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1、2022年高考數(shù)學 4 函數(shù)的性質(zhì)知識點復習
一、知識要點
1.判斷(證明)單調(diào)性的方法
(1)定義法.
.取值:在給定區(qū)間上任取,且;
.作差:;
.變形:分解因式、配方;
.判號,得結論.
(2)圖象法.
(3)運算法:
增+增=增;增-減增;減+減=減;減-增=減.
(4)復合法:同增異減.
(5)導數(shù)法:
在區(qū)間,在遞增;
在區(qū)間,在遞減.
(6)配湊法:證明抽象函數(shù)的單調(diào)性.
2.判斷(證明)奇偶性的方法
先看定義域是否關于原點對稱,然后判斷:
(1)定義法.
為奇函數(shù);
為偶函數(shù).
(2)圖象法.
奇函數(shù)圖象關于原點對稱;
偶函
2、數(shù)圖象關于軸對稱.
3.判斷周期性的方法
(1);
(2);
(3);
(4);
(5)函數(shù)圖象有兩條(或以上)的對稱軸,或有兩個(或以上)的對稱中心,則為周期函數(shù),且相鄰兩對稱軸(或對稱中心)之間的距離;
函數(shù)圖象既有對稱軸,又有對稱中心,則為周期函數(shù),且相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離.
4.對稱性
(1)關于直線對稱;
(2)關于點中心對稱.
二、考點演練
題型一:單調(diào)性的應用
1.已知是定義在上的函數(shù),且函數(shù)的圖象關于直線對稱,當時,,其中是的導函數(shù),若,,,則的大小關系是________.
2
3、.設函數(shù)在內(nèi)有定義,對于給定的正數(shù),定義函數(shù):,取,當時,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是________.
題型二:奇偶性的應用
3.已知函數(shù)為奇函數(shù),,則________.
4.已知定義在R上的函數(shù)滿足對,恒成立,,且函數(shù)的圖象關于直線對稱,若,則的取值范圍是________.
題型三:周期性的應用`
5.定義在的偶函數(shù)滿足對,有,且當 時,,若函數(shù) 在上至少有三個零點,則的取值范圍是________.
4、
6.已知偶函數(shù)滿足對,都有,且當時,,則 ________.
題型四:對稱性的應用
7.定義在R上的函數(shù)是減函數(shù),且函數(shù)的圖象關于點中心對稱,若滿足不等式,則當時,的取值范圍是________.
8.設定義域為R的函數(shù)滿足,且在上是增函數(shù),已知滿足,若函數(shù)
在上有4個不同的零點,則所有零點之和為________.
題型五:綜合應用
9.函數(shù)
().
(1)若函數(shù)圖象恒過定點P,且點P關于直
5、線的對稱點在的圖象上,求的值;
(2)當時,設,討論的單調(diào)性;
(3)在(1)的條件下,設,曲線上是否存在兩點P、Q,使(O為原點)是以O為直角頂點的直角三角形,且斜邊的中點在軸上?若存在,求的取值范圍;若不存在,說明理由.
§4.函數(shù)的性質(zhì)
一、知識要點
1.判斷(證明)單調(diào)性的方法
(1)定義法.
.取值:在給定區(qū)間上任取,且;
.作差:;
.變形:分解因式、配方;
.判號,得結論.
(2)圖象法.
(3)運算法:
增+增=增;增-減增;減+減=減;
6、減-增=減.
(4)復合法:同增異減.
(5)導數(shù)法:
在區(qū)間,在遞增;
在區(qū)間,在遞減.
(6)配湊法:證明抽象函數(shù)的單調(diào)性.
2.判斷(證明)奇偶性的方法
先看定義域是否關于原點對稱,然后判斷:
(1)定義法.
為奇函數(shù);
為偶函數(shù).
(2)圖象法.
奇函數(shù)圖象關于原點對稱;
偶函數(shù)圖象關于軸對稱.
3.判斷周期性的方法
(1);
(2);
(3);
(4);
(5)函數(shù)圖象有兩條(或以上)的對稱軸,或有兩個(或以上)的對稱中心,則為周期函數(shù),且相鄰兩對稱軸(或對稱中心)之間的距離;
函數(shù)圖象既有對稱軸,又有對稱中心,則為周期函數(shù),且相鄰的對稱軸與對
7、稱中心之間的距離.
4.對稱性
(1)關于直線對稱;
(2)關于點中心對稱.
二、考點演練
題型一:單調(diào)性的應用
1.已知是定義在上的函數(shù),且函數(shù)的圖象關于直線對稱,當時,,其中是的導函數(shù),若,,,則的大小關系是________.
【解析】因為,所以,令,則,所以,于是,則當時,,所以在遞減.
又因為,即;
,即.
所以,則,即.
由的圖象關于直線對稱,知關于對稱,即為偶函數(shù).
因為,所以,而,所以,即.
綜上得.
2.設函數(shù)在內(nèi)有定義,對于給定的正數(shù),定義函數(shù):,取,當時,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是________.
【解析】作出函數(shù)與的圖象,被壓在下方的圖象即為的圖
8、象.
聯(lián)立方程組,解出交點坐標即可求得遞減區(qū)間為.
題型二:奇偶性的應用
3.已知函數(shù)為奇函數(shù),,則________.
【解析】因為為奇函數(shù),所以,于是,即.
所以
.
令,
則.
兩式相加得,所以.
4.已知定義在R上的函數(shù)滿足對,恒成立,,且函數(shù)的圖象關于直線對稱,若,則的取值范圍是________.
【解析】由關于對稱,得關于對稱,即為偶函數(shù).
由,,得在單調(diào)遞增,所以,解之得.
題型三:周期性的應用
5.定義在上的偶函數(shù)滿足對,有,且當 時,,若函數(shù) 在上至少有三個零點,則的取值范圍是________.
【解析】在中,令,則,所以即
9、是以2為周期的周期函數(shù).
令,則,即的零點個數(shù)即為曲線與的交點個數(shù).
(1)當時,兩圖象不能產(chǎn)生3個交點.
(2)當時,只需,即,即,解之得.
綜上得.
6.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足:對,都有,且當時,,則 ________.
【解析】由,得,
即是周期為6的周期函數(shù).
則
.
題型四:對稱性的應用
7.定義在R上的函數(shù)是減函數(shù),且函數(shù)的圖象關于點中心對稱,若滿足不等式,則當時,的取值范圍是________.
【解析】由的圖象關于點中心對稱,知關于點中心對稱,即為奇函數(shù).
則
,即,即,其兩根為,而,所以.
于是的解集為,即.而,所以,即.
10、
8.設定義域為R的函數(shù)滿足,且在上是增函數(shù),已知滿足,若函數(shù)
在上有4個不同的零點,則所有零點之和為( )
【解析】由,知關于中心對稱,則關于中心對稱,即為上的奇函數(shù).
又由,得,所以關于直線對稱,且是以8為周期的周期函數(shù).
不妨令四個零點分別為,則由圖象得,
所以.
題型五:綜合應用
9.函數(shù)
().
(1)若函數(shù)圖象恒過定點P,且點P關于直線的對稱點在的圖象上,求的值;
(2)當時,設,討論的單調(diào)性;
(3)在(1)的條件下,設,曲線上是否存在兩點P、Q,使(O為原點)是以O為直角頂點的直角三角形,且斜邊的中點在軸上?若存在,求的取值范圍;若不存在,說明理由.
【解析】
當m<0時,在上為增函數(shù);在上為減函數(shù).