3、°,則∠BCD的度數(shù)為（? ?）
A.?80°?????????????????????????????????????B.?100°?????????????????????????????????????C.?120°?????????????????????????????????????D.?140°
【答案】B
【解析】 如圖，延長BC交AD于點E，
∵∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，
∴∠BCD=∠A+∠B+∠D，
∵∠A=50°，∠B=20°，∠D=30°，
∴∠BCD=50°+20°+30°=100°，
故答案為：B.
【分析】延長
4、BC交AD于點E，根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，所以∠BCD=∠A+∠B+∠D，由已知可得∠BCD=50°+20°+30°=100°。
4.如圖，BE∥AF，點D是AB上一點，且DC⊥BE于點C，若∠A=35°，則∠ADC的度數(shù)（ ??）
A.?105°????????????????????????????????????B.?115°????????????????????????????????????C.?125°????????????????????????????????????D.?135°
【答案
5、】C
【解析】 ：∵BE∥AF，∴∠B=∠A=35°．∵DC⊥BE，∴∠DCB=90°，∴∠ADC=90°+35°=125°．故答案為：C．【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠B=∠A=35°，根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠ADC=90°+35°=125°。
5.如圖，在Rt ABC中，∠ACB=900，BC=2．將 ABC繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ ，使點B’落在AC邊上．設(shè)M是 的中點，連接BM，CM， BCM的面積為（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2????????????????
6、???????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】A
【解析】 ：過點M作MD⊥AB于點D
∴∠MDA=90°
∵M是 B′C′ 的中點
∴A'M=A′B′
∵△ ABC繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A ′B ′C ′
∴BC=BC=2，∠ACB=∠ACB=90°=∠MDA
∴MD∥AC
∴
∴MD=1
∴S△BCM=BCMD=×2×1=1
故答案為;A
【分析】過點M作MD⊥A ' B于點D，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可證得BC=B 'C=2，∠ACB=∠A
7、' CB ' =90°=∠MDA '，再根據(jù)平行線分線段成比例及線段中點的定義，可得線段成比例，求出MD的長，然后利用三角形的面積公式，求解即可。
6.如圖， ABC中，正方形DEFG的頂點D，G分別在AB，AC上，頂點E，F(xiàn)在BC上．若△ADG、△BED、△CFG的面積分別是1、3、1，則正方形的邊長為（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????D.?2
【答案
8、】C
【解析】 ：過A作AM⊥BC于M，交DG于N，
設(shè)正方形DEFG的邊長是a，AN=b，
∵四邊形DEFG是正方形，
∴DG=GF=EF=DE=MN=a，DG∥BC，
∵S△ADG=1，S△BDE=3，S△FCG=1，
∴S△ADG=ab=1，即a=
S△BDE=BE?a=3，S△FCG=CF?a=1，
∴BE=3b，CF=b，
∴BC=3b+a+b=4b+a，AM=a+b
∴BCAM=（4b+a）（a+b）=4b2+5ab+a2
∴S△ADG+S△BED+S△CFG=1+3+1=5
∴ab=2，
∵S正方形DEFG=S△ABC?(S△ADG+S△BDE+
9、S△CFG)=a2
BCAM-5=a2
（4b2+5ab+a2）-5=a2
∵ab=2
（4b2+10+a2）-5=a2
∴a=2b（取正），
∴2b2=2
解之：b=1（取正）
∴a=2×1=2
即正方形的邊長是2，【分析】過A作AM⊥BC于M，交DG于N，設(shè)正方形DEFG的邊長是a，AN=b，根據(jù)已知及三角形的面積公式，可得出ab=2，用含b的代數(shù)式分別表示出BE、CF、AM、BC的長，再根據(jù)S正方形DEFG=S△ABC?(S△ADG+S△BDE+S△CFG)=a2 ， 得出a=2b，結(jié)合ab=2，求出a、b的值即可求解。
7.如圖，點P為⊙O外一點,PA為⊙0的切線
10、,A為切點,PO交⊙0于點B，∠P=30°,OB=3,則線段BP的長為（?? ）.
