九年級數(shù)學競賽輔導(dǎo)講座 第二十六講 開放性問題評說

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1、九年級數(shù)學競賽輔導(dǎo)講座 第二十六講 開放性問題評說 一個數(shù)學問題的構(gòu)成含有四個要素：題目的條件、解題的依據(jù)、解題的方法、題目的結(jié)論，如果題目所含的四個要素是解題者已經(jīng)知道，或者結(jié)論雖未指明，但它是完全確定的，這樣的問題就是封閉性的數(shù)學問題 開放性問題是相對于封閉性問題而言，從所呈現(xiàn)問題的方式看，有下列幾種基本形式： 1條件開放題 稱條件不充分或沒有確定已知條件的開放性問題為條件開放題，解題時需執(zhí)果尋因，根據(jù)結(jié)論和已有的已知條件，尋找使得結(jié)論成立的其他條件 2結(jié)論開放題 稱結(jié)論不確定或沒有確定結(jié)論的開放性問題為結(jié)論開放題，解題時需由因?qū)Ч?，由已知條件導(dǎo)出相應(yīng)結(jié)論 3判斷性開放題稱判定幾何圖形的形

2、狀大小、圖形的位置關(guān)系、方程(組)的解的情況或判定具有某種性質(zhì)的數(shù)學對象是否存在的開放題問題稱為判斷性開放題，解題的基本思路是：由已知條件及知識作出判斷，然后加以證明【例題求解】【例1】 如圖，O與O1外切于點T，PT為其內(nèi)公切線，AB為其外公切線，且A、B為切點，AB與PT相交于點P，根據(jù)圖中所給出的已知條件及線段，請寫出一個正確結(jié)論，并加以證明 思路點撥 為了能寫出更多的正確結(jié)論，我們可以從以下幾分角度作探索，線段關(guān)系，角的關(guān)系、三角形的關(guān)系及由此推出的相應(yīng)結(jié)論注：明確要求將數(shù)學開放性題作為中考試題，還是近一二年的事情開放性問題沒有明確的目標和解題方向，留有極大的探索空間 解開放性問題，不

3、具有定向的解題思路，解題時總要有合情合理、實事求是的分析，要把歸納與演繹協(xié)調(diào)配合起來，把直覺發(fā)現(xiàn)與邏輯推理相互結(jié)合起來，把一般能力和數(shù)學能力 同時發(fā)揮出來杭州市對本例評分標準是以正確結(jié)論的難易程度為標準靈活打分，分值直接反映考生的能力及創(chuàng)新性 【例2】 如圖，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，A是BD的中點，過A點的切線與CB的延長線交于點E (1)求證：ABDA=COBE； (2)若點E在CB延長線上運動，點A在BD上運動，使切線EA變?yōu)楦罹€EFA，其他條件不變，問具備什么條件使原結(jié)論成立? (要求畫出示意圖，注明條件，不要求證明) 思路點撥 對于(2)，能畫出圖形盡可能畫出圖形，要使結(jié)論AB

4、DA=CDBE成立，即要證ABECDA，已有條件ABE=CDA，還需增加等角條件，這可由多種途徑得到注：許多開放性問題解題思路也是開放的(多角度、多維度思考)，探索的條件或結(jié)論并不惟一故解開放性問題，應(yīng)盡可能深入探究，發(fā)散思維，提高思維的品質(zhì)，切忌入寶山而空返【例3】(1)如圖1，若O1與O2外切于A，BC是O1與O2外公切線，B、C為切點，求證：ABAC (2)如圖2，若O1與O2外離，BC是O1與O2的外公切線，B、C為切點，連心線O1 O2分別交O1、O2于M、N，BM、CN的延長線交于P，則BP與CP是否垂直?證明你的結(jié)論(3)如圖3，若O1與O2相交，BC是O1與O2的公切線，B、C

