋4＞0 (2)≤2 (3) 4x－3·2－8≤0 （4）ax2－ax＋1＜0 答案：(1)(－，2)；(2) (－∞，－4]∪(－1，＋∞)； (3)(－∞，]； (4) 當(dāng)0≤a≤4時(shí)，解集為?；當(dāng)a＞4時(shí)，＜x＜； 當(dāng)a＜0時(shí)，x＞或x＜． 2．(1)若對任意x∈R，都有(m－2)x2－2(m－2)x－4＜0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ． (2) 若對任意x＞0，都有mx2－2x－1＜0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

2、 ． (3) 若對任意－1≤m≤1，都有mx2－2x＋1－m＜0恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是 ． 答案：(1)(－2，2]；(2)(－∞，0]；(3)(－1，2)． 3．(1)函數(shù)y＝1－4x＋(x＞)的最大值為 ． (2)已知x＞0，y＞0 ，且＋＝2，則x＋y的最小值為 ． 答案：(1)－6；(2)8． 4．求下列函數(shù)的值域： (1)y＝ ； (2)f(x)＝x＋，x∈[1，2] 答案：(1)； (2)當(dāng)a≤1時(shí)，值域?yàn)閇1＋a，2＋]，當(dāng)1＜a＜2時(shí)，值域?yàn)閇2，2＋]， 當(dāng)2≤a≤4．值域?yàn)閇2，1＋

3、a]，當(dāng)a＞4時(shí)，值域?yàn)閇2＋，1＋a]． 5．求下列函數(shù)的值域： (1)y＝ (x＞) (2)y＝ (x≤－1) 答案：(1)[，＋∞)；(2)[－，0)． 6．設(shè)x，y滿足約束條件 ，則 (1) z＝x＋2y的最小值為 ；(2)z＝2x－y的最大值為 ； (3) z＝x2＋2x＋y2的最大值為 ；(4) z＝的最大值為 ． 答案：(1)3；(2)8；(3)39；(4)． 二、方法聯(lián)想 1．一元二次不等式 從四個(gè)方面考慮：(1)二次項(xiàng)系數(shù)為0和正負(fù)情況；(2)二次方程根是否存在情況(優(yōu)先用

4、十字相乘法求根)；(3)二次方程根的大小情況； (4)二次不等式的不等號方向． 分式不等式 (1) ＞0等價(jià)于f(x)g(x)＞0； ＜0等價(jià)于f(x)g(x)＜0． (2) ≥0等價(jià)于 ≤0等價(jià)于 2．恒成立問題 (1)二次不等式恒成立問題 方法1 結(jié)合二次函數(shù)圖象分析． 方法2 分離變量法 (2)一次不等式恒成立問題 ①若關(guān)于x的不等式ax＋b≥0對任意x∈ [m，n]上恒成立，則 ②若關(guān)于x的不等式ax＋b≤0 對任意x∈[m，n]上恒成立，則 3．基本不等式求最值 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等號．

5、 三個(gè)不等式關(guān)系： (1)a，b∈R，a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號． (2)a，b∈R＋，a＋b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號． (3)a，b∈R，≤()2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號． 上述三個(gè)不等關(guān)系揭示了a2＋b2 ，ab ，a＋b三者間的不等關(guān)系． 其中，基本不等式及其變形：a，b∈R＋，a＋b≥2(或ab≤()2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號，所以當(dāng)和為定值時(shí)，可求積的最值；當(dāng)積為定值是，可求和的最值． 4．f(x)＝x＋型函數(shù) 對于f(x)＝x＋， 當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)為增函數(shù)； 當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)

6、在(－∞，)，(，＋∞)為增函數(shù)；在(－，0)，(0，)為減函數(shù)． 注意 在解答題中利用函數(shù)f(x)＝x＋的單調(diào)性時(shí)，需要利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明． 5．f(x)＝ (或f(x)＝)型 令dx＋e＝t進(jìn)行換元，轉(zhuǎn)化為f(x)＝x＋型函數(shù)問題． 6．利用線性規(guī)劃區(qū)域求最值 將求目標(biāo)函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為截距、距離、斜率的最值． 三、例題分析 第一層次學(xué)校 例1 設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3． (1)當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍； (2)當(dāng)x∈[－2，2]時(shí)，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍； (3)設(shè)不等式f(x)≥a對于滿足1≤a≤3的一切a的取值都成立，求x

7、的取值范圍． 解：(1)－6≤a≤2． (2) －7≤a≤2． 思路1：(利用二次函數(shù)的圖象) 注：此方法可改進(jìn)，由f(2)≥a，f(－2)≥a得－7≤a≤．對稱軸x＝－∈[－，]，可少討論一種情況． 思路2：(求函數(shù)的最值) 注：此方法可改進(jìn)，由f(2)≥a，f(－2)≥a得－7≤a≤，再進(jìn)行分類討論． 思路3：(變量分離后，再求函數(shù)的最值) (3) x≤－3或x≥0． 【教學(xué)建議】 1．本題涉及到不等式恒成立問題，通常思路有3種， ①f(x)≥0，"x∈D恒成立?f(x)min≥0轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)的最小值(求最值時(shí)，可能要

