2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 層級二 專題六 概率與統(tǒng)計 第3講 概率、隨機變量及其分布教學(xué)案(理)
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1、 (理)第3講 概率、隨機變量及其分布 [考情考向·高考導(dǎo)航] 1.考查古典概型、互斥事件、相互獨立事件、獨立重復(fù)試驗等內(nèi)容,主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),多為容易或中等難度題. 2.對離散型隨機變量的分布列及期望的考查是重點中的“熱點”,重點考查獨立事件的概率,超幾何分布和二項分布的期望等.以解答題的形式出現(xiàn),難度中檔或偏下. [真題體驗] 1.(2017·全國Ⅰ卷)如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖,正方形內(nèi)切圓中的黑色部分 和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱,在正方形內(nèi)隨機取一點,則此點取自黑色部分的概率是( ) A.
2、B. C. D. 解析:B [不妨設(shè)正方形邊長為a.由圖形的對稱性可知,太極圖中黑白部分面積相等,即所各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計算公式得,所求概率為=,選B.] 2.(2018·全國Ⅲ卷)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨立.設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù),DX=2.4,P(X=4)
3、、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間,每天7:30之前到校的概率均為,假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響,且任一同學(xué)每天到校情況相互獨立. (1)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望; (2)設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中,甲同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)恰好多2”,求事件M發(fā)生的概率. 解:(1)因為甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨立,且每天7:30之前到校的概率均為,故X~B,從而P(X=k)=Ck3-k,(k=0,1,2,3.) 所以,隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 隨機變
4、量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=3×=2. (2)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為Y,則Y~B,且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}.由題意知事件{X=3,Y=1}與{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}與{Y=1},事件{X=2}與{Y=0}均相互獨立,從而由(Ⅰ)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=×+×=. [主干整合] 1.概率模型公式及相關(guān)結(jié)論 (1)古典概型的概率公式. P(A)==. (2)幾何概型的概率公式. P(A)=. (3
5、)相互獨立事件同時發(fā)生的概率:若A,B相互獨立,則P(AB)=P(A)·P(B). (4)若事件A,B互斥,則P(A∪B)=P(A)+P(B),P()=1-P(A). 2.獨立重復(fù)試驗與二項分布 如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p,那么它在n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.用X表示事件A在n次獨立重復(fù)試驗中發(fā)生的次數(shù),則X服從二項分布,即X~B(n,p)且P(X=k)=Cpk(1-p)n-k. 3.超幾何分布 在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,則P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=mi
6、n{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,此時稱隨機變量X服從超幾何分布.超幾何分布的模型是不放回抽樣,超幾何分布中的參數(shù)是M,N,n. 4.離散型隨機變量的均值、方差 (1)離散型隨機變量ξ的分布列為 ξ x1 x2 x3 … xi … n P p1 p2 p3 … pi … pn 離散型隨機變量ξ的分布列具有兩個性質(zhì);①pi≥0; ②p1+p2+…+pi+…+pn=1(i=1,2,3,…,n). (2)E(ξ)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn為隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望或均值. D(ξ)=(x1-E(ξ))2·p1+(x2-E(
7、ξ))2·p2+…+(xi-E(ξ))2·pi+…+(xn-E(ξ))2·pn叫做隨機變量ξ的方差. (3)數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì). ①E(aξ+b)=aE(ξ)+b,D(aξ+b)=a2D(ξ). ②X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p). ③X服從兩點分布,則E(X)=p,D(X)=p(1-p). 熱點一 古典概型、幾何概型 [例1] (1)(2019·全國Ⅰ卷) 我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成,爻分為陽爻“——”和陰爻“--”,右圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦,則該重卦恰有3個陽爻的概率
8、是( ) A. B. C. D. [解析] A [在所有重卦中隨機取一重卦,其基本事件總數(shù)n=26=64,恰有3個陽爻的基本事件數(shù)為C=20,所以在所有重卦中隨機取一重卦,該重卦恰有3個陽爻的概率P==.故選A.] (2)(2018·全國卷Ⅰ)如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構(gòu)成,三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ,黑色部分記為Ⅱ,其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點,此點取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別記為p1,p2,p3,則( ) A.p1=p2 B.p1=p
9、3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3 [解析] A [法一:∵S△ABC=AB·AC,以AB為直徑的半圓的面積為π·2=AB2,以AC為直徑的半圓的面積為π·2=AC2,以BC為直徑的半圓的面積為π·2=BC2, ∴SⅠ=AB·AC,SⅢ=BC2-AB·AC, SⅡ=-=·AB·AC. ∴SⅠ=SⅡ. 由幾何概型概率公式得p1=,p2=, ∴p1=p2.故選A. 法二:不妨設(shè)△ABC為等腰直角三角形, AB=AC=2,則BC=2, 所以區(qū)域Ⅰ的面積即△ABC的面積, 為S1=×2×2=2, 區(qū)域Ⅱ的面積S2=π×12-=2, 區(qū)域Ⅲ的面積S3=-2=π-2.