5、為切點，連心線O1 O2分別交O1、O2于M、N，Q是線段MN上一點，連結(jié)BQ、CQ，則BQ與CQ是否垂直?證明你的結(jié)論思路點撥 本例是在基本條件不變的情況下，通過運動改變兩圓的位置而設(shè)計的，在運動變化中，結(jié)論可能改變或不變，關(guān)鍵是把(1)的證法類比運用到(2)、(3)問題中注：開放性問題還有以下呈現(xiàn)方式： (1)先提出特殊情況進行研究，再要求歸納猜測和確定一般結(jié)論； (2)先對某一給定條件和結(jié)論的問題進行研究，再探討改變條件時其結(jié)論應(yīng)發(fā)生的變化，或改變結(jié)論時其條件相應(yīng)發(fā)生的變化 【例4】 已知直線 (0)與軸、軸分別交于A、C兩點，開口向上的拋物線過A、C兩點，且與軸交于另一點B (1)如果

6、A、B兩點到原點O的距離AO、BO滿足AO3BO，點B到直線AC的距離等于，求這條直線和拋物線的解析式； (2)是否存在這樣的拋物線，使得tanACB=2，且ABC外接圓截得軸所得的弦長等于5？若存在，求出這樣的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由 思路點撥 (1)通過“點B到直線AC的距離等于”，利用等積變換求出A、B兩點的距離；(2)先假設(shè)存在這樣的拋物線，再由條件推理計算求得，最后加以驗證即可注：解存在性開放問題的基本方法是假設(shè)求解法，即假設(shè)存在演繹推理得出結(jié)論(合理或矛盾)【例5】 如圖，這些等腰三角形與正三角形的形狀有差異，我們把它與正三角形的接近程度稱為“正度”在研究“正度”時，應(yīng)

7、保證相似三角形的“正度”相等 設(shè)等腰三角形的底和腰分別為、，底角和頂角分別為、要求“正度”的值是非負數(shù) 同學甲認為：可用式子來表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；同學乙認為：可用式子來表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形 探究：（1）他們的方案哪個較為合理，為什么? (2)對你認為不夠合理的方案，請加以改進(給出式子即可)； （3）請再給出一種衡量“正度”的表達式 思路點撥 通過閱讀，正確理解“正度”這個新概念，同時也要抓住“在研究正度時，應(yīng)保證相似三角形的正度相等”這句話的實質(zhì)，可先采取舉實例加深對“正度”的理解，再判斷方案的合理性并改進方法 注：（1）解結(jié)

8、論開放題往往要充分利用條件進行大膽而合理的猜想，通過觀察、比較、聯(lián)想、猜測、推理和截判斷等探索活動，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論 （2） 閱讀是學習的重要途徑，在這種閱讀型研究性問題中，涌現(xiàn)了許多介紹新的知識和新的研究方法的問題，能極大地開闊我們的視野 （3）研究性學習是課程改革的一個亮點，研究性學習是美國芝加哥大學教授施瓦布在作為探究的科學教學的演講時提出的他主張引導(dǎo)學生直接用科學研究的方式進行教學，即設(shè)定情境、提出問題、分析問題、設(shè)計實驗、驗證假設(shè)、分析結(jié)果、得出結(jié)論研究性問題是近年中考中出現(xiàn)的一種新題型，它要求我們適應(yīng)新情況，通過實踐，增強探究和創(chuàng)新意識，學習科學研究方法學力訓(xùn)練1如圖，是四邊形A

9、BCD的對稱軸，如果ADBC，有下列結(jié)論： ABCD，AB=BC；ABBC；AO=OC 其中正確的是 (把你認為正確的結(jié)論的序號都填上) 2如圖，是一個邊長為的小正方形與兩個長、寬分別為、的小矩形ABCD，則整個圖形可表達出一些有關(guān)多項式分解因式的等式，請你寫出其中任意三個等式： ； ； 3有一個二次函數(shù)的圖象，三位學生分別說出了它的一些特點： 甲：對稱軸是直線； 乙：與軸兩個交點的橫坐標都是整數(shù)； 丙：與軸交點的縱坐標也是整數(shù)，且以這三個交點為頂點的三角形面積為3 請你寫出滿足上述全部特點的一個二次函數(shù)解析式： 4如圖，已知AB為O的直徑，直線與O相切于點D，AC于C，AC交O于點E，DFA