8、對參數(shù)進(jìn)行討論)； ②選進(jìn)行變量分離，再求函數(shù)的最值；即f(x)≥a，"x∈D恒成立?f(x)min≥a． ③利用函數(shù)的圖象和幾何意義； 2．本題是二次不等式恒成立問題，第一問是二次不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立，可由圖象法及判別式處理． 第二問是二次不等式對x∈[－2，2]恒成立，所以圖象法，求最值，或變量分量后求最值均可，以方法二較優(yōu)． 例2 在△ABC中，AB＝AC，D為AC中點(diǎn)，且BD＝，求△ABC的面積的最大值． 解：S取最大值2． 思路1：（代數(shù)方法）建立目標(biāo)函數(shù)，求最值． 思路2：（幾何方法） 【教學(xué)建議】 1．本題是實(shí)際問題中的最值問題

9、．這類問題通常有2種思路： ①根據(jù)圖形的幾何意義，確定取得最值的情形，再進(jìn)行計(jì)算； ②建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值． 2．本題采用思路2，通過建立目標(biāo)函數(shù)，再求函數(shù)的最值，再表示面積時(shí)，有兩種方法，一是通過兩邊及夾角求面積，一是通過底邊與高求面積，因而有方法一與方法二． 3．方法一有純代數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為求雙二次函數(shù)的最值，運(yùn)算量較大；方法二結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，由于BD已知，因而要使面積最大，只需A到BD的距離最大，由于點(diǎn)A要求滿足AB＝2AD，因而它的軌跡是一個(gè)圓，問題就轉(zhuǎn)化為求軌跡上的點(diǎn)到直線BD距離的最大值問題，所以法二采用了建系求軌跡的方法，運(yùn)算量小，比方法一簡單，但思維的要

10、求更高． 例3 已知點(diǎn)M，N的坐標(biāo)滿足若a＝(1，－1)，求·a的取值范圍． 解：·a的取值范圍為[－7，7]． 【教學(xué)建議】 1．本題是線性規(guī)劃問題．但目標(biāo)函數(shù)不是常規(guī)的情形(線性目標(biāo)函數(shù)，斜率與兩點(diǎn)問題距離)，需轉(zhuǎn)化． 2．由于M，N是可行域中任意兩點(diǎn)，所以可以利用＝－，將問題求·a與·a的差的取值范圍，從而轉(zhuǎn)化為求線性目標(biāo)函數(shù)z＝x－y的最大值與最小值，這是一標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃問題． 第二層次學(xué)校 例1 設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3． (1)當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍； (2)當(dāng)x∈[－2，2]時(shí)，f(x)≥a恒成立，求a的取

11、值范圍； (3)設(shè)不等式f(x)≥a對于滿足1≤a≤3的一切a的取值都成立，求x的取值范圍． 解：(1)－6≤a≤2． (2) －7≤a≤2． 思路1：(利用二次函數(shù)的圖象) 注：此方法可改進(jìn)，由f(2)≥a，f(－2)≥a得－7≤a≤．對稱軸x＝－∈[－，]，可少討論一種情況． 思路2：(求函數(shù)的最值) 注：此方法可改進(jìn)，由f(2)≥a，f(－2)≥a得－7≤a≤，再進(jìn)行分類討論． 思路3：(變量分離后，再求函數(shù)的最值) (3) x≤－3或x≥0． 【教學(xué)建議】 1．本題涉及到不等式恒成立問題，通常思路有3種， ①f(x)≥0

12、，"x∈D恒成立?f(x)min≥0轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)的最小值(求最值時(shí)，可能要對參數(shù)進(jìn)行討論)； ②選進(jìn)行變量分離，再求函數(shù)的最值；即f(x)≥a，"x∈D恒成立?f(x)min≥a． ③利用函數(shù)的圖象和幾何意義； 2．本題是二次不等式恒成立問題，第一問是二次不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立，可由圖象法及判別式處理． 第二問是二次不等式對x∈[－2，2]恒成立，所以圖象法，求最值，或變量分量后求最值均可，以方法二較優(yōu)． 例2 設(shè)m，n∈R，若直線(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0與圓(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，求m＋n的取值范圍． 解 m＋n∈(－∞，2

13、－2]∪[2＋2，＋∞)． 思路1：(基本不等式) 思路2：(消元轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域) 思路3：(利用圖形的幾何意義) 【教學(xué)建議】 1．本題是求二元函數(shù)的值域問題．這類問題主要有3種解題思路： ①直接利用基本不等式，這種方法往往只有求最大值或最小值； ②消元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，再求最值； ③將兩個(gè)變量看成一個(gè)有序?qū)崝?shù)對，當(dāng)作平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從圖形的幾何意義方面，考慮求目標(biāo)函數(shù)的值域． 2．本題3種方法均可，方法一只適用于本題，方法二是一般方法，本題中方法三難度較大，對思維的要求很高，但比較直觀，在小題中使用較好． 例3 已

