2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 層級二 專題六 概率與統(tǒng)計 第2講 計數(shù)原理 二項式定理教學(xué)案(理)

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1、 (理)第2講 計數(shù)原理 二項式定理 [考情考向·高考導(dǎo)航] 1.以實際生活為背景考查計數(shù)原理,排列與組合的簡單應(yīng)用,以客觀題形式出現(xiàn),難度中檔. 2.考查二項式的通項公式、二項展開式的系數(shù)等簡單問題,以選擇題的形式出現(xiàn),難度低中檔. [真題體驗] 1.(2018·全國Ⅰ卷)從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有________種.(用數(shù)字填寫答案) 解析:當(dāng)有1位女生入選時,有CC=12(種), 當(dāng)有2位女生入選時,有CC=4(種), 由分類加法計數(shù)原理可得不同選法共有12+4=16(種). 答案:16 2.(2017·

2、全國Ⅱ卷)安排3名志愿者完成4項工作,每人至少完成1項,每項工作由1人完成,則不同的安排方式共有(  ) A.12種         B.18種 C.24種 D.36種 解析:D [只能是一個人完成2份工作,剩下2人各完成一份工作.由此把4份工作分成3份再全排得C·A=36.] 3.(2018·全國Ⅲ卷)5的展開式中x4的系數(shù)為(  ) A.10 B.20 C.40 D.80 解析:C [5的第k+1項為Tk+1=C2kx10-3k.令10-3k=4,得k=2.∴x4的系數(shù)為C×22=40.] 4.(2019·全國Ⅲ卷)(1+2x2)(1+x)4的展開式中x3的系數(shù)為( 

3、 ) A.12 B.16 C.20 D.24 解析:A [本題主要考查二項式定理,利用展開式通項公式求展開式指定項的系數(shù).由題意得x3的系數(shù)為C+2C=4+8=12,故選A.] [主干整合] 1.排列與組合公式 (1)A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=. (2)C===. (3)C=C;C=C+C. (4)C=C=C=C. 2.二項式定理 (1)(a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-rbr+…+Cbn,二項展開式的通項Tr+1=Can-rbr. (2)在二項展開式中,C=C(r=0,1,2,…,n). (3)C+C+…+C=2n. (4)相鄰

4、項的二項式系數(shù)的關(guān)系為C+C=C. 熱點一 計數(shù)原理的簡單應(yīng)用 [題組突破] 1.(2019·石家莊質(zhì)檢)五名學(xué)生報名參加四項體育比賽,每人限報一項,則不同的報名方法的種數(shù)為________.五名學(xué)生爭奪四項比賽的冠軍(冠軍不并列),則獲得冠軍的可能性有________種. 解析:五名學(xué)生參加四項體育比賽,每人限報一項,可逐個學(xué)生落實,每個學(xué)生有4種報名方法,共有45種不同的報名方法.五名學(xué)生爭奪四項比賽的冠軍,可對4個冠軍逐一落實,每個冠軍有5種獲得的可能性,共有54種獲得冠軍的可能性. 答案:45;54 2.(2020·大連模擬)現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一

5、道工序,第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人,第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人,則不同的安排方案共有________種. 解析:分兩類:①第一道工序安排甲時有1×1×4×3=12種; ②第一道工序不安排甲有1×2×4×3=24種. ∴共有12+24=36種. 答案:36 3.(2020·百校聯(lián)盟聯(lián)考)某山區(qū)希望小學(xué)為豐富學(xué)生的伙食,教師們在校園附近開辟了如圖所示的四塊菜地,分別種植西紅柿、黃瓜、茄子三種產(chǎn)量大的蔬菜,若這三種蔬菜種植齊全,同一塊地只能種植一種蔬菜,且相鄰的兩塊地不能種植相同的蔬菜,則不同的種植方式共有(  ) 1 2 3 4 A.9種        

6、 B.18種 C.12種 D.36種 解析:B [若種植2塊西紅柿,則他們在13,14或24位置上種植,剩下兩個位置種植黃瓜和茄子,所以共有3×2=6(種)種植方式; 若種植2塊黃瓜或2塊茄子也是3種種植方式,所以一共有6×3=18(種)種植方式.]   (1)在應(yīng)用分類加法計算原理和分步乘法計算原理時,一般先分類再分步,每一步當(dāng)中又可能用到分類加法計數(shù)原理. (2)對于復(fù)雜的兩個原理綜合使用的問題,可恰當(dāng)列出示意圖或表格,使問題形象化、直觀化. 熱點二 排列與組合的應(yīng)用 數(shù)學(xué) 建模 素養(yǎng) 數(shù)學(xué)建?!帕薪M合問題中的核心素養(yǎng) 用排列組合解決實際問題的關(guān)鍵是排列組合模