A.?3??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?6??????????????????????????????????????????D.?9
【答案】A
【解析】 ：連接OA
∵PA為⊙0的切線
∴OA⊥AP
∴∠OAP=90°
∵∠P=30°
∴OP=OB+BP=2OA=2OB=6
∴BP=3
故答案為：A
【分析】已知圓的切線。因此連
11、半徑OA，可證得△OAP是直角三角形，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，就可求出BP的長。
8.如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠B=40°，AC邊的垂直平分線交BC于點E，連接AE，則∠BAE的度數(shù)是（?? ）
A.?45°???????????????????????????????????????B.?50°???????????????????????????????????????C.?55°???????????????????????????????????????D.?60°
【答案】D
【解析】 ∵AB=AC，∠B=40°，
∴∠B=∠C=40°，
12、
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=100°，
又∵AC邊的垂直平分線交BC于點E，
∴AE=CE，
∴∠CAE=∠C=40°，
∴∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=60°．
故答案為：D．
【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C=40°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=100°，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得AE=CE，所以由等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAE=∠C=40°，所以∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=60°．
9.在矩形ABCD中，AC，BD相交于O，AE⊥BD于E，OF⊥AD于F，若BE：ED=1：3，OF=3cm，則BD的長是（?? ）cm．
13、
A.?6??????????????????????????????????????????B.?8??????????????????????????????????????????C.?10??????????????????????????????????????????D.?12
【答案】D
【解析】 ∵ABCD是矩形，
∴BO=OD=OA．
∵BE：ED=1：3，
∴BE=EO．
又AE⊥BD，
∴OB=OA=AB．
∴∠ABD=60°．
∴∠FDO=30°
∵OF⊥AD，OF=3，
∴OD=6．
∴BD=2?OD=12．故答案為：D．
14、
【分析】先證得三角形ABO為等邊三角形，從而解得∠BAO=60o，即∠ODA=∠OAD=30o，進而解直角三角形OFD求得OD=6，即可求得BD=12.
10.如圖，點D在△ABC的邊AB的延長線上，DE∥BC，若∠A＝35°,∠C＝24°,則∠D的度數(shù)是（?? ）。
A.?24°???????????????????????????????????????B.?59°???????????????????????????????????????C.?60°???????????????????????????????????????D.?69°
【答案】B
【解析】 ：∵
15、∠A=35°，∠C=24°，∴∠DBC=∠A+∠C=35°+24°=59°，
又∵DE∥BC，
∴∠D=∠DBC=59°.
故答案為：B.
【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠DBC=∠A+∠C，再由平行線性質(zhì)得∠D=∠DBC.
11.如圖，等邊三角形 邊長是定值，點 是它的外心，過點 任意作一條直線分別交 ， 于點 ， ，將 沿直線 折疊，得到 ，若 ， 分別交 于點 ， ，連接 ， ，則下列判斷錯誤的是（?? ）
A.????????????????????????????????????????????????B.?的周長是一個定值
C.?四邊形 的面積是一個定值??????
16、????????????????D.?四邊形 的面積是一個定值
【答案】D
【解析】 ：A、連結(jié)OA、OC，
∵點O是等邊三角形ABC的外心，
∴AO平分∠BAC，
∴點O到AB、AC的距離相等，
由折疊得：DO平分∠BDB'，
∴點O到AB、DB'的距離相等，
∴點O到DB'、AC的距離相等，
∴FO平分∠DFG，
∠DFO=∠OFG=（∠FAD+∠ADF），
由折疊得：∠BDE=∠ODF=（∠DAF+∠AFD），
∴∠OFD+∠ODF=（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）=120°，
∴∠DOF=60°，
同理可得∠EOG=60°，
∴∠FOG=
17、60°=∠DOF=∠EOG,
∴△DOF≌△GOF≌△GOE
∴OD=OG,OE=OF,
∠OGF=∠ODF=∠ODB,∠OFG=∠OEG=∠OEB，
∴△OAD≌△OCG,△OAF≌△OCE,
∴AD=CG,AF=CE,
∴△ADF≌△CGE.