14、知x，y滿足條件，且M(2，1)，P(x，y)．求： (1)的取值范圍；(2)x2＋y2的最大值與最小值；(3)·的最大值；(4)||cos∠MOP的最小值． 解： (1) 的取值范圍為[，9]． (2) x2＋y2的最大值為37，最小值為． (3) ·的最大值為9． (4) ||cos∠MOP的最小值為－． 【教學(xué)建議】 1．本題是線性規(guī)劃問題，(1)(2)問是典型的問法，(3)(4)問是需要利用向量數(shù)量積的知識，才能得到線性目標(biāo)函數(shù)． 2．線性規(guī)劃問題，有些比較直接，如(1)(2)問，主要考查線性目標(biāo)函數(shù)、斜率與距離等三類問題，但

15、近幾年高考，出現(xiàn)了一些變式，可行域不是線性約束條件確定，可行域只是一個(gè)曲線，或目標(biāo)函數(shù)是上述3種類型的變式等，對問題轉(zhuǎn)化的要求比較高。但復(fù)習(xí)中還是以基本問題為主，適當(dāng)進(jìn)行一些變式． 第三層次學(xué)校 例1：已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b． (1)解關(guān)于a的不等式f(1)＞0； (2)若不等式f(x)＞0的解集為(－1，3)，求實(shí)數(shù)a，b的值； (3)若不等式f(x)≥b＋4對于x∈[1，2]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：(1)不等式的解集為{x|3－＜x＜3＋}． (2) a＝3±，b＝9． (3) 實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2，4]． 【教學(xué)建議】 1．本題

16、涉及解一元二次不等式，一元二次不等式的解集與相應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系，及不等式恒成立問題． 2．解一元二次不等式，要考慮對應(yīng)方程有沒有根，如有根，則根的大小如何，對應(yīng)二次函數(shù)的開口方向等，并結(jié)合二次函數(shù)的圖象去寫解集；已知一元二次不等式的解集可知對應(yīng)的一元二次方程的兩根，以及二次項(xiàng)系數(shù)的符號． 3．第(3)問是不等式恒成立問題，通常思路有3種， ①f(x)≥0，"x∈D恒成立?f(x)min≥0轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)的最小值(求最值時(shí)，可能要對參數(shù)進(jìn)行討論)； ②選進(jìn)行變量分離，再求函數(shù)的最值；即f(x)≥a，"x∈D恒成立?f(x)min≥a． ③利用函數(shù)的圖象和幾何意義； 本題

17、采用變量分離后求最值，思路清晰，便于運(yùn)算．而從二次函數(shù)圖象或討論求最值，比較復(fù)雜． 例2 已知直線l：＋＝1，其中a＞0，b＞0經(jīng)過點(diǎn)P(2，3)，求a＋b的最小值． 解：5＋2 思路1：(消元法) 思路2：(基本不等式法)①(整體處理法)；②(分解變換法)； 思路3：幾何法 易錯(cuò)點(diǎn)：用消元法，要注意a的取值范圍． 【教學(xué)建議】 1．本題是求二元函數(shù)的值域問題．這類問題主要有3種解題思路： ①直接利用基本不等式，這種方法往往只有求最大值或最小值； ②消元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，再求最值； ③將兩個(gè)變量看成一個(gè)有序?qū)崝?shù)對，當(dāng)作平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從圖形的幾何意義方面，

18、考慮求目標(biāo)函數(shù)的值域． 2．本題3種方法均可，相比較，方法二中整體處理利用基本不等式最簡單，它也是處理這一類問題的一般方法．方法三比較直觀，但學(xué)生不易想到． 例3 已知x，y滿足條件，且M(2，1)，P(x，y)．求： (1)的取值范圍；(2)x2＋y2的最大值與最小值；(3)·的最大值；(4)||cos∠MOP的最小值． 解： (1) 的取值范圍為[，9]． (2) x2＋y2的最大值為37，最小值為． (3) ·的最大值為9． (4) ||cos∠MOP的最小值為－． 【教學(xué)建議】 1．本題是線性規(guī)劃問題，(1)(2)問是典型的問法，(3)(4)問是需要利用向量數(shù)量積的知識，才能得到線性目標(biāo)函數(shù)． 2．線性規(guī)劃問題，有些比較直接，如(1)(2)問，主要考查線性目標(biāo)函數(shù)、斜率與距離等三類問題，但近幾年高考，出現(xiàn)了一些變式，可行域不是線性約束條件確定，可行域只是一個(gè)曲線，或目標(biāo)函數(shù)是上述3種類型的變式等，對問題轉(zhuǎn)化的要求比較高。但復(fù)習(xí)中還是以基本問題為主，適當(dāng)進(jìn)行一些變式． 四、反饋練習(xí)