2022年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列章末過關(guān)檢測卷 新人教A版必修5

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列章末過關(guān)檢測卷 新人教A版必修5 一、 選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．有窮數(shù)列{1，23，26，29，…}，那么23n＋6的項(xiàng)數(shù)是(　　) A．3n＋7　　　　　　　　B．3n＋6　　　　　　　　 　C．n＋3　　　　　　　　　D．n＋2 1．解析：此數(shù)列的次數(shù)依次為0，3，6，9，…，3n＋6，為等差數(shù)列，且首項(xiàng)an＝0，公差d＝3，設(shè)3n＋6是第x項(xiàng)，則3n＋6＝0＋(x－1)×3?x＝n＋3. 答案：C 2．已知數(shù)列{an}中a1＝1且滿足an＋1＝an＋2n，n

2、∈N*，則an＝(　　) A．n2＋n＋1　　　 B．n2－n＋1　　　　 C．n2－2n＋2　　　 D．2n2－2n＋1 2．B 3．(xx·廣東六校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－2n，則a2＋a18＝(　　) A．36 B．35 C．34 D．33 3．解析：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，故a2＋a18＝34. 答案：C 4．(xx·黑龍江佳木斯一中三調(diào))數(shù)列{an}定義如下：a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝若an＝，則n的值等于(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 4．解析：因?yàn)閍1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝

3、＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝，a6＝1＋a3＝，a7＝＝，a8＝1＋a4＝4，a9＝＝，所以a9＝，n＝9，故選C. 答案：C 5．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，則a＋2a2a6＋a3a7＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．8－4 5．解析：在等比數(shù)列中，a3a7＝a，a2a6＝a3a5， ∴a＋2a2a6＋a3a7＝a＋2a3a5＋a ＝(a3＋a5)2＝(－1＋＋1)2 ＝(2)2＝8，故選C. 答案：C 6．(xx·遼寧卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，若數(shù)列{2a1an}為遞減數(shù)列，則(　　) A．d＜0 B．d＞0

4、C．a(chǎn)1d＜0 D．a(chǎn)1d＞0 6．解析：因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，則an＝a1＋(n－1)d，∴2a1an＝2a＋a1(n－1)d，又由于{2a1an}為遞減數(shù)列，所以＝2－a1d＞1＝20，∴a1d＜0，故選C. 答案：C 7．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an－1(a是不為0的常數(shù))，則數(shù)列{an}(　　) A．一定是等差數(shù)列 B．一定是等比數(shù)列 C．或是等差數(shù)列或是等比數(shù)列 D．既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 7．C 8．(xx·吉林普通中學(xué)摸底)已知數(shù)列{an}，an＝－2n2＋λn，若該數(shù)列是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(　　) A．(－∞，6) B

5、．(－∞，4] C．(－∞，5) D．(－∞，3] 8．解析：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是關(guān)于n(n∈N*)的二次函數(shù)，若數(shù)列是遞減數(shù)列，則－≤1，即λ≤4. 答案：B 9．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＞0，a＝a＋4，則an＝(　　) A．4n－3　　　　　 B．2n－1　　　　　 C.　　　　　 D. 9．C 10．下列四個(gè)命題： ①若b2＝ac，則a，b，c成等比數(shù)列； ②若{an}為等差數(shù)列，且常數(shù)c>0且c≠1，則數(shù)列{can}為等比數(shù)列； ③若{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{a}為等比數(shù)列； ④非零常數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列． 其中，真命題的

6、個(gè)數(shù)是(　　) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 10．解析：對于①當(dāng)a、b、c都為零時(shí)，命題不成立；②③④成立． 答案：C 11．等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，a1＋a3＋a5 ＝21，則a3＋a5＋a7＝(　　) A．21 B．42 C．63 D．84 11．解析：設(shè)等比數(shù)列公比為q，則a1＋a1q2＋a1q4＝21，又因?yàn)閍1＝3，所以q4＋q2－6＝0，解得q2＝2，所以a3＋a5＋a7＝(a1＋a3＋a5)q2＝42，故選B. 答案：B 12．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－n＋(1－t)，則“t＝1”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的(　　)

7、 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 12．C 二、 填空題 (本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上) 13．在等差數(shù)列{an}中，a1＝3，公差d＝－2，則a1＋a3＋a5＋…＋a99＝ ________． 13．－4 750 14．(xx·廣東卷)若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則ln a1＋ln a2＋……＋ln a20＝________． 14．解析：由題意知a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5， 因此a1·a2…a20＝(a1

