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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第十五課時(shí) 正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)教案 蘇教版必修4
教學(xué)目標(biāo)：
會(huì)用單位圓中的正切線畫出正切函數(shù)的圖象，理解正切函數(shù)的性質(zhì)，掌握性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，會(huì)解決一些實(shí)際問(wèn)題；用數(shù)形結(jié)合的思想理解和處理有關(guān)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)實(shí)踐第一觀點(diǎn).
教學(xué)重點(diǎn)：
正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)
教學(xué)難點(diǎn)：
正切函數(shù)的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用
教學(xué)過(guò)程：
Ⅰ.課題導(dǎo)入
常見的三角函數(shù)還有正切函數(shù)，前面我們研究了正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，今天我們來(lái)探討一下正切函數(shù)的圖象，以及它具有哪些性質(zhì)?
Ⅱ.講授新課
為了精確，我們還是利用單位圓中的正切線來(lái)畫一下正切曲線.
∵tan(π＋
2、x)＝＝＝tanx(其中x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z)
根據(jù)周期函數(shù)定義，可知正切函數(shù)也是周期函數(shù)，且π是它的周期.
現(xiàn)在利用正切線畫出函數(shù)
y＝tanx，x∈(－，)的圖象
引導(dǎo)學(xué)生完成.
引導(dǎo)學(xué)生觀察得出正切曲線的特征：
正切曲線是被相互平行的直線x＝＋kπ(k∈Z)所隔開的無(wú)窮多支曲線組成的.
現(xiàn)在我們根據(jù)正切曲線來(lái)看一下正切函數(shù)有哪些主要性質(zhì).
(1)定義域：｛x｜x≠＋kπ，k∈Z｝
(2)值域：R
(3)周期性：正切函數(shù)是周期函數(shù)，且周期T＝π
(4)奇偶性：∵tan(－x)＝－tanx
∴正切函數(shù)是奇函數(shù)
∴正切曲線關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱
(5)單調(diào)性：正切函
3、數(shù)在開區(qū)間(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z內(nèi)都是增函數(shù).
注意：①正切函數(shù)在整個(gè)定義域上不具有單調(diào)性，因?yàn)樗亩x域不連續(xù)，所以不能說(shuō)它在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù).②正切函數(shù)在每個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)
下面，來(lái)看性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.
［例1］求函數(shù)y＝tan2x的定義域.
解：由2x≠kπ＋，(k∈Z) 得x≠＋，(k∈Z)
∴y＝tan2x的定義域?yàn)椋海鹸｜x∈R且x≠＋，k∈Z｝
［例2］觀察正切曲線寫出滿足下列條件的x的值的范圍：tanx＞0
解：畫出y＝tanx在(－，)上的圖象，不難看出在此區(qū)間上滿足tanx＞0的x的范圍為：0＜x＜
結(jié)合周期性，可知在x∈R,且x≠kπ＋上
4、滿足的x的取值范圍為(kπ，kπ＋)(k∈Z)
［例3］不通過(guò)求值，比較tan135°與tan138°的大小.
解：∵90°＜135°＜138°＜270°
又∵y＝tanx在x∈(90°，270°)上是增函數(shù),
∴tan135°＜tan138°
［例4］求函數(shù)y＝tan(x＋)的定義域，并討論它的單調(diào)性.
解：由x＋≠kπ＋，(k∈Z)
得x≠kπ＋，(k∈Z)
∴y＝tan(x＋)的定義域?yàn)椋鹸｜x∈R且x≠kπ＋，k∈Z｝
又由y＝tanx在每個(gè)區(qū)間(kπ－，kπ＋)k∈Z上是增函數(shù)可知：
當(dāng)kπ－＜x＋＜kπ＋
即kπ－＜x＜kπ＋ (k∈Z)時(shí)，y＝tan(x＋
5、)是增函數(shù)
∴y＝tan(x＋)在每個(gè)區(qū)間(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增函數(shù).
［例5］函數(shù)y＝tan2x是否具有周期性，若具有，則最小正周期是什么?
解：由y＝tanx是周期函數(shù)，且周期為π可知：只有必須當(dāng)x至少增加到x＋π時(shí)，函數(shù)值才重復(fù)出現(xiàn).
也就是說(shuō)只有2x至少增加到2x＋π時(shí)，即x至少增加到x＋時(shí)，函數(shù)值才重復(fù)出現(xiàn).
∴y＝tan2x具有周期性，且最小正周期為 .
由正、余弦函數(shù)最小正周期T＝得正切函數(shù)的最小正周期T＝
例如y＝5tan，x≠(2k＋1)π，(k∈Z)的周期T＝＝4π.
y＝tan3x，x≠＋ (k∈Z)的周期T＝.
Ⅲ.課堂練習(xí)
課本P35 1～4
Ⅳ.課時(shí)小結(jié)
通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要掌握正切函數(shù)的圖象，理解它具有的主要性質(zhì)，并會(huì)應(yīng)用它解決一些較簡(jiǎn)單問(wèn)題.
Ⅴ.課后作業(yè)
課本P46習(xí)題 5
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