九年級數(shù)學(xué) 第3講 二次函數(shù)探究-二次函數(shù)與直角三角形的綜合問題教案

上傳人:xt****7 文檔編號:105334056 上傳時間:2022-06-11 格式:DOC 頁數(shù):12 大小:132.50KB
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1、二次函數(shù)與直角三角形的綜合問題 九年級數(shù)學(xué) 第3講 二次函數(shù)探究-二次函數(shù)與直角三角形的綜合問題教案 知識講解 知識點 二次函數(shù)綜合;勾股定理;相似三角形的性質(zhì); 教學(xué)目標(biāo) 1. 熟練運用所學(xué)知識解決二次函數(shù)綜合問題 2.靈活運用數(shù)形結(jié)合思想 教學(xué)重點 巧妙運用數(shù)形結(jié)合思想解決綜合問題; 教學(xué)難點 靈活運用技巧及方法解決綜合問題; 知識講解 考點2 勾股定理及逆定理 1.定理:直角三角形兩直角邊a,b的平方和等于斜邊c的平方。(即:a2+b2=c2) 2.勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系,是直角三角形的重要性質(zhì)之一,其主要應(yīng)用有: (1)已知直角

2、三角形的兩邊求第三邊 (2)已知直角三角形的一邊和另兩邊的關(guān)系,求直角三角形的另兩邊 (3)利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題 3.逆定理:如果三角形的三邊長:a,b,c,則有關(guān)系a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形。 4.用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形應(yīng)注意: (1)首先確定最大邊,不妨設(shè)最長邊為c。 (2)驗證c2和a2+b2是否具有相等的關(guān)系,若a2+b2=c2,則△ABC是以∠C為直角的直角三角形。 考點3 探究直角三角形的一般思路 探究直角三角形的存在性問題時,具體方法如下: (1)先假設(shè)結(jié)論成立,根據(jù)直角頂點的不確定性,分情況討論

3、; (2)找點:當(dāng)所給定長未說明是直角三角形的斜邊還是直角邊時,需分情況討論,具體方法如下: ①當(dāng)定長為直角三角形的直角邊時,分別以定長的某一端點作定長的垂線,與數(shù)軸或拋物線有交點時,此交點即為符合條件的點; ②當(dāng)定長為直角三角形的斜邊時,以此定長為直徑作圓,圓弧與所求點滿足條件的數(shù)軸或拋物線有交點時,此交點即為符合條件的點; (3)計算:把圖形中的點坐標(biāo)用含有自變量的代數(shù)式表示出來,從而表示出三角形的各個邊(表示線段時,注意代數(shù)式的符號)。再利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式,或者利用勾股定理進行計算,或者利用三角函數(shù)建立方程求點坐標(biāo)。例題精析 例1 如圖,已知拋物線y=x2+bx+

4、c與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側(cè)),與y軸交于點C(0,-3),對稱軸是直線x=1,直線BC與拋物線的對稱軸交于點D. (1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式; (2)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式; (3)點E為y軸上一動點,CE的垂直平分線交CE于 點F,交拋物線于P、Q兩點,且點P在第三象限. ①當(dāng)線段時,求tan∠CED的值; ②當(dāng)以C、D、E為頂點的三角形是直角三角形時,請 直接寫出點P的坐標(biāo). 例2如圖,直線和x軸、y軸的交點分別為B、C,點A的坐標(biāo)是(-2,0). (1)試說明△ABC是等腰三角形; (2)動點M從A出發(fā)沿x軸向點B運動,同時動點N從點B出發(fā)沿線段B

5、C向點C運動,運動的速度均為每秒1個單位長度.當(dāng)其中一個動點到達(dá)終點時,他們都停止運動.設(shè)M運動t秒時,△MON的面積為S. ① 求S與t的函數(shù)關(guān)系式; ② 設(shè)點M在線段OB上運動時,是否存在S=4的情形? 若存在,求出對應(yīng)的t值;若不存在請說明理由; ③在運動過程中,當(dāng)△MON為直角三角形時,求t的值. 例3如圖,矩形OABC中,點O為原點,點A的坐標(biāo)為(0,8),點C的坐標(biāo)為(6,0).拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點,與AB邊交于點D. (1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式; (2)點P為線段BC上一個動點(不與點C重合),點Q為線段AC上一個動點,AQ=CP,