10、根據(jù)幾何概型的概率計算公式, 得p1=p2=,p3=, 所以p1≠p3,p2≠p3,p1≠p2+p3,故選A.] 1.求古典概型的概率,關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件總數(shù).常常用到排列、組合的有關(guān)知識,計數(shù)時要正確分類,做到不重不漏. 2.計算幾何概型的概率,構(gòu)成試驗的全部結(jié)果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找是關(guān)鍵,有時需要設(shè)出變量,在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域. (1)(2019·武漢二模)某校選定4名教師去3個邊遠地區(qū)支教(每地至少1人),則甲、乙兩人不在同一邊遠地區(qū)的概率是________. 解析:選定4名教師去3個邊遠地區(qū)支教(每地至少1人),不同的支
11、教方法有C·A種. 而甲、乙兩人在同一邊遠地區(qū)支教的不同方法有C·A種,所以甲、乙兩人不在同一邊遠地區(qū)支教的概率為P=1-=. 答案: (2) (2020·貴陽模擬)折紙已經(jīng)成為開發(fā)少年兒童智力的一種重要工具和手段,已知在折疊“愛心”活動中,會產(chǎn)生如圖所示的幾何圖形,其中四邊形ABCD為正方形,G為線段BC的中點,四邊形AEFG與四邊形DGHI也是正方形,連接EB,CI,則向多邊形AEFGHID中投擲一點,該點落在陰影部分的概率為________. 解析:設(shè)AB=2,則BG=1,AG=, 故多邊形AEFGHID的面積S=××2+×2×2=12; 陰影部分為兩個對稱的三角形,其
12、中∠EAB=90°-∠GAB, 故陰影部分的面積S=2×AE·AB·sin∠EAB=2×AE·AB·cos∠GAB=2××2××=4,故所求概率p=. 答案: 熱點二 互斥事件、相互獨立事件的概率 [例2] (1)(2019·惠州二調(diào))某個部件由兩個電子元件按如圖方式連接而成,元件1或元件2正常工作,則部件正常工作,設(shè)兩個電子元件的使用壽命(單位:小時)均服從正態(tài)分布N(1 000,502),且各個元件能否正常工作相互獨立.那么該部件的使用壽命超過1 000小時的概率為________. [解析] 通解:由正態(tài)分布知元件1,2的平均使用壽命為1 000小時,設(shè)元件1,2的使用壽命
13、超過1 000小時分別記為事件A,B顯然P(A)=P(B)=,所以該部件的使用壽命超過1 000小時的事件為A+B+AB,所以其概率P=×+×+×=. 優(yōu)解:由兩個電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布N(1 000,502)得:兩個電子元件的使用壽命超過1 000小時的概率均為P=,則該部件使用壽命超過1 000小時的概率為:P1=1-(1-P)2=. [答案] (2)(2019·蘇州三模)現(xiàn)有4個人去參加春節(jié)聯(lián)歡活動,該活動有甲、乙兩個項目可供參加者選擇,為增加趣味性,約定:每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個項目聯(lián)歡,擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲項目聯(lián)歡,擲出點數(shù)大于2的人
14、去參加乙項目聯(lián)歡. ①求這4人中恰好有2人去參加甲項目聯(lián)歡的概率; ②求這4人中去參加甲項目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項目聯(lián)歡的人數(shù)的概率. [解] 依題意,這4個人中,每個人去參加甲項目聯(lián)歡的概率為,去參加乙項目聯(lián)歡的概率為.設(shè)“這4個人中恰好有i人去參加甲項目聯(lián)歡”為事件Ai(i=0,1,2,3,4),則P(Ai)=Ci·4-i. ①這4個人中恰好有2人去參加甲項目聯(lián)歡的概率P(A2)=C2×2=. ②設(shè)“這4個人中去參加甲項目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項目聯(lián)歡的人數(shù)”為事件B,則B=A3∪A4,故P(B)=P(A3)+P(A4)=C3×+C4=. ∴這4個人中去參加甲項目聯(lián)歡的人數(shù)大
15、于去參加乙項目聯(lián)歡的人數(shù)的概率為. 求復(fù)雜事件概率的方法及注意點 (1)直接法:正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成,將復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件或幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件或獨立重復(fù)試驗問題,然后用相應(yīng)概率公式求解. (2)間接法:當(dāng)復(fù)雜事件正面情況較多,反面情況較少時,可利用其對立事件進行求解.對于“至少”“至多”等問題往往也用這種方法求解. (3)注意點:注意辨別獨立重復(fù)試驗的基本特征:①在每次試驗中,試驗結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況;②在每次試驗中,事件發(fā)生的概率相同. (2019·全國Ⅱ卷)11分制乒乓球比賽,每贏一球得1分,當(dāng)某局打成10∶10平后,每球交換
