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1、2022年高中數學競賽標準教材講義 函數教案
一、基礎知識
定義1 映射，對于任意兩個集合A，B，依對應法則f，若對A中的任意一個元素x，在B中都有唯一一個元素與之對應，則稱f: A→B為一個映射．
定義2 單射，若f: A→B是一個映射且對任意x， y∈A， xy， 都有f(x)f(y)則稱之為單射．
定義3 滿射，若f: A→B是映射且對任意y∈B，都有一個x∈A使得f(x)=y，則稱f: A→B是A到B上的滿射．
定義4 一一映射，若f: A→B既是單射又是滿射，則叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即從B到A由相反的對應法則f-1構成的映射，記作f-1: A→B
2、．
定義5 函數，映射f: A→B中，若A，B都是非空數集，則這個映射為函數．A稱為它的定義域，若x∈A， y∈B，且f(x)=y（即x對應B中的y），則y叫做x的象，x叫y的原象．集合{f(x)|x∈A}叫函數的值域．通常函數由解析式給出，此時函數定義域就是使解析式有意義的未知數的取值范圍，如函數y=3-1的定義域為{x|x≥0，x∈R}.
定義6 反函數，若函數f: A→B（通常記作y=f(x)）是一一映射，則它的逆映射f-1: A→B叫原函數的反函數，通常寫作y=f-1(x). 這里求反函數的過程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后將x， y互換得y=f-1
3、(x)，最后指出反函數的定義域即原函數的值域．例如：函數y=的反函數是y=1-(x0).
定理1 互為反函數的兩個函數的圖象關于直線y=x對稱．
定理2 在定義域上為增（減）函數的函數，其反函數必為增（減）函數．
定義7 函數的性質．
（1）單調性：設函數f(x)在區(qū)間I上滿足對任意的x1， x2∈I并且x1< x2，總有f(x1)f(x2))，則稱f(x)在區(qū)間I上是增（減）函數，區(qū)間I稱為單調增（減）區(qū)間．
（2）奇偶性：設函數y=f(x)的定義域為D，且D是關于原點對稱的數集，若對于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)是奇函數；
4、若對任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，則稱f(x)是偶函數．奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱．
（3）周期性：對于函數f(x)，如果存在一個不為零的常數T，使得當x取定義域內每一個數時，f(x+T)=f(x)總成立，則稱f(x)為周期函數，T稱為這個函數的周期，如果周期中存在最小的正數T0，則這個正數叫做函數f(x)的最小正周期．
定義8 如果實數a
5、)，集合{x|x>a}記作開區(qū)間（a， +∞），集合{x|x≤a}記作半開半閉區(qū)間（-∞，a].
定義9 函數的圖象，點集{(x，y)|y=f(x)， x∈D}稱為函數y=f(x)的圖象，其中D為f(x)的定義域．通過畫圖不難得出函數y=f(x)的圖象與其他函數圖象之間的關系(a，b>0)；（1）向右平移a個單位得到y=f(x-a)的圖象；（2）向左平移a個單位得到y=f(x+a)的圖象；（3）向下平移b個單位得到y=f(x)-b的圖象；（4）與函數y=f(-x)的圖象關于y軸對稱；（5）與函數y=-f(-x)的圖象關于原點成中心對稱；（6）與函數y=f-1(x)的圖象關于直線y=x對稱；
6、（7）與函數y=-f(x)的圖象關于x軸對稱．
定理3 復合函數y=f[g(x)]的單調性，記住四個字：“同增異減”．例如y=， u=2-x在（-∞，2）上是減函數，y=在（0，+∞）上是減函數，所以y=在（-∞，2）上是增函數．
注：復合函數單調性的判斷方法為同增異減．這里不做嚴格論證，求導之后是顯然的．
二、方法與例題
1．數形結合法．
例1 求方程|x-1|=的正根的個數.
x
yx
1
1x
【解】 分別畫出y=|x-1|和y=的圖象，由圖象可知兩者有唯一交點，所以方程有一個正根．
例2 求函數f(x)=的最大值．
【解】 f(x)=，記點P(x
7、， x 2)，A（3，2），B（0，1），則f(x)表示動點P到點A和B距離的差．
因為|PA|-|PA|≤|AB|=，當且僅當P為AB延長線與拋物線y=x2的交點時等號成立．
所以f(x)max=
2.函數性質的應用．
例3 設x， y∈R，且滿足，求x+y.
【解】 設f(t)=t3+1997t，先證f(t)在（-∞，+∞）上遞增．事實上，若a0，所以f(t)遞增．
由題設f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.
