2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點強(qiáng)化課二習(xí)題 理 新人教A版(I)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點強(qiáng)化課二習(xí)題 理 新人教A版(I) 一、填空題 1.(xx·泰州一檢)已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且(b－c)(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A，則角B的大小為________. 解析　由正弦定理可知(b－c)(b＋c)＝(a－c)a， ∴b2－c2＝a2－ac，即a2＋c2－b2＝ac. ∵cos B＝＝＝， ∴B＝30°. 答案　30° 2.(xx·南通調(diào)研)在△ABC中，cos A＝，cos B＝，BC＝4，則AB＝________. 解析　∵cos A＝，cos B＝，∴sin A＝，sin B＝

2、， ∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝0， ∴A＋B＝C＝，∴AB＝＝5. 答案　5 3.(xx·蘇北四市模擬)在△ABC中，AC·cos A＝3BC·cos B，且cos C＝，則A＝________. 解析　由題意及正弦定理，得sin Bcos A＝3sin Acos B， ∴tan B＝3tan A，∴0°＜A，B＜90°，又cos C＝，故sin C＝，∴tan C＝2，而A＋B＋C＝180°， ∴tan(A＋B)＝－tan C＝－2，即＝－2，將tan B＝3tan A代入，得＝－2，∴tan A＝1或tan A＝－，而0°＜A＜90°，則

3、A＝45°. 答案　45° 4.(xx·蘇、錫、常、鎮(zhèn)模擬)已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊長，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，則sin C＝________. 解析　由A＋C＝2B，且A＋B＋C＝π，得到B＝， ∴cos B＝，又a＝1，b＝， 根據(jù)余弦定理得：b2＝a2＋c2－2ac·cos B， 即c2－c－2＝0，解得c＝2，c＝－1(舍去)， 又sin B＝，b＝，根據(jù)正弦定理＝得 sin C＝＝＝1. 答案　1 5.(xx·石家莊模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且滿足csin A＝acos C，則sin A＋si

4、n B的最大值是________. 解析　由csin A＝acos C，得sin Csin A＝sin Acos C， 又在△ABC中sin A≠0，所以sin C＝cos C，tan C＝，C∈(0，π)，所以C＝. 所以sin A＋sin B＝sin A＋sin＝sin A＋cos A＝sin，A∈，所以當(dāng)A＝時，sin A＋sin B取得最大值. 答案　 6.(xx·南京調(diào)研)在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，已知a＋c＝2b，sin B＝sin C，則cos A＝________. 解析　由sin B＝sin C，得b＝c， 代入a＋c＝2b，得a＝c

5、， 則由余弦定理得cos A＝ ＝＝. 答案　 7.(xx·廣東卷)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，則b＝________. 解析　因為sin B＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝.又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1. 答案　1 8.(xx·陜西八校聯(lián)考)設(shè)△ABC的三邊長分別為a，b，c，面積為S，且滿足S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，則S的最大值為________. 解析　∵S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8， ∴bcsin A＝2bc－(b2＋c2－a2)＝2bc－2bccos

6、A， 即sin A＋4cos A＝4. 聯(lián)立解得sin A＝， ∴S＝bcsin A＝bc≤×＝， 當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝4時取等號. 答案　 9.(xx·南京月考) 如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，則sin C的值為________. 解析　設(shè)BD＝a，則由題意可得BC＝2a，AB＝AD＝a，在△ABD中，由余弦定理得cos A＝＝＝，所以sin A＝＝. 在△ABC中，由正弦定理得，＝，所以＝，解得sin C＝. 答案　 二、解答題 10.(xx·湖南卷)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝btan A，且B

7、為鈍角. (1)證明：B－A＝； (2)求sin A＋sin C的取值范圍. (1)證明　由a＝btan A及正弦定理， 得＝＝， 所以sin B＝cos A，即sin B＝sin. 又B為鈍角，因此＋A∈，故B＝＋A， 即B－A＝. (2)解　由(1)知， C＝π－(A＋B)＝π－＝－2A＞0， 所以A∈. 于是sin A＋sin C＝sin A＋sin ＝sin A＋cos 2A＝－2sin 2A＋sin A＋1 ＝－2＋. 因為0＜A＜，所以0＜sin A＜， 因此＜－2＋≤. 由此可知sin A＋sin C的取值范圍是. 11.(xx·煙臺一模)在△A

8、BC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝3，b＝5，c＝7. (1)求角C的大??； (2)求sin的值. 解　(1)由余弦定理，得cos C＝＝＝－.∵0＜C＜π，∴C＝. (2)由正弦定理＝，得 sin B＝＝＝， ∵C＝，∴B為銳角， ∴cos B＝＝＝. ∴sin＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝×＋×＝. 12.(xx·江蘇卷) 如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2

9、 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為130 m/min，山路AC長為1 260 m，經(jīng)測量，cos A＝，cos C＝. (1)求索道AB的長； (2)問：乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？ (3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？ 解　(1)在△ABC中，因為cos A＝，cos C＝， 所以sin A＝，sin C＝. 從而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C) ＝sin Acos C＋cos Asin C ＝×＋×＝. 由正弦定理＝，得

10、 AB＝·sin C＝×＝1 040(m). 所以索道AB的長為1 040 m. (2)假設(shè)乙出發(fā)t min后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了(100＋50t)m，乙距離A處130t m， 所以由余弦定理得 d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)× ＝200(37t2－70t＋50)， 由于0≤t≤，即0≤t≤8， 故當(dāng)t＝ min時，甲、乙兩游客距離最短. (3)由正弦定理＝， 得BC＝×sin A＝×＝500(m). 乙從B出發(fā)時，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，還需走710 m才能到達(dá)C. 設(shè)乙步行的速度為v m/min， 由題意得－3≤－≤3， 解得≤v≤， 所以為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3 min，乙步行的速度應(yīng)控制在(單位：m/min)范圍內(nèi).