16、發(fā)球權(quán),先多得2分的一方獲勝,該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進行單打比賽,假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨立.在某局雙方10∶10平后,甲先發(fā)球,兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束. (1)求P(X=2); (2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率. 解:(1)X=2就是10∶10平后,兩人又打了2個球該局比賽結(jié)束,則這2個球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5. (2)X=4且甲獲勝,就是10∶10平后,兩人又打了4個球該局比賽結(jié)束,且這4個球的得分情況為:前兩球是甲、乙各得1分,后兩
17、球均為甲得分. 因此所求概率為[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1. 熱點三 離散型隨機變量的分布列 數(shù)據(jù) 分析 素養(yǎng) 數(shù)據(jù)分析——分布列問題中的核心素養(yǎng) 通過求離散型隨機變量的分布列,進行數(shù)據(jù)分析,可以明確變量取哪些值時的概率最大,可以幫助我們作出有益的決策. 以統(tǒng)計圖表為背景的隨機變量的分布列均值 [例3-1] (2020·聊城調(diào)研)某超市計劃月訂購一種冰激凌,每天進貨量相同,進貨成本每桶5元,售價每桶7元,未售出的冰激凌以每桶3元的價格當(dāng)天全部處理完畢,根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫
18、不低于25,需求量600桶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為400桶;如果最高氣溫低于20,需求量為200桶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表: 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率. (1)求六月份這種冰激凌一天需求量X(單位:桶)的分布列. (2)設(shè)六月份一天銷售這種冰激凌的利潤為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種冰激凌一天的進貨量n(單位:桶
19、)為多少時,Y的數(shù)學(xué)期望取得最大值? [審題指導(dǎo)] (1)要求冰激凌一天需求量X的分布列,只要確定X的取值及其對應(yīng)事件的含義,然后用頻率估計概率. (2)要求Y的數(shù)學(xué)期望,只要明確X與Y的關(guān)系,借助X的分布列,得到Y(jié)的期望. [解析] (1)由已知得:X的可能取值為200,400和600.記六月份最高氣溫低于20為事件A1,最高氣溫位于區(qū)間[20,25)為事件A2,最高氣溫不低于25為事件A3,根據(jù)題意,結(jié)合頻數(shù)分布表,用頻率估計概率,知 P(X=200)=P(A1)==, P(X=400)=P(A2)==, P(X=600)=P(A3)==. 故六月份這種冰激凌一天的需求量X(
20、單位:桶)的分布列為: X 200 400 600 P (2)結(jié)合題意得當(dāng)n≤200時,E(Y)=2n≤400. 當(dāng)200<n≤400時,E(Y)=×[200×2+(n-200)×(-2)]+×n×2=n+160∈(400,640]. 當(dāng)400<n≤600時,E(Y)=×[200×2+(n-200)×(-2)]+[400×2+(n-400)×(-2)]+×n×2=-n+800∈[560,640). 當(dāng)n>600時,E(Y)=×[200×2+(n-200)×(-2)]+×[400×2+(n-400)×(-2)]+×[600×2+(n-600)×(-2)]=1 760
21、-2n<560. 所以當(dāng)n=400時,Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)取得最大值640. 以復(fù)雜事件為背景的隨機變量的分布列、均值 [例3-2] (2019·青島三模)某快遞公司收取快遞費用的標(biāo)準(zhǔn)是:首重(小于等于1 kg)10元/kg,續(xù)重5元/kg(不足1 kg的按1 kg計算). 該公司對近60天中每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如下表. 包裹件數(shù)范圍 0~100 101~200 201~300 301~400 401~500 包裹件數(shù)(近似處理) 50 150 250 350 450 天數(shù) 6 6 30 12 6 (1)某人打算將A(0.3 kg),B(1.8
22、 kg),C(1.5 kg)三件禮物隨機分成兩個包裹寄出,求該人支付的快遞費不超過30元的概率; (2)該公司從收取的每件快遞的費用中抽取5元作為前臺工作人員的工資和公司利潤,剩余的作為其他費用.前臺工作人員每人每天攬件不超過150件,工資100元,目前前臺有工作人員3人,那么公司將前臺工作人員裁員1人對提高公司利潤是否更有利? [審題指導(dǎo)] (1)借助表格利用列舉法列出所有組合的可能性,然后根據(jù)古典概型的概率計算公式求解即可;(2)建立模型,求出不裁減人員和裁減人員公司利潤的概率分布列,分別求出數(shù)學(xué)期望,比較大小即可得最優(yōu)方案. [解析] (1)由題意,所有可能出現(xiàn)的情況如下表. 情
23、況 包裹一 包裹二 支付的總 快遞費 禮物 重量/kg 快遞費/元 禮物 重量/kg 快遞費/元 1 A 0.3 10 B,C 3.3 25 35 2 B 1.8 15 A,C 1.8 15 30 3 C 1.5 15 A,B 2.1 20 35 所有情況中,快遞費不超過30元的情況有1種, 根據(jù)古典概型概率計算公式,所求概率為. (2)根據(jù)題意得下表. 包裹件數(shù)范圍 0~100 101~200 201~300 301~400 401~500 包裹件數(shù)(近似處理) 50 150 250 350 4