例4 奇函數f(x)在
8、定義域（-1，1）內是減函數，又f(1-a)+f(1-a2)<0，求a的取值范圍．
【解】 因為f(x)?是奇函數，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由題設f(1-a)
9、當x∈Ik時，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.
例6 解方程：(3x-1)()+(2x-3)(+1)=0.
【解】 令m=3x-1， n=2x-3，方程化為
m(+1)+n(+1)=0. ①
若m=0，則由①得n=0，但m， n不同時為0，所以m0， n0.
ⅰ)若m>0，則由①得n<0，設f(t)=t(+1)，則f(t)在（0，+∞）上是增函數．又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=
ⅱ)若m<0，且n>0．同理有m+n=0，x=，但與m<0矛盾．
綜上，方程有唯一實數解x=
3.配方法．
例7 求函數y=x+的值
10、域．
【解】 y=x+=[2x+1+2+1]-1
=(+1)-1≥-1=-.
當x=-時，y取最小值-，所以函數值域是[-，+∞）．
4．換元法．
例8 求函數y=(++2)(+1)，x∈[0，1]的值域．
【解】令+=u，因為x∈[0，1]，所以2≤u2=2+2≤4，所以≤u≤2，所以≤≤2，1≤≤2，所以y=，u2∈[+2，8]．
所以該函數值域為[2+，8]．
5．判別式法．
例9 求函數y=的值域．
【解】由函數解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. ①
當y1時，①式是關于x的方程有實根．
所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0，解
11、得≤y≤1.
又當y=1時，存在x=0使解析式成立，
所以函數值域為[，7]．
6．關于反函數．
例10 若函數y=f(x)定義域、值域均為R，且存在反函數．若f(x)在(-∞，+ ∞)上遞增，求證：y=f-1(x)在(-∞，+ ∞)上也是增函數．
【證明】設x1
12、(x)定義域為（-∞，-）∪[-，+∞）；其次，設x1， x2是定義域內變量，且x10，
所以f(x)在（-∞，-）上遞增，同理f(x)在[-，+∞）上遞增．
在方程f(x)=f-1(x)中，記f(x)=f-1(x)=y，則y≥0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x≥0，所以x，y∈[-，+∞）.
若xy，設xy也可得出矛盾．所以x=y.
即f(x)=x，化簡得3x5+2x4-4x-1=0，
即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0，
因為x≥0，所以3x4+5x3+5x2+5x+1>0，所
13、以x=1.
三、基礎訓練題
1．已知X={-1， 0， 1}， Y={-2， -1， 0， 1， 2}，映射f：X→Y滿足：對任意的x∈X，它在Y中的象f(x)使得x+f(x)為偶數，這樣的映射有_______個．
2．給定A={1，2，3}，B={-1，0，1}和映射f：X→Y，若f為單射，則f有_______個；若f為滿射，則f有_______個；滿足f[f(x)] =f(x)的映射有_______個．
3．若直線y=k(x-2)與函數y=x2+2x圖象相交于點（-1，-1），則圖象與直線一共有_______個交點．
4．函數y=f(x)的值域為[]，則函數g(x)=f(x)+的
14、值域為_______．
5．已知f(x)=，則函數g(x)=f[f(x)]的值域為_______．
6．已知f(x)=|x+a|，當x≥3時f(x)為增函數，則a的取值范圍是_______．
7．設y=f(x)在定義域（，2）內是增函數，則y=f(x2-1)的單調遞減區(qū)間為_______．
8．若函數y=(x)存在反函數y=-1(x)，則y=-1(x)的圖象與y=-(-x)的圖象關于直線_______對稱．
9．函數f(x)滿足=1-，則f()=_______．
10. 函數y=， x∈(1， +∞)的反函數是_______．
11．求下列函數的值域：（1）y=; (2)y=;
15、(3)y=x+2; (4) y=
12. 已知定義在R上，對任意x∈R， f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函數，又當x∈[2，3]時，f(x)=x，則當x∈[-2，0]時，求f(x)的解析式．
四、高考水平訓練題
1．已知a∈， f(x)定義域是（0，1]，則g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定義域為_______．
2．設0≤a<1時，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒為正值．則f(x)定義域為_______．
3．映射f: {a， b， c， d}→{1，2，3}滿足10
16、