8、a20)·(a2·a12)…(a10a11)＝(a10a11)10＝(e5)10＝e50， 因此ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1·a2…a20)＝ln e50＝50. 答案：50 15．(xx·遼寧卷)已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個(gè)根，則S6＝__________. 15．解析：∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩根，且q＞1， ∴a1＝1，a3＝4， 則公比q＝2，因此S6＝＝63. 答案：63 16．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2bx過點(diǎn)(1，2)，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則S2

9、015的值是________． 16．解析：∵函數(shù)f(x)＝x2＋2bx過點(diǎn)(1，2)， ∴1＋2b＝2，解得b＝. ∴f(x)＝x2＋x. ∴＝＝－. ∴Sn＝＋＋…＋＝1－＝. ∴S2 015＝. 答案： 三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分12分)已知等差數(shù)列{an}，a6＝5，a3＋a8＝5. (1)求{an}的通項(xiàng)公式an； (2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝a2n－1，求{bn}的通項(xiàng)公式bn. 17．解析：(1)設(shè){an}的首項(xiàng)是a1，公差為d，依題意得： ∴ ∴an＝5n－25(n∈N*)

10、． (2)由(1)an＝5n－25， ∴bn＝a2n－1＝5(2n－1)－25＝10n－30， ∴bn＝10n－30(n∈N*)． 18．(本小題滿分12分)已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)； (2)求數(shù)列{2an}的前n項(xiàng)和Sn. 18．解析：(1)由題設(shè)知公差d≠0， 由a1＝1，a1，a3，a9成等比數(shù)列得＝， 解得d＝1，d＝0(舍去)． 故{an}的通項(xiàng)an＝1＋(n－1)×1＝n(n∈N*)． (2)由(1)知2an＝2n， 由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得 Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝

11、2n＋1－2. 19．(本小題滿分12分)(xx·大綱全國卷)等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn.已知S3＝a，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，求{an}的通項(xiàng)公式． 19．解析：設(shè){an}的公差為d. 由S3＝a，得3a2＝a，故a2＝0或a2＝3. 由S1，S2，S4成等比數(shù)列得S＝S1S4. 又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d， 故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)． 若a2＝0，則d2＝－2d2，所以d＝0， 此時(shí)Sn＝0，不合題意； 若a2＝3，則(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)， 解得d＝0或d＝2. 因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為a

12、n＝3或an＝2n－1(n∈N*)． 20．(本小題滿分12分)(xx·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋1. (1)證明是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式； (2)證明：＋＋…＋＜. 20．分析：本題第(1)問，證明等比數(shù)列，可利用等比數(shù)列的定義來證明，之后利用等比數(shù)列求出其通項(xiàng)公式；對第(2)問，可先由第(1)問求出，然后轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，放縮法證明不等式． 證明：(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3，所以＝3，所以是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1＋＝，公比為3，所以an＋＝·3n－1，因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an＝(n∈N*)． (2)證明：

13、由(1)知：an＝，所以＝， 因?yàn)楫?dāng)n≥1時(shí)，3n－1≥2·3n－1，所以≤，于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝＜， 所以＋＋…＋＜. 21．(本小題滿分12分)求數(shù)列1，3a，5a2，7a3，…，(2n－1)an－1的前n項(xiàng)和． 21．解析：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，Sn＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝＝n2. (2)當(dāng)a≠1時(shí)， Sn＝1＋3a＋5a2＋…＋(2n－3)an－2＋(2n－1)an－1， aSn＝a＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)an－1＋(2n－1)an，兩式相減，有： (1－a)Sn＝1＋2a＋2a2＋…＋2an－1－(2n－1)an ＝1＋2－(2n－1)an， 此時(shí)Sn＝＋. 綜上，Sn＝ 22．(本小題滿分10分)(xx·大綱全國卷)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝10，a2為整數(shù)，且Sn≤S4. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 22．解析：(1)由a1＝10，a2為整數(shù)，知等差數(shù)列{an}的公差d為整數(shù)，又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0，10＋4d≤0.解得－≤d≤－.因此d＝－3. 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝13－3n(n∈N*)． (2)bn＝＝. 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ ＝＝.