7、型,將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題,充分體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)建?!钡暮诵乃仞B(yǎng). [例1] (1)(2020·濰坊模擬)中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”,主要指德育:“樂”,主要指美育;“射”和“御”,就是體育和勞動;“書”,指各種歷史文化知識;“數(shù)”,數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),一天課程講座排課有如下要求:“數(shù)”必須排在前三節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰排課,則“六藝”課程講座不同的排課順序共有(  ) A.120種         B.156種 C.188種 D.240種 [解析] A [當(dāng)“數(shù)”排在第一節(jié)時有A·A=48(種)

8、排法,當(dāng)“數(shù)”排在第二節(jié)時有A·A·A=36(種)排法,當(dāng)“數(shù)”排在第三節(jié)時,若“射”和“御”兩門課程排在第一、二節(jié)時有A·A=12(種)排法;若“射”和“御”兩門課程排在后三節(jié)時有A·A·A=24(種)排法,所以滿足條件的共有48+36+12+24=120(種)排法.] (2)(2020·吉林調(diào)研)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人,副隊長1人,普通隊員2人組成4人服務(wù)隊,要求服務(wù)隊中至少有1名女生,共有________種不同的選法.(用數(shù)字作答) [解析] 法一:只有1名女生時,先選1名女生,有C種方法;再選3名男生,有C種方法;然后排隊長、副隊長位置,有A種方法.由分步乘法計數(shù)原理,

9、知共有CCA=480(種)選法. 有2名女生時,再選2名男生,有C種方法;然后排隊長、副隊長位置,有A種方法.由分步乘法計數(shù)原理,知共有CA=180(種)選法.所以依據(jù)分類加法計數(shù)原理知共有480+180=660(種)不同的選法. 法二:不考慮限制條件,共有AC種不同的選法,而沒有女生的選法有AC種. 故至少有1名女生的選法有AC-AC=840-180=660(種). [答案] 660 (3)(2018·浙江卷)從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字,從0,2,4,6中任取2個數(shù)字,一共可以組成________個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答) [解析] CCA+CCCA=720+

10、540=1 260. [答案] 1 260 求解排列、組合問題的思路:排組分清,加乘明確;有序排列,無序組合;分類相加,分步相乘. 具體地說,解排列組合的應(yīng)用題,通常有以下途徑 (1)以元素為主體,即先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素. (2)以位置為主體,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置. (3)先不考慮附加條件,計算出排列數(shù)或組合數(shù),再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù). 解答計數(shù)問題多利用分類討論思想.分類應(yīng)在同一標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行,確保“不漏”、“不重”. (1)(2020·福州模擬)福州西湖公園花展期間,安排6位志愿者到4個展區(qū)提供服務(wù),要求甲、乙兩個展區(qū)各安排一

11、個人,剩下的兩個展區(qū)各安排兩個人,不同的安排方案共有(  ) A.90種 B.180種 C.270種 D.360種 解析:B [可分兩步:第一步,甲、乙兩個展區(qū)各安排一個人,有A種不同的安排方案;第二步,剩下兩個展區(qū)各兩個人,有CC種不同的安排方案,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,不同的安排方案的種數(shù)為ACC=180.故選B.] (2)把5件不同產(chǎn)品擺成一排,若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰,且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰,則不同的擺法有________種. 解析:記5件產(chǎn)品為A、B、C、D、E,A、B相鄰視為一個元素,先與D、E排列,有AA種方法;再將C插入,僅有3個空位可選,共有AAC=2×6×3=36種

12、不同的擺法. 答案:36 熱點三 二項式定理的應(yīng)用 與特定項有關(guān)的問題 [例2-1] (1)(2020·揭陽模擬)已知(x+1)5的展開式中常數(shù)項為-40,則a的值為(  ) A.2           B.-2 C.±2 D.4 [解析] C [5展開式的通項公式為 Tk+1=C(ax)5-kk=(-1)ka5-kCx5-2k, 令5-2k=-1,可得k=3, 結(jié)合題意可得(-1)3a5-3C=-40,即10a2=40, ∴a=±2.] (2)(2019·漢中二模)5的展開式中整理后的常數(shù)項為________. [解析] 5=10的通項公式: Tr+1=C(