24、50 天數(shù) 6 6 30 12 6 頻率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1 若不裁員,則每天可攬件的上限為450件,公司每日攬件數(shù)情況如下表. 包裹件數(shù)(近似處理) 50 150 250 350 450 實際攬件數(shù) 50 150 250 350 450 頻率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1 平均攬件數(shù) 50×0.1+150×0.1+250×0.5+350×0.2+450×0.1=260. 故公司每日利潤的期望值為260×5-3×100=1 000(元). 若裁員1人,則每天可攬件的上限為300件,公司每日攬件數(shù)
25、情況如下表. 包裹件數(shù)(近似處理) 50 150 250 350 450 實際攬件數(shù) 50 150 250 300 300 頻率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1 平均攬件數(shù) 50×0.1+150×0.1+250×0.5+300×0.2+300×0.1=235 故公司每日利潤的期望值為235×5-2×100=975(元). 顯然,975<1 000, 故公司將前臺工作人員裁員1人對提高公司利潤不利. 1.以統(tǒng)計圖表為背景的隨機變量分布列問題的關(guān)鍵點 (1)根據(jù)頻率(數(shù))分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等圖表準(zhǔn)確求出隨機事件的頻率,并用之
26、估計相應(yīng)概率. (2)出現(xiàn)多個隨機變量時,應(yīng)注意分析隨機變量之間的關(guān)系,進而由一個隨機變量的分布列推出另一個隨機變量的分布列. 2.以復(fù)雜事件為背景的隨機變量分布列問題的關(guān)鍵點 (1)求離散型隨機變量分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件,然后綜合應(yīng)用各類概率公式求概率. (2)求隨機變量均值與方差的關(guān)鍵是正確求出隨機變量的分布列.若隨機變量服從特殊分布,則可直接使用公式求解. (2020·深圳模擬)某學(xué)校為鼓勵家?;樱c某手機通訊商合作,為教師辦理流量套餐.為了解該校教師手機流量使用情況,通過抽樣,得到100位教師近2年每人手機月平均使用流量L(單位:M)的
27、數(shù)據(jù),其頻率分布直方圖如下: 若將每位教師的手機月平均使用流量分別視為其手機月使用流量,并將頻率視為概率,回答以下問題. (1)從該校教師中隨機抽取3人,求這3人中至多有1人手機月使用流量不超過300 M的概率; (2)現(xiàn)該通訊商推出三款流量套餐,詳情如下: 套餐名稱 月套餐費/元 月套餐流量/M A 20 300 B 30 500 C 38 700 這三款套餐都有如下附加條款:套餐費月初一次性收取,手機使用流量一旦超出套餐流量,系統(tǒng)就自動幫用戶充值200 M流量,資費20元;如果又超出充值流量,系統(tǒng)就再次自動幫用戶充值200 M流量,資費20元,以此類推如
28、果當(dāng)月流量有剩余,系統(tǒng)將自動清零,無法轉(zhuǎn)入次月使用.學(xué)校欲訂購其中一款流量套餐,為教師支付月套餐費,并承擔(dān)系統(tǒng)自動充值的流量資費的75%,其余部分由教師個人承擔(dān),問學(xué)校訂購哪一款套餐最經(jīng)濟?說明理由. 解析:(1)記“從該校隨機抽取1位教師,該教師手機月使用流量不超過300 M”為事件D.依題意,P(D)=(0.000 8+0.002 2)×100=0.3. 從該校教師中隨機抽取3人,設(shè)這3人中手機月使用流量不超過300 M的人數(shù)為X, 則X~B(3,0.3), 所以從該校教師中隨機抽取3人,至多有1人手機月使用流量不超過300 M的概率為P(X=0)+P(X=1)=C×0.30×(1
29、-0.3)3+C×0.3×(1-0.3)2=0.343+0.441=0.784. (2)依題意,從該校隨機抽取1位教師,該教師手機月使用流量L∈(300,500]的概率為(0.002 5+0.003 5)×100=0.6,L∈(500,700]的概率為(0.000 8+0.000 2)×100=0.1. 當(dāng)學(xué)校訂購A套餐時,設(shè)學(xué)校為1位教師承擔(dān)的月費用為X1元,則X1的所有可能取值為20,35,50,且P(X1=20)=0.3,P(X1=35)=0.6,P(X1=50)=0.1, 所以X1的分布為 X1 20 35 50 P 0.3 0.6 0.1 所以E(X1)=20
30、×0.3+35×0.6+50×0.1=32(元). 當(dāng)學(xué)校訂購B套餐時,設(shè)學(xué)校為1位教師承擔(dān)的月費用為X2元,則X2的所有可能取值為30,45,且P(X2=30)=0.3+0.6=0.9,P(X2=45)=0.1, 所以X2的分布列為 X2 30 45 P 0.9 0.1 所以E(X2)=30×0.9+45×0.1=31.5(元). 當(dāng)學(xué)校訂購C套餐時,設(shè)學(xué)校為1位教師承擔(dān)的月費用為X3元,則X3的所有可能取值為38,且P(X3=38)=1,所以E(X3)=38×1=38(元). 因為E(X2)<E(X1)<E(X3), 所以學(xué)校訂購B套餐最經(jīng)濟. 限時50分鐘