10、B于F (1)圖中哪條線段與BF相等?試證明你的結(jié)論； (2)若AE=3，CD=2，求O的直徑 5在一個服裝廠里有大量形狀為等腰直角三角形的邊角布料(如圖)現(xiàn)找出其中的一種，測得C=90，AC=BC=4，今要從這種三角形中剪出一種扇形，做成不同形狀的玩具，使扇形的邊緣半徑恰好都在ABC的邊上，且扇形的弧與ABC的其他邊相切，請設(shè)計出所有可能符合題意的方案示意圖，并求出扇形的半徑(只要求畫出圖形，并直接寫出扇形半徑) 6如圖，拋物線與x軸交于點A(x1，0)，B(x2，0)( x10AB2，則ABC是銳角三角形；在ABC和AB1C1中，、分別為ABC的三邊，、分別為AB1C1的三邊，若，則ABC

11、的面積大S于AB1C1的面積S1以上三個命題中，真命題的個數(shù)是( ) A0 B1 C2 D39已知：AB是O的直徑，AP、AQ是O的兩條弦，如圖1，經(jīng)過B做O的切線，分別交直線AP、AQ于點M、N可以得出結(jié)論APAMAQAN成立 (1)若將直線向上平行移動，使直線與O相交，如圖2所示，其他條件不變，上述結(jié)論是否成立?若成立，寫出證明，若不成立，說明理由； (2)若將直線繼續(xù)向上平行移動，使直線與O相離，其他條件不變，請在圖3上畫出符合條件的圖形，上述結(jié)論成立嗎?若成立，寫出證明；若不成立，說明理由10如圖，已知圓心A(0，3)， A與軸相切，B的圓心在軸的正半軸上，且B與A外切于點P，兩圓的公

12、切線MP交軸于點M，交軸于點N（1）若sinOAB=，求直線MP的解析式及經(jīng)過M、N、B三點的拋物線的解析式；(2)若A的位置大小不變，B的圓心在軸的正半軸上移動，并使B與A始終外切，過M作B的切線MC，切點為C在此變化過程中探究：四邊形OMCB是什么四邊形，對你的結(jié)論加以證明；經(jīng)過M、N、B點的拋物線內(nèi)是否存在以BN為腰的等腰三角形?若存在，表示出來；若不存在，說明理由 11有一張矩形紙片ABCD，E、F、分別是BC、AD上的點(但不與頂點重合)，若EF將矩形ABCD分成面積相等的兩部分，設(shè)AB=，AD=，BE= (1)求證：AF=EC； (2)用剪刀將該紙片沿直線EF剪開后，再將梯形紙片ABEF沿AB對稱翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底邊重合，一腰落在DC的延長線上，拼接后，下方梯形記作EEBC 當為何值時，直線EE經(jīng)過原矩形的一個頂點? 在直線EE經(jīng)過原矩形的一個頂點的情形下，連結(jié)BE，直線BE與EF是否平行?你若認為平行，請給予證明；你若認為不平行，試探究當與有何種數(shù)量關(guān)系時，它們就垂直? 12(1)證明：若取任意整數(shù)時，二次函數(shù)總?cè)≌麛?shù)值，那么，、都是整數(shù) (2)寫出上述命題的逆命題，且證明你的結(jié)論 13已知四邊形ABCD的面積為32，AB、CD、AC的長都是整數(shù)，且它們的和為16 (1)這樣的四邊形有幾個?(2)求這樣的四邊形邊長的平方和的最小值 參考答案