13、)10-rr=Cx5-r,令5-r=0,解得r=5.所以常數(shù)項=C=252. [答案] 252 展開式中系數(shù)的和 [例2-2] (1)(2020·德州調(diào)研)(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪的項的系數(shù)之和為32,則a=________. [解析] 設(shè)(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5. 令x=1,得(a+1)×24=a0+a1+a2+a3+a4+a5.① 令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.② ①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5)=2×32,∴a=3. [答案] 3 (2)(2019·寧夏二模)

14、已知(ax+b)6的展開式中含x4項的系數(shù)與含x5項的系數(shù)分別為135與-18,則(ax+b)6的展開式中所有項系數(shù)之和為(  ) A.-1 B.1 C.32 D.64 [解析] D [由二項展開式的通項公式可知含x4項的系數(shù)為Ca4b2,含x5項的系數(shù)為Ca5b,則由題意可得解得a+b=±2,故(ax+b)6的展開式中所有項的系數(shù)之和為(a+b)6=64,故選D.] 與二項式定理有關(guān)的類型及解法 類型 解法 求特定項或其系數(shù) 常采用通項公式分析求解 系數(shù)的和或差 常用賦值法 近似值問題 利用展開式截取部分項求解 整除(或余數(shù))問題 利用展開式求解 (

15、1)(2019·石家莊二模)設(shè)a=sin xdx,則6的展開式中常數(shù)項是(  ) A.-160 B.160 C.-20 D.20 解析:A [依題意得,a==-(cos π-cos 0)=2, 6=6的展開式的通項Tr+1=C·(2)6-rr=C·26-r·(-1)r·x3-r. 令3-r=0,得r=3. 因此6的展開式中的常數(shù)項為C×23×(-1)3=-160,故選A.] (2)(2019·蘭州二模)已知(x2+2x+3y)5的展開式中x5y2的系數(shù)為(  ) A.60 B.180 C.520 D.540 解析:D [(x2+2x+3y)5可看作5個(x2+2x+

16、3y)相乘,從中選2個y,有C種選法;再從剩余的三個括號里邊選出2個x2,最后一個括號選出x,有C·C種選法;所以x5y2的系數(shù)為32C·C·2·C=540.] (3)(2019·煙臺三模)若將函數(shù)f(x)=x5表示為f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5為實數(shù),則a3=________. 解析:f(x)=x5=(1+x-1)5, 它的通項為Tk+1=C(1+x)5-k·(-1)k, T3=C(1+x)3(-1)2=10(1+x)3,∴a3=10. 答案:10 限時40分鐘 滿分80分 一、選擇題(本大題共1

17、2小題,每小題5分,共60分) 1.(2020·濟(jì)寧模擬)從4臺甲型裝載機(jī)和5臺乙型裝載機(jī)中任意取出3臺,在取出的3臺中至少有甲型和乙型裝載機(jī)各一臺,則不同的取法共有(  ) A.84種          B.80種 C.70種 D.35種 解析:C [根據(jù)題意可分為以下2種情況進(jìn)行考慮:(1)甲型裝載機(jī)2臺和乙型裝載機(jī)1臺,取法有CC=30種;(2)甲型裝載機(jī)1臺和乙型裝載機(jī)2臺,取法有CC=40種.所以不同的取法共有30+40=70種.] 2.(2019·唐山二模)用兩個1,一個2,一個0可組成不同四位數(shù)的個數(shù)是(  ) A.18 B.16 C.12 D.9 解析:D

18、 [若把兩個1看作不同的數(shù),先安排0有3種情況,安排第2個數(shù)有3種情況,安排第3個數(shù)有2種情況,安排第4個數(shù)有1種情況,一共有3×3×2×1=18種情況,由于有兩個1,所以其中一半重復(fù),故有9個四位數(shù).] 3.(全國卷Ⅲ)(x+y)(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為(  ) A.-80 B.-40 C.40 D.80 解析:C [由(2x-y)5展開式的通項公式:Tr+1=C(2x)5-r(-y)r可得: 當(dāng)r=3時,x(2x-y)5展開式中x3y3的系數(shù)為C×22×(-1)3=-40 當(dāng)r=2時,y(2x-y)5展開式中x3y3的系數(shù)為C×23×(-1)2=80, 則