故A不符合題意；
B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE,
∴DF=GF=GE,
∴△ADF≌△B'GF≌△CGE,
∴B'G=AD,
∴△B'FG的周長-FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC（定值），
故B不符合題意；
C、S四邊形FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△OAF=S△AOC=S△ABC（定值
18、），
故C不符合題意；
D、S四邊形OGB'F=S△OFG+S△B'GF=S△OFD+S△ADF=S四邊形OFAD=S△OAD+S△OAF=S△OCG+S△OAF=S△OAC-S△OFG,
過點O作OH⊥AC于H，
∴S△OFG=,
由于OH是定值，F(xiàn)G變化，故△OFG的面積變化，從而四邊形OGB'F的面積也變化。
故D符合題意。
故答案為：D【分析】A、根據(jù)等邊三角形ABC的外心的性質(zhì)可知，AO平分∠BAC，根據(jù)角平分線的定理和逆定理得：FO平分∠DFG，由外角的性質(zhì)可證明∠DOF=60°，同理可得∠EOG=60°，∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG，可證明△DOF≌△GOF
19、≌△GOE，△OAD≌△OCG,△OAF≌△OCE,可得AD=CG,AF=CE,從而得△ADF≌△CGE；
B、根據(jù)△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF=GF=GE,所以△ADF≌△B'GF≌△CGE,可得結(jié)論；
C、根據(jù)S四邊形FOEC=S△OCF+S△OCE ， 依次換成面積相等的三角形，可得結(jié)論為：S△AOC=S△ABC（定值），據(jù)此判斷；
D、方法同C，將S四邊形OGB'F=S△OAC-S△OFG,根據(jù)S△OFG=·FG·OH,FG變化，故△OFG的面積變化，從而四邊形OGB'F的面積也變化，據(jù)此判斷；
12.如圖，在 中， ， .以點 為圓心，適當長為半徑畫弧，交 于點 ，
20、交 于點 ，再分別以點 ， 為圓心，大于 的長為半徑畫弧，兩弧相交于點 ，射線 交 的延長線于點 ，則 的長是（?? ）
A.
B.1
C.
D.?
【答案】B
【解析】 ：由射線CN的尺規(guī)作圖的方法可知CN是∠BCD的平分線，則∠BCN=∠DCN．在□ABCD中，AB∥CD，∴∠E=∠DCN=∠BCN，
∴BE=BC=3，
∴AE=BE-AB=3-2=1.
故答案為：B.
【分析】首先由尺規(guī)作圖的步驟可知這是作∠BCD的角平分線CN；由平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，則∠E=∠DCN=∠BCN，由“等角對等邊”可知△BCE是等腰三角形即可求得AE的長度．
二、填
21、空題
13.若一個等腰三角形的頂角等于50°，則它的底角等于________．
【答案】65°
【解析】 ：∵等腰三角形的頂角等于50°，∴它的底角為：（180°-50°）÷2=65°.
故答案為：65°.
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得出答案.
14.在△ABC中, AB=AC,∠BAC=100°,點D在BC邊上,連接AD,若△ABD為直角三角形,則∠ADC的度數(shù)為________.
【答案】90o或130o
【解析】 ：∵AB=AC，∠BAC=100°
∴∠C=∠B=（180°-100°）÷2=40°
如圖1，
當Rt
22、△ABD的∠CAD=90°時
∠ADB=∠C+∠CAD=40°+90°=130°；
如圖2，
Rt△ABD中∠ADB=90°
故答案為：90°或130°
【分析】根據(jù)等邊對等角及三角形的內(nèi)角和定理，可求出∠C的度數(shù)，再分情況討論：當Rt△ABD的∠CAD=90°時，利用三角形外角的性質(zhì)可求出∠ADB的度數(shù)；Rt△ABD中∠ADB=90°；即可求解。
15.如圖，在邊長為4的等邊 中， ， 分別為 ， 的中點， 于點 ， 為 的中點，連接 ，則 的長為________．
【答案】
【解析】 連接DE，
∵D、E分別是AB、BC的中點，
∴DE∥AC，DE= AC
23、
∵ΔABC是等邊三角形，且BC=4
∴∠DEB=60°,DE=2
∵EF⊥AC，∠C=60°,EC=2
∴∠FEC=30°，EF=
∴∠DEG=180°-60°-30°=90°
∵G是EF的中點，
∴EG= .
?在RtΔDEG中，DG= ?
故答案為： .