4．設函數y=f(x)(x∈R)的值域為R，且為增函數，若方程f(x)=x解集為P，f[f(x)]=x解集為Q，則P，Q的關系為：P_______Q（填=、、）．
5．下列函數是否為奇函數：（1）f(x)=(x-1)；（2）g(x)=|2x+1|-|2x-1| ; (3) (x)=；（4）y=
6. 設函數y=f(x)(x∈R且x0)，對任意非零實數x1， x2滿足f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，又f(x)在（0，+∞）是增函數，則不等式f(x)+f(x-)≤0的解集為_______．
7．函數f(x)=，其中P，M為R的兩個非空子集，又規(guī)定f(P)={y|y=f(x)， x∈
17、P}， f(M)={y|y=f(x)， x∈M}，給出如下判斷：①若P∩M=，則f(P) ∩f(M)=；②若P∩M，則f(P) ∩f(M)；③若P∪M=R， 則f(P) ∪f(M)=R；④若P∪MR，則f(P) ∪f(M)R. 其中正確的判斷是_______．
8．函數y=f(x+1)的反函數是y=f-1(x+1)，并且f(1)=3997，則f(xx)= _______．
9．已知y=f(x)是定義域為[-6，6]的奇函數，且當x∈[0，3]時是一次函數，當x∈[3，6]時是二次函數，又f(6)=2，當x∈[3，6]時，f(x)≤f(5)=3．求f(x)的解析式．
10．設a>0，函數f
18、(x)定義域為R，且f(x+a)=，求證：f(x)為周期函數．
11．設關于x的方程2x2-tx-2=0的兩根為α，β（α<β），已知函數f(x)=，（1）求f(α)、f(β)；（2）求證：f(x)在[α，β]上是增函數；（3）對任意正數x1， x2，求證：<2|α-β|.
五、聯賽一試水平訓練題
1．奇函數f(x)存在函數f-1(x)，若把y=f(x)的圖象向上平移3個單位，然后向右平移2個單位后，再關于直線y=-x對稱，得到的曲線所對應的函數是________.
2．若a>0，a1，F(x)是奇函數，則G(x)=F(x)是________（奇偶性）.
3．若=x，則下列等式中
19、正確的有________.①F(-2-x)=-2-F(x)；②F(-x)= ；③F(x-1)=F(x)；④F(F(x))=-x.
4.設函數f：R→R滿足f(0)=1，且對任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，則f(x)=________.
5．已知f(x)是定義在R上的函數，f(1)=1，且對任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5， f(x+1) ≤f(x)+1．若g(x)=f(x)+1-x，則g(xx)= ________.
6. 函數f(x)=的單調遞增區(qū)間是________.
7. 函數f(x)=的奇偶性是：________奇函數，_____
20、___偶函數（填是，非）．
8. 函數y=x+的值域為________.
9．設f(x)=，對任意的a∈R，記V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1， 3]}-min{f(x)-ax|x∈[1， 3]}，試求V(a)的最小值．
10．解方程組： （在實數范圍內）
11．設k∈N+， f: N+→N+滿足：（1）f(x)嚴格遞增；（2）對任意n∈N+， 有f[f(n)]=kn，求證：對任意n∈N+， 都有n≤f(n)≤
六、聯賽二試水平訓練題
1．求證：恰有一個定義在所有非零實數上的函數f，滿足：（1）對任意x≠0， f(x)=x·f；（2）對所有的x≠-y且xy≠0，有f(x)
21、+f(y)=1+f(x+y).
2.設f(x)對一切x>0有定義，且滿足：（?。ゝ(x)在（0，+∞）是增函數；(ⅱ)任意x>0， f(x)f=1，試求f(1).
3. f:[0，1]→R滿足：（1）任意x∈[0， 1]， f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）當x， y， x+y∈[0， 1]時，f(x)+f(y)≤f(x+y)，試求最小常數c，對滿足（1），（2），（3）的函數f(x)都有f(x)≤cx.
4. 試求f(x，y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x>0， y>0)的最小值．
5．對給定的正數p，q∈(0， 1)，有p+q>1≥p2+q2，試求f(x)=(1-x)+在[1-q，p]上的最大值．
6．已知f: (0，1)→R且f(x)=.
當x∈時，試求f(x)的最大值．
7．函數f(x)定義在整數集上，且滿足f(n)=，求f(100)的值．
8．函數y=f(x)定義在整個實軸上，它的圖象在圍繞坐標原點旋轉角后不變．（1）求證：方程f(x)=x恰有一個解；（2）試給出一個具有上述性質的函數．
9．設Q+是正有理數的集合，試構造一個函數f: Q+→Q+，滿足這樣的條件：f(xf(y))=x， y∈Q+.
2022年高中數學競賽標準教材講義 函數教案