19、x3y3的系數(shù)為80-40=40. 本題選擇C選項.] 4.(2020·合肥調(diào)研)用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字且大于3 000的四位數(shù),這樣的四位數(shù)有(  ) A.250個 B.249個 C.48個 D.24個 解析:C [①當(dāng)千位上的數(shù)字為4時,滿足條件的四位數(shù)有A=24(個);②當(dāng)千位上的數(shù)字為3時,滿足條件的四位數(shù)有A=24(個).由分類加法計數(shù)原理得所有滿足條件的四位數(shù)共有24+24=48(個),故選C.] 5.(2020·龍巖模擬)若n的展開式中只有第7項的二項式系數(shù)最大,則展開式中含x2項的系數(shù)是(  ) A.-462 B.462 C.792 D

20、.-792 解析:D [∵n的展開式中只有第7項的二項式系數(shù)最大, ∴n為偶數(shù),展開式共有13項,則n=12. 12的展開式的通項公式為Tk+1=(-1)kC·x12-2k,令12-2k=2,即k=5. ∴展開式中含x2項的系數(shù)是(-1)5C=-792.] 6.(2019·渭南二模)已知n(n∈N*)展開式中所有項的系數(shù)的和為243,則該展開式中含項的系數(shù)為(  ) A.20 B.-20 C.640 D.-640 解析:A [∵n(n∈N*)展開式中所有項的系數(shù)的和為3n=243,∴n=5,故n=5,它的展開式的通項公式為Tr+1=C·(-1)r·45-r·x-.令-=-2

21、,得r=4,∴展開式中含項的系數(shù)為C×4=20.] 7.現(xiàn)有12張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各3張,從中任取3張,要求這3張卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1張,不同的取法種數(shù)是(  ) A.135 B.172 C.189 D.162 解析:C [由題意,不考慮特殊情況有C種取法,其中每一種卡片各取3張有4種取法,兩張紅色卡片共有CC種取法,故所求的取法種數(shù)為C-4-CC=189,選C.] 8.(2020·惠州二調(diào))某地實行高考改革,考生除參加語文、數(shù)學(xué)、英語統(tǒng)一考試外,還需從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理六科中選考三科.學(xué)生甲要想報考某高校的法學(xué)專業(yè),就

22、必須要從物理、政治、歷史三科中至少選考一科,則學(xué)生甲的選考方法種數(shù)為(  ) A.6 B.12 C.18 D.19 解析:D [在物理、政治、歷史中選一科的選法有CC=9(種);在物理、政治、歷史中選兩科的選法有CC=9(種);物理、政治、歷史三科都選的選法有1種.所以學(xué)生甲的選考方法共有9+9+1=19(種),故選D.] 9.(2020·成都診斷)已知x5(x+3)3=a8(x+1)8+a7(x+1)7+…+a1(x+1)+a0,則7a7+5a5+3a3+a1=(  ) A.-16 B.-8 C.8 D.16 解析:B [對x5(x+3)3=a8(x+1)8+a7(x+

23、1)7+…+a1(x+1)+a0兩邊求導(dǎo),得5x4(x+3)3+3x5(x+3)2=8a8(x+1)7+7a7(x+1)6+…+a1,令x=0,得0=8a8+7a7+…+a1,令x=-2,得5×(-2)4×(-2+3)3+3×(-2)5×(-2+3)2=-8a8+7a7+…-2a2+a1,兩式左右分別相加,得-16=2(7a7+5a5+3a3+a1),即7a7+5a5+3a3+a1=-8,選B.] 10.(2020·鄭州模擬)5位大學(xué)畢業(yè)生分配到3家單位,每家單位至少錄用1人,則不同的分配方法共有(  ) A.25種 B.60種 C.90種 D.150種 解析:D [因為5位大學(xué)畢