【分析】連接DE，根據(jù)三角形的中位線定理得出DE∥AC，DE=?AC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)由ΔABC是等邊三角形得出∠DEB=60°,DE=2，根據(jù)含30o直角三角形的邊之間的關(guān)系，及中點定義得出EF的長，進而判斷出ΔDEG是直角三角形，根據(jù)勾股定理得出DG的長。
16.如圖，四邊形ABCD為菱形，E為對角線BD延
24、長線上一點，BD＝4，DE＝1，∠BAE＝45°，則AB長為 ________．
【答案】
【解析】 ：連接AO交BD于O，作BM⊥AE于M，交AC于N．
∵∠BAE=45°，∠BMA=90°，∴∠MAB=∠MBA=45°，∴AM=BM，
∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠AOE=90°，設(shè)AM=BM=b，ME=a，
∵∠E=∠E，∠AOE=∠BME=90°，∴△AOE∽△BME，∴ = ，∴ = ，
∴a2+ab=15???? ①
又∵a2+b2=25??? ②
①×5﹣②×3得到：2a2+5ab﹣3b2=0，∴（a+3b）（2a﹣b）=0，
∴b=2a代入②
25、得到a= ，∴b=2 ，∵AB= AM=2 ．故答案為2 ．
【分析】連接AO交BD于O，作BM⊥AE于M，交AC于N．根據(jù)三角形的內(nèi)角和判斷出∠MAB=∠MBA=45°，根據(jù)等邊對等角得出AM=BM，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC⊥BD，∠AOE=90°，設(shè)AM=BM=b，ME=a，然后判斷出△AOE∽△BME，根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出 O E∶ E M = A E∶ B E，從而得出關(guān)于a,b的方程，a2+ab=15???? ①，根據(jù)勾股定理得出a2+b2=25??? ②，①×5﹣②×3得到：2a2+5ab﹣3b2=0，求解得出，a,b的值，根據(jù)等腰直角三角形邊之間的關(guān)系由AB=?A
26、M得出答案。
17.如圖，在△ABC中，點D，E分別是BC，AC的中點，AB=8，則DE的長為________。
【答案】4
【解析】 ：∵點D，E分別是BC，AC的中點
∴DE是△ABC的中位線
∴DE=AB=×8=4
故答案為：4
【分析】根據(jù)已知可得出DE是△ABC的中位線，再根據(jù)中位線定理，可求出DE的長。
18.如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，AC＝5cm，將△ABC折疊，使點C與A重合，得折痕DE，則△ABE的周長等于________cm.
【答案】7
【解析】 ：依題可得：AE=CE,
在Rt△ABC中，
∵AB＝3cm，
27、AC＝5cm，
∴BC=4,
∴C△ABE=AB+BE+EA=AB+BE+EC=AB+BC=3+4=7，
故答案為：7.
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AE=CE,在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可求得BC長，再根據(jù)三角形周長即可求得答案.
19.如圖，在正方形 中， ，點 ， 分別在 ， 上， ， ， 相交于點 .若圖中陰影部分的面積與正方形 的面積之比為 ，則 的周長為________．
【答案】
【解析】 ：∵陰影部分的面積與正方形 的面積之比為 ，∴空白部分的面積= ?
在△BCE和△CDF中，
?
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴ ，∠BEC=∠CFD，
∴
28、 ，
即 ，
∴ ，
∵∠BEC=∠CFD，∠CFD+∠DCF=90°，
∴∠BEC+∠DCF=90°，
則∠BGC=90°，
在Rt△BCG中，
設(shè)BG=x，CG=y，
則 ?
可得 ，
∴ ，
∴△BCG的周長為BC+BG+CG= ?
故答案為： .
【分析】陰影部分的面積與正方形 的面積之比可求得空白部分的面積，由CE=DF，不難證得△BCE≌△CDF，則可得 ，求得 ；由△BCE≌△CDF，全等三角形的性質(zhì)可證明∠BGC=90°；問題是求△BCE的周長，BC已知，所以只需要求出BG+CG的即可，由三角形面積公式及勾股定理，根據(jù)代數(shù)式的運算求出BG+CG值即可．
29、
20.如圖，在矩形ABCD中，AB=6，E，H分別為AD、CD的中點，沿BE將△ABE折疊，若點A恰好落在BH上的F處，則AD＝________
【答案】
【解析】 ：連接EH．
∵點E、點H是AD、DC的中點，∴AE=ED，CH=DH= CD= AB=3，由折疊的性質(zhì)可得AE=FE，∴FE=DE．在Rt△EFH和Rt△EDH中，∵ ，∴Rt△EFH≌Rt△EDH（HL），∴FH=DH=3，∴BH=BF+FH=AB+DH=6+3=9．在Rt△BCH中，BC= = = ，∴AD=BC= ．故答案為： ．
【分析】連接EH．根據(jù)三角形的中位線定理可得，AE=ED，CH=DH=C
30、D=AB=3，由折疊的性質(zhì)可得AE=FE，所以FE=DE．用斜邊直角邊定理可證得Rt△EFH≌Rt△EDH，所以FH=DH=3，由線段的構(gòu)成可得BH=BF+FH=AB+DH=6+3=9，在Rt△BCH中，由勾股定理可求得BC=
=6=AD.
三、解答題
21.如圖， ， ， 、 相交于點 .求證： .