31、滿分76分 一、選擇題(本大題共6小題,每小題5分,共30分) 1.(2020·西安模擬)勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理,其證明方法有幾百種之多,著名的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”,用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細(xì)證明.如圖,在這幅“勾股圓方圖”中,以弦為邊長得到的正方形ABDE是由4個全等的直角三角形和中間的一個小正方形CFGH組成的.若Rt△ABC的三邊長構(gòu)成等差數(shù)列,則在正方形ABDE內(nèi)任取一點,此點取自小正方形CFGH內(nèi)的概率為( ) A. B. C. D. 解析:C [由于Rt△ABC的三邊長成等差數(shù)列,所以2b=a+c,又a2+
32、b2=c2,于是(2b-c)2+b2=c2,故=,=.大正方形ABDE的面積為c2,小正方形CFGH的面積為(b-a)2,在正方形ABDE內(nèi)任取一點,此點取自小正方形CFGH內(nèi)的概率為=2=.故選C.] 2.(2020·石家莊模擬)《中華好詩詞》是由河北電視臺創(chuàng)辦的令廣大觀眾喜聞樂見的節(jié)目,旨在弘揚中國古代詩詞文化,觀眾可以選擇從A,B,C和河北衛(wèi)視這四家視聽媒體的播放平臺中觀看,若甲乙兩人各自隨機選擇一家播放平臺觀看此節(jié)目,則甲乙二人中恰有一人選擇在河北衛(wèi)視觀看的概率是( ) A. B. C. D. 解析:B [甲、乙兩人從A,B,C和河北衛(wèi)視這四家播放平臺隨機選擇一家有4
33、×4=16(種)等可能情況,其中甲、乙兩人恰有一人選擇在河北衛(wèi)視觀看的情況有C×3=6(種),∴所求概率為=.] 3.某班舉行了一次“心有靈犀”的活動,教師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個同學(xué),這個同學(xué)再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學(xué).若小組內(nèi)同學(xué)甲猜對成語的概率是0.4,同學(xué)乙猜對成語的概率是0.5,且規(guī)定猜對得1分,猜不對得0分,則這兩個同學(xué)各猜1次,得分之和X(單位:分)的數(shù)學(xué)期望為( ) A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.1 解析:A [由題意得X=0,1,2, 則P(X=0)=0.6×0.5=0.3,P(X=1)=0.4×0.5+0.6×0.5
34、=0.5,P(X=2)=0.4×0.5=0.2, 所以E(X)=1×0.5+2×0.2=0.9.] 4.甲、乙、丙三位同學(xué)獨立解決同一個問題,已知三位同學(xué)能夠正確解決這個問題的概率分別為,,,則有人能夠解決這個問題的概率為( ) A. B. C. D. 解析:B [本題主要考查相互獨立事件、互斥事件的概率,考查對立事件的概率公式,考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運算,屬于中檔題.這個問題沒有被解決的概率為=,故有人能夠解決這個問題的概率為1-=.故選B項.] 5.(2019·大連三模)某籃球隊對隊員進行考核,規(guī)則是:①每人進行3個輪次的投籃;②每個輪次每人投籃2次,若至少投
35、中1次,則本輪通過,否則不通過.已知隊員甲投籃1次投中的概率為,如果甲各次投籃投中與否互不影響,那么甲3個輪次通過的次數(shù)X的期望是( ) A.3 B. C.2 D. 解析:B [每個輪次甲不能通過的概率為×=,通過的概率為1-=,因為甲3個輪次通過的次數(shù)X服從二項分布B,所以X的數(shù)學(xué)期望為3×=.] 6.(2020·衡水模擬)某公司為了準(zhǔn)確把握市場,做好產(chǎn)品計劃,特對某產(chǎn)品做了市場調(diào)查:先銷售該產(chǎn)品50天,統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)每天的銷量x(單位:件)分布在[50,100)內(nèi),且銷量x的分布頻率f(x)=若銷量大于或等于70件,則稱該日暢銷,其余為滯銷.在暢銷日中用分層抽樣的方法隨機抽取8
36、天,再從這8天中隨機抽取3天進行統(tǒng)計,設(shè)這3天來自X個組,將頻率視為概率,則隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為( ) A. B. C. D. 解析:C [由題意知解得5≤n≤9,故n可取5,6,7,8,9,代入f(x),得-0.5+-0.5+-a+-a+-a=1,得a=0.15.故銷量在[70,80),[80,90),[90,100)內(nèi)的頻率分別是0.2,0.3,0.3,頻率之比為2∶3∶3,所以各組抽取的天數(shù)分別為2,3,3,X的所有可能取值為1,2,3,P(X=1)===,P(X=3)===,P(X=2)=1--=. X的分布列為 X 1 2 3 P 數(shù)學(xué)期望
37、E(X)=1×+2×+3×=.故選C.] 二、填空題(本大題共2小題,每小題5分,共10分) 7.(2019·全國Ⅰ卷)甲、乙兩隊進行籃球決賽,采取七場四勝制(當(dāng)一隊贏得四場勝利時,該隊獲勝,決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績,甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結(jié)果相互獨立,則甲隊以4∶1獲勝的概率是____________. 解析:甲隊以4∶1獲勝的概率為[C0.6×0.4×0.52+0.62×C0.5×0.5]×0.6=0.18. 答案:0.18 8.(2019·寧波三模)某保險公司針對企業(yè)職工推出一款意外險產(chǎn)品,