24、業(yè)生分配到3家單位,每家單位至少錄用1人,所以共有兩種方法:一,一個單位1名,其他兩個單位各2名,有×A=90(種)分配方法;二,一個單位3名,其他兩個單位各1名,有C×A=60(種)分配方法,共有90+60=150(種)分法,故選D.] 11.(2019·江西上饒三模)已知m=3cosdx,則(x-2y+3z)m的展開式中含xm-2yz項的系數(shù)等于(  ) A.180 B.-180 C.-90 D.15 解析:B [由于m=3cosdx=3sin xdx =(-3cos x) =6, 所以(x-2y+3z)m=(x-2y+3z)6=[(x-2y)+3z]6, 其展開式的通項

25、為C(x-2y)6-k(3z)k, 當(dāng)k=1時,展開式中才能含有x4yz項,這時(x-2y)5的展開式的通項為C·x5-S(-2y)S, 當(dāng)S=1時,含有x4y項,系數(shù)為-10, 故(x-2y+3z)6的展開式中含x4yz項的系數(shù)為 C·(-10)×3=-180.] 12.(2019·濰坊三模)為迎接建國七十周年,某校舉辦了“祖國,你好”的詩歌朗誦比賽.該校高三年級準(zhǔn)備從包括甲、乙、丙在內(nèi)的7名學(xué)生中選派4名學(xué)生參加,要求甲、乙、丙這3名同學(xué)中至少有1人參加,且當(dāng)這3名同學(xué)都參加時,甲和乙的朗誦順序不能相鄰,那么選派的4名學(xué)生中不同的朗誦順序的種數(shù)為(  ) A.720 B.76

26、8 C.810 D.816 解析:B [由題意知結(jié)果有三種情況.(1)甲、乙、丙三名同學(xué)全參加,有CA=96(種)情況,其中甲、乙相鄰的有CAA=48(種)情況,所有當(dāng)甲、乙、丙三名同學(xué)全參加時,甲和乙的朗誦順序不能相鄰的有96-48=48(種)情況;(2)甲、乙、丙三名同學(xué)恰有一人參加,不同的朗誦順序有CCA=288(種)情況;(3)甲、乙、丙三名同學(xué)恰有二人參加時,不同的朗誦順序有CCA=432(種)情況.則選派的4名學(xué)生不同的朗誦順序有288+432+48=768(種)情況,故選B.] 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分) 13.從1,3,5,8,9中任取3個數(shù)字

27、,從0,2,7,6中任取2個數(shù)字,一共可以組成________個沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).(用數(shù)字作答) 解析:CCA+CCCA=3 600+2 160=5 760. 答案:5 760 14.(2019·天水二模)(1+x)(1-x)6的展開式中,x3的系數(shù)是________.(用數(shù)字作答) 解析:由題意可知,(1-x)6展開式的通項為 Tr+1=C·16-r·(-x)r=(-1)rC·xr, 則(1+x)(1-x)6的展開式中,含x3的項為(-1)3Cx3+x·(-1)2Cx2=-20x3+15x3=-5x3,所以x3的系數(shù)是-5. 答案:-5 15.(2019·浙江卷)在二項式

28、(+x)9的展開式中,常數(shù)項是________,系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是________. 解析:此類問題解法比較明確,首要的是要準(zhǔn)確記憶通項公式,特別是“冪指數(shù)”不能記混,其次,計算要細(xì)心,確保結(jié)果正確. (+x)9的通項為Tr+1=C()9-rxr(r=0,1,2…9) 可得常數(shù)項為T1=C()9=16, 因系數(shù)為有理數(shù),r=1,3,5,7,9,有T2,T4,T6,T8,T10共5個項. 答案:16 5 16.(2020·甘肅模擬)根據(jù)黨中央關(guān)于“精準(zhǔn)”脫貧的要求,我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)部門決定派出五位相關(guān)專家對三個貧困地區(qū)進(jìn)行調(diào)研,每個地區(qū)至少派遣一位專家,其中甲、乙兩位專家需要派遣至同一地區(qū),則不同的派遣方案種數(shù)為________(用數(shù)字作答). 解析:由題意可知,可分為兩類: 一類:甲乙在一個地區(qū)時,剩余的三位分為兩組,再三組派遣到三個地區(qū),共有CA=18種不同的派遣方式; 另一類:甲乙和剩余的三人中的一個人同在一個地區(qū),另外兩人分別在兩個地區(qū),共有CA=18種不同的派遣方式;由分類加法計數(shù)原理可得,不用的派遣方式共有18+18=36種不同的派遣方式. 答案:36 - 11 -

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