6、連接PQ,設(shè)CP=m,△CPQ的面積為S. ①求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式,并求出m為何值時,S取得最大值; ②當(dāng)S最大時,在拋物線y=﹣x2+bx+c的對稱軸l上若存在點F,使△FDQ為直角三角形,請直接寫出所有符合條件的F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 例4如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點A的坐標(biāo)是(4,0),并且OA=OC=4OB,動點P在過A,B,C三點的拋物線上. (1)求拋物線的解析式; (2)是否存在點P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標(biāo);若不存在,說明理由; (3)過動點P作PE垂直于y軸于點E,交直線AC于點D,過點

7、D作y軸的垂線.垂足為F,連接EF,當(dāng)線段EF的長度最短時,求出點P的坐標(biāo). 課程小結(jié) 有針對性的對勾股定理、相似三角形的性質(zhì)及二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識進行復(fù)習(xí),有助于為研究二次函數(shù)與直角三角形的綜合問題提供有利的依據(jù)。在探究二次函數(shù)與直角三角形的綜合問題時,抓住已有的信息及條件在函數(shù)圖像中構(gòu)造出直角三角形,并能運用直角三角形的性質(zhì)解決問題,掌握此類問題的解題思路及技巧是解決問題的關(guān)鍵。 例1【規(guī)范解答】 (1)設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為,代入點C(0,-3),得.所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為. (2)由,知A(-1,0)

8、,B(3,0).設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為,代入點B(3,0)和點C(0,-3),得 解得,.所以直線BC的函數(shù)表達(dá)式為. (3)①因為AB=4,所以.因為P、Q關(guān)于直線x=1對稱,所以點P的橫坐標(biāo)為.于是得到點P的坐標(biāo)為,點F的坐標(biāo)為.所以,. 進而得到,點E的坐標(biāo)為. 直線BC:與拋物線的對稱軸x=1的交點D的坐標(biāo)為(1,-2). 過點D作DH⊥y軸,垂足為H. 在Rt△EDH中,DH=1,,所以tan∠CED. ②,. 【總結(jié)與反思】 1.第(1)、(2)題用待定系數(shù)法求解析式,它們的結(jié)果直接影響后續(xù)的解題. 2.第(3)題的關(guān)鍵是求點E的坐標(biāo),反復(fù)用到數(shù)形結(jié)合

9、,注意y軸負(fù)半軸上的點的縱坐標(biāo)的符號與線段長的關(guān)系. 3.根據(jù)C、D的坐標(biāo),可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形,這樣寫點E的坐標(biāo)就簡單了. 例2【規(guī)范解答】(1)直線與x軸的交點為B(3,0)、與y軸的交點C(0,4).Rt△BOC中,OB=3,OC=4,所以BC=5.點A的坐標(biāo)是(-2,0),所以BA=5.因此BC=BA,所以△ABC是等腰三角形. (2)①如圖2,圖3,過點N作NH⊥AB,垂足為H.在Rt△BNH中,BN=t,,所以. 如圖2,當(dāng)M在AO上時,OM=2-t,此時.此時0<t≤2. 如圖3,當(dāng)M在OB上時,OM=t-2,此時.此時2<t≤5.

10、 圖2 圖3 ②把S=4代入,得.解得,(舍去負(fù)值).因此,當(dāng)點M在線段OB上運動時,存在S=4的情形,此時. ③如圖4,當(dāng)∠OMN=90°時,在Rt△BNM中,BN=t,BM ,,所以.解得. 如圖5,當(dāng)∠MON=90°時,N與C重合,.不存在∠ONM=90°的可能. 所以,當(dāng)或者時,△MON為直角三角形. 圖4 圖5 【總結(jié)與反思】1.第(1)題說明△ABC是等腰三角形,暗示了兩個動點M、N同時出發(fā),同時到達(dá)終點