38、每年每人只要交少量保費,發(fā)生意外后可一次性獲賠50萬元.保險公司把職工從事的工作共分為A,B,C三類工種,根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計出這三類工種的每年賠付頻率如表所示,并以此估計賠付概率. 工種類別 A B C 賠付頻率 若規(guī)定該產(chǎn)品各工種保單的期望利潤都不得超過保費的20%,則A,B,C三類工種每份保單保費的上限之和為________元. 解析:設(shè)工種A的每份保單保費為a元,保險公司每份保單的利潤為隨機變量X,則X的分布列為 X a a-5×105 P 1- 保險公司期望利潤E(X)=a+(a-5×105)×=(a-5)(元), 根據(jù)規(guī)定知a-5≤0.2a,
39、 解得a≤6.25. 設(shè)工種B的每份保單保費為b元,同理可得保險公司期望利潤為(b-10)元,根據(jù)規(guī)定知,b-10≤0.2b,解得b≤12.5, 設(shè)工種C的每份保單保費為c元,同理可得保險公司期望利潤為(c-50)元,根據(jù)規(guī)定知,c-50≤0.2c,解得c≤62.5. 則A,B,C三類工種每份保單保費的上限之和為6.25+12.5+62.5=81.25(元). 答案:81.25 三、解答題(本大題共3小題,每小題12分,共36分) 9.(2020·長沙模擬)東方商店欲購進某種食品(保質(zhì)期兩天),此商店每兩天購進該食品一次(購進時,該食品為剛生產(chǎn)的).根據(jù)市場調(diào)查,該食品每份進價8
40、元,售價12元,如果兩天內(nèi)無法售出,則食品過期作廢,且兩天內(nèi)的銷售情況互不影響,為了解市場的需求情況,現(xiàn)統(tǒng)計該食品在本地區(qū)100天的銷售量如下表: 銷售量/份 15 16 17 18 天數(shù) 20 30 40 10 (視樣本頻率為概率) (1)根據(jù)該食品100天的銷售量統(tǒng)計表,記兩天中一共銷售該食品份數(shù)為ξ,求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望; (2)以兩天內(nèi)該食品所獲得的利潤期望為決策依據(jù),東方商店一次性購進32或33份, 哪一種得到的利潤更大? 解析:(1)根據(jù)題意可得 P(ξ=30)=×=, P(ξ=31)=××2=, P(ξ=32)=××2+×=, P(ξ=33)
41、=××2+××2=, P(ξ=34)=××2+×=, P(ξ=35)=××2=, P(ξ=36)=×=. ξ的分布列如下: ξ 30 31 32 33 34 35 36 P E(ξ)=30×+31×+32×+33×+34×+35×+36×=32.8. (2)當(dāng)一次性購進32份食品時,設(shè)每兩天的利潤為X,則X的可能取值有104,116,128, 且P(X=104)=0.04,P(X=116)=0.12, P(X=128)=1-0.04-0.12=0.84, ∴E(X)=104×0.04+116×0.12+128×0.84=125.6
42、. 當(dāng)一次性購進33份食品時,設(shè)每兩天的利潤為Y,則Y的可能取值有96,108,120,132. 且P(Y=96)=0.04,P(Y=108)=0.12, P(Y=120)=0.25,P(Y=132)=1-0.04-0.12-0.25=0.59, ∴E(Y)=96×0.04+108×0.12+120×0.25+132×0.59=124.68. ∵E(X)>E(Y), ∴東方商店一次性購進32份食品時得到的利潤更大. 10.(2019·北京卷)改革開放以來,人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來,移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況,從
43、全校學(xué)生中隨機抽取了100人,發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下: 支付金額(元) 支付方式 (0,1 000] (1 000,2 000] 大于2 000 僅使用A 18人 9人 3人 僅使用B 10人 14人 1人 (1)從全校學(xué)生中隨機抽取1人,估計該學(xué)生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率; (2)從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機抽取1人,以X表示這2人中上個月支付金額大于1 000元的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望; (3)已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有
44、變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中,隨機抽查3人,發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2 000元.根據(jù)抽查結(jié)果,能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2 000元的人數(shù)有變化?說明理由. 解析:本題以支付方式相關(guān)調(diào)查來設(shè)置問題,考查概率統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用,考查概率的定義和分布列的應(yīng)用,使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活息息相關(guān). (1)由題意可知,兩種支付方式都使用的人數(shù)為:(100-30-25-5)人=40人,則: 該學(xué)生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率p==. (2)由題意可知, 僅使用A支付方法的學(xué)生中,金額不大于1 000元的人數(shù)占,金額大于1 000的人數(shù)占, 僅使用B支付方法的