【答案】解：∵∠A=∠D=90°在Rt△ABC和Rt△DCB中
BC=CB??? AC=DB
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）
∴∠ACB=∠DBC
∴OB=OC
【解析】【分析】根據(jù)直角三角形的全等判定定理，可證得Rt△ABC≌Rt△DCB，得出∠ACB=∠DBC，
31、再根據(jù)等角對等邊，可證得結(jié)論。
22.如圖，點D，C在BF上，AB∥EF，∠A=∠E，BD=CF．求證：AB=EF．
【答案】證明：∵AB∥EF，
∴∠B=∠F．
又∵BD=CF，
∴BC=FD．
在△ABC與△EFD中 ，
∴△ABC≌△EFD（AAS），
∴AB=EF
【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B=∠F．用角角邊可證得△ABC≌△EFD，所以AB=EF。
23.如圖，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝90°，∠DAE＝90°，B，C，D在同一條直線上．求證：BD＝CE.
【答案】證明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴A
32、D＝AE，AB＝AC
又∵∠EAC＝90°＋∠CAD，∠DAB＝90°＋∠CAD，
∴∠DAB＝∠EAC.?
∵在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴BD＝CE.
【解析】【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可證得AD＝AE，AB＝AC，再證明∠DAB＝∠EAC，然后根據(jù)全等三角形的判定方法，證明△ADB≌△AEC，從而可證得結(jié)論。
24.已知：如圖，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E.求證：BC＝ED.
【答案】證明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，
即：∠EAD＝∠BAC.
在△EAD和△BAC中，
∴△ABC
33、≌△AED(ASA)，
∴BC＝ED
【解析】【分析】根據(jù)∠1＝∠2，證得∠EAD＝∠BAC，再利用全等三角形的判定證明△ABC≌△AED，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證得結(jié)論。
25.已知，等邊三角形ABC的邊長為5，點P在線段AB上，點D在線段BC上，且△PDE是等邊三角形．
（1）初步嘗試：若點P與點A重合時（如圖1），BD+BE=________
（2）類比探究：將點P沿AB方向移動，使AP=1，其余條件不變（如圖2），試計算BD+BE的值是多少？
（3）拓展遷移：如圖3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，點P在線段AB的延長線上，點D在線段
34、CB的延長線上，在△PDE中，PD=PE，∠DPE=70°，設(shè)BP=a，請直接寫出線段BD、BE之間的數(shù)量關(guān)系（用含a的式子表示）
【答案】（1）5
（2）解：如圖2，過點P作PF∥AC交BC于F，
∴△FPB是等邊三角形，
∴BF=PF=PB=AB﹣AP=4，∠BPF=60°，
∵△PDE是等邊三角形，
∴PD=PE，∠DPE=60°，
∴∠BPE=∠FPD，
∴△PBE≌△PFD，
∴BE=DF，
∴BD+BE=BD+DF=BF=4；
（3）解：如圖3，過點P作PF∥AC交BC于F，
∴∠BPF=∠BAC=70°，∠PFB=∠C，
∵AB=AC，∠
35、BAC=70°，
∴∠ABC=∠C=55°，
∴∠PFB=∠C=∠PBF=55°，
∴PF=PB=a，
∵∠BPF=∠DPE=70°，
∴∠DPF=∠EPB，
∵PD=PE，
∴△PBE≌△PFD，
∴BE=DF，
過點P作PG⊥BC于G，
∴BF=2BG，
在Rt△BPG中，∠PBD=55°，
∴BG=BP?cos∠PBD=a?cos55°，
∴BF=2BG=2a?cos55°，
∴BD﹣BE=BD﹣DF=BF=2a?cos55°．
【解析】 ：（1）∵△ABC和△PDE是等邊三角形，
∴PE=PD，AB=AC，∠DPE=∠CAB=60°，
∴∠BPE=
36、∠CAD，
∴△PBE≌△ACD，
∴BE=CD，
∴BD+BE=BD+CD=BC=5，
故答案為5；
【分析】（1）由已知條件用邊角邊易證得△PBE≌△ACD，所以可得BE=CD，所以BE+BD=BD+CD=BC ;
（2）由（1）的方法可作輔助線，過點P作PF∥AC交BC于F，將問題轉(zhuǎn)化為（1）的形式，同理可證△PBE≌△PFD，則BE=DF，所以BE+BD=BD+FD=BF;由題意得BF=BC-1=4，問題得解；
（3）由（1）和（2）的思路可作輔助線，過點P作PF∥AC交BC于F，過點P作PG⊥BC于G，根據(jù)已知條件易證得△PBE≌△PFD，BE=DF，則BF=2BG，在Rt△BPG中，解直角三角形即可用含a的代數(shù)式表示BG，則BF=2BG也可用含a的代數(shù)式表示，所以BD﹣BE=BD﹣DF=BF可得結(jié)論。
中考數(shù)學專題復習卷 三角形（含解析）