11、. 2.不論M在AO上還是在OB上,用含有t的式子表示OM邊上的高都是相同的,用含t的式子表示OM要分類討論. 3.將S=4代入對應(yīng)的函數(shù)解析式,解關(guān)于t的方程. 4.分類討論△MON為直角三角形,不存在∠ONM=90°的可能. 例3【規(guī)范解答】(1)將A、C兩點坐標(biāo)代入拋物線 c=8,, 解得 b=, c=8 ,∴拋物線的解析式為 (2)①∵OA=8,OC=6∴過點Q作QE⊥BC與E點,則 ∴∴∴ ∴當(dāng)m=5時,S取最大值; ②在拋物線對稱軸l上存在點F,使△FDQ為直角三角形,∵拋物線的解析式為的對稱軸為, D的坐標(biāo)為(3,8),Q(3,4), 當(dāng)∠FDQ=90°時

12、,F(xiàn)1( ,8),當(dāng)∠FQD=90°時,則F2( ,4), 當(dāng)∠DFQ=90°時,設(shè)F(,n),則FD2+FQ2=DQ2,即,解得:, ∴F3( ,),F(xiàn)4(,), 滿足條件的點F共有四個,坐標(biāo)分別為 F1( ,8),F(xiàn)2(,4),F(xiàn)3(,),F(xiàn)4(,). 【總結(jié)與反思】 1. 將A、C兩點坐標(biāo)代入拋物線即可求得拋物線的解析式; 2. ①先用m 表示出QE的長度,進而求出三角形的面積S關(guān)于m的函數(shù),化簡為頂點式,便可求出S的最大值; ②直接寫出滿足條件的F點的坐標(biāo)即可,注意不要漏寫. 例4【規(guī)范解答】解:(1)由A(4,0),可知OA=4,∵OA=OC=4OB,∴OA=OC=

13、4,OB=1, ∴C(0,4),B(﹣1,0).設(shè)拋物線的解析式是y=ax2+bx+c,則,解得:, 則拋物線的解析式是:y=﹣x2+3x+4; (2)存在.第一種情況,當(dāng)以C為直角頂點時,過點C作CP1⊥AC,交拋物線于點P1.過點P1作y軸的垂線,垂足是M.∵∠ACP1=90°,∴∠MCP1+∠ACO=90°.∵∠ACO+∠OAC=90°,∴∠MCP1=∠OAC. ∵OA=OC,∴∠MCP1=∠OAC=45°,∴∠MCP1=∠MP1C,∴MC=MP1, 設(shè)P(m,﹣m2+3m+4),則m=﹣m2+3m+4﹣4,解得:m1=0(舍去),m2=2. ∴﹣m2+3m+4=6,即P(2

14、,6). 第二種情況,當(dāng)點A為直角頂點時,過A作AP2,AC交拋物線于點P2,過點P2作y軸的垂線,垂足是N,AP交y軸于點F.∴P2N∥x軸,由∠CAO=45°,∴∠OAP=45°,∴∠FP2N=45°,AO=OF.∴P2N=NF, 設(shè)P2(n,﹣n2+3n+4),則n=(﹣n2+3n+4)﹣1,解得:n1=﹣2,n2=4(舍去),∴﹣n2+3n+4=﹣6, 則P2的坐標(biāo)是(﹣2,﹣6). 綜上所述,P的坐標(biāo)是(2,6)或(﹣2,﹣6); (3)連接OD,由題意可知,四邊形OFDE是矩形,則OD=EF.根據(jù)垂線段最短,可得當(dāng)OD⊥AC時,OD最短,即EF最短.由(1)可知,在直

15、角△AOC中,OC=OA=4,則AC==4,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),D是AC的中點.又∵DF∥OC,∴DF=OC=2,∴點P的縱坐標(biāo)是2.則﹣x2+3x+1=2,解得:x=, ∴當(dāng)EF最短時,點P的坐標(biāo)是:(,0)或(,0). 【總結(jié)與反思】 (1)根據(jù)A的坐標(biāo),即可求得OA的長,則B、C的坐標(biāo)即可求得,然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式; (2)分點A為直角頂點時,和C的直角頂點兩種情況討論,根據(jù)OA=OC,即可列方程求解; (3)據(jù)垂線段最短,可得當(dāng)OD⊥AC時,OD最短,即EF最短,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),D是AC的中點,則DF=OC,即可求得P的縱坐標(biāo),代入二次函數(shù)的解析式,即可求得橫坐標(biāo),得到P的坐標(biāo).

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