45、學(xué)生中,金額不大于1 000元的人數(shù)占,金額大于1 000元的人數(shù)占, 且X可能的取值為0,1,2. P(X=0)=×=,P(X=1)=2+2=,P(X=2)=×=, X的分布列為: X 0 1 2 p(X) 其數(shù)學(xué)期望:E(X)=0×+1×+2×=1. (3)我們不認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2 000元的人數(shù)有變化.理由如下: 隨機事件在一次隨機實驗中是否發(fā)生是隨機的,是不能預(yù)知的,隨著試驗次數(shù)的增多,頻率越來越穩(wěn)定于概率. 學(xué)校是一個相對消費穩(wěn)定的地方,每個學(xué)生根據(jù)自己的實際情況每個月的消費應(yīng)該相對固定,出現(xiàn)題中這種現(xiàn)象可能是發(fā)生了
46、“小概率事件”. 11.(2020·福建質(zhì)檢)“工資條里顯紅利,個稅新政入民心”.隨著2019年新年鐘聲的敲響,我國自1980年以來,力度最大的一次個人所得稅(簡稱個稅)改革迎來了全面實施的階段.2019年1月1日起實施的個稅新政主要內(nèi)容包括:①個稅起征點為5 000元;②每月應(yīng)納稅所得額(含稅)=收入-個稅起征點-專項附加扣除;③專項附加扣除包括住房貸款利息或者住房租金(以下簡稱住房)、子女教育、贍養(yǎng)老人等.新舊個稅政策下每月應(yīng)納稅所得額(含稅)計算方法及其對應(yīng)的稅率表如下: 舊個稅稅率表(個稅起征點3 500元) 新個稅稅率表(個稅起征點5 000元) 繳稅 級數(shù) 每月應(yīng)納
47、稅所得額(含稅)=收入-個稅起征點 稅率(%) 每月應(yīng)納稅所得額(含稅)=收入-個稅起征點-專項附加扣除 稅率(%) 1 不超過1 500元的部分 3 不超過3 000元的部分 3 2 超過1 500元至4 500元的部分 10 超過3 000元至12 000元的部分 10 3 超過4 500元至9 000元的部分 20 超過12 000元至25 000元的部分 20 4 超過9 000元至35 000元的部分 25 超過25 000元至35 000元的部分 25 5 超過35 000元至55 000元的部分 30 超過35 000元至55
48、 000元的部分 30 … … … … … 隨機抽取某市1 000名同一收入層級的IT從業(yè)者的相關(guān)資料,經(jīng)統(tǒng)計分析,預(yù)估他們2019年的人均月收入為24 000元.統(tǒng)計資料還表明,他們均符合住房專項附加扣除;同時,他們每人至多只有一個符合子女教育專項附加扣除的孩子,并且他們之中既不符合子女教育專項附加扣除又不符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除、符合子女教育專項附加扣除但不符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除、符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除但不符合子女教育專項附加扣除、既符合子女教育專項附加扣除又符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除的人數(shù)之比是2∶1∶1∶1;此外,他們均不符合其他專項附加扣除.新個稅政策下該市的專項附加
49、扣除標(biāo)準(zhǔn)為:住房1 000元/月,子女教育每孩1 000元/月,贍養(yǎng)老人2 000元/月等. 假設(shè)該市該收入層級的IT從業(yè)者都獨自享受專項附加扣除,將預(yù)估的該市該收入層級的IT從業(yè)者的人均月收入視為其個人月收入.根據(jù)樣本估計總體的思想,解決如下問題: (1)設(shè)該市該收入層級的IT從業(yè)者2019年月繳個稅為X元,求X的分布列和期望; (2)根據(jù)新舊個稅政策,估計從2019年1月開始,經(jīng)過多少個月,該市該收入層級的IT從業(yè)者各月少繳納的個稅之和就超過其2019年的人均月收入? 解析:(1)既不符合子女教育專項附加扣除又不符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額(含稅)為24 000-
50、5 000-1 000=18 000(元), 月繳個稅X=3 000×3%+9 000×10%+6 000×20%=2 190; 符合子女教育專項附加扣除但不符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額(含稅)為24 000-5 000-1 000-1 000=17 000(元), 月繳個稅X=3 000×3%+9 000×10%+5 000×20%=1 990; 符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除但不符合子女教育專項附加扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額(含稅)為24 000-5 000-1 000-2 000=16 000(元), 月繳個稅X=3 000×3%+9 000×10%+4 000×2
51、0%=1 790. 既符合子女教育專項附加扣除又符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額(含稅)為24 000-5 000-1 000-1 000-2 000=15 000(元), 月繳個稅X=3 000×3%+9 000×10%+3 000×20%=1 590. 所以X的可能值為2 190,1 990,1 790,1 590. 依題意,上述四類人群的人數(shù)之比是2∶1∶1∶1, 所以P(X=2 190)=,P(X=1 990)=, P(X=1 790)=,P(X=1 590)=. 所以X的分布列為 X 2 190 1 990 1 790 1 590 P
52、 所以E(X)=2 190×+1 990×+1 790×+1 590×=1 950. (2)因為在舊個稅政策下該市該收入層級的IT從業(yè)者2019年每月應(yīng)納稅所得額(含稅)為24 000-3 500=20 500(元), 所以其月繳個稅為1 500×3%+3 000×10%+4 500×20%+11 500×25%=4 120(元). 因為在新個稅政策下該市該收入層級的IT從業(yè)者2019年月繳個稅的均值為1 950元, 所以該收入層級的IT從業(yè)者每月少繳納的個稅為4 120-1 950=2 170(元). 設(shè)經(jīng)過x個月,該市該收入層級的IT從業(yè)者各月少繳納的個稅的總和就超過24
53、 000元, 則2 170x>24 000,因為x∈N,所以x≥12. 所以經(jīng)過12個月,該市該收入層級的IT從業(yè)者各月少繳納的個稅的總和就超過2019年的人均月收入. (理)高考解答題·審題與規(guī)范(六) 概率與統(tǒng)計類考題 重在“辨析”、“辨型” 思維流程 概率與統(tǒng)計問題的求解關(guān)鍵是辨別它的概率模型,只要找到模型,問題便迎刃而解.而概率與統(tǒng)計模型的提取往往需要經(jīng)過觀察、分析、歸納、判斷等復(fù)雜的辨析思維過程,同時,還需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件,對立事件等事件間的關(guān)系,注意放回和不放回試驗的區(qū)別,合理劃分復(fù)雜事件. 真題案例 審題指導(dǎo) 審題方法 (12分)(2
54、018·全國Ⅰ卷)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗,如檢驗出不合格品,則更換為合格品.檢驗時,先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗,再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗.設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0
55、產(chǎn)品作檢驗,這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,求EX; (ⅱ)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù),是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗? (1)由每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p,結(jié)合獨立重復(fù)試驗,即可求出20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率f(p),對f(p)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的知識,即可求出f(p)的最大值點p0,注意p的取值范圍;(2)(ⅰ)利用(1)的結(jié)論,設(shè)余下的產(chǎn)品中不合格品的件數(shù)為Y,則Y服從二項分布,利用二項分布的期望公式、Y與X的關(guān)系式求出EX,(ⅱ)求出檢驗余下所有產(chǎn)品的總費用,再與EX比較,即可得結(jié)論. 審圖表、數(shù)據(jù) 題目中的圖表、數(shù)據(jù)包含著問題的基本信息,也往
56、往暗示著解決問題的目標(biāo)和方向.在審題時,認(rèn)真觀察分析圖表、數(shù)據(jù)的特征和規(guī)律,常常可以找到解決問題的思路和方法. 規(guī)范解答 評分細(xì)則 [解析] (1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)=Cp2(1-p)18.2分① 因此f′(p)=C[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2Cp(1-p)17(1-10p)(0<p<1).3分② 令f′(p)=0,得p=0.1.4分③ 當(dāng)p∈(0,0.1)時,f′(p)>0; 當(dāng)p∈(0.1,1)時,f′(p)<0.5分④ 所以f(p)的最大值點為p0=0.1.6分⑤ (2)由(1)知,p=0.1.7分⑥ ①令Y表示余下的1
57、80件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù),依題意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y.9分⑦ 所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490.10分⑧ ②如果對余下的產(chǎn)品作檢驗,則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元. 由于E(X)>400,故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗.12分⑨ 第(1)問踩點得分 ①寫出式子 f(p)=Cp2(1-p)18得2分. ②正確求導(dǎo)得1分. ③求出p=0.1正確得1分,錯誤不得分. ④分析判斷p∈(0,0.1)時, f′(p)>0;當(dāng)p∈(0.1,1)時, f′(p)<0得1分. ⑤確定p0=0.1得1分. 第(2)問踩點得分 ⑥寫出p=0.1得1分. ⑦求出X=40+25Y得2分. ⑧求出期望值正確得1分,錯誤不得分. ⑨得出結(jié)論“應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗”得2分,結(jié)論錯誤不得分. - 23 -
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