2019高考高考數學二輪復習 第二部分 第二講 三角函數、解三角形 微專題1 三角函數的圖象與性質學案 理

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1、微專題1　三角函數的圖象與性質 命 題 者 說 考 題 統(tǒng) 計 考 情 點 擊 2018·全國卷Ⅰ·T16·三角函數的最值 2018·全國卷Ⅱ·T10·三角函數的單調性 2018·天津高考·T6·三角函數圖象平移、單調性 2018·北京高考·T11·三角函數的圖象與性質 2018·江蘇高考·T7·三角函數的對稱性 高考對本部分內容的考查主要從以下方面進行： 1.三角函數的圖象，主要涉及圖象變換問題以及由圖象確定函數解析式問題，主要以選擇、填空題的形式考查，有時也會出現大題。 2.三角函數的性質，通常是給出函數解析式，先進行三角變換，將其轉化為y＝Asin(ωx＋φ)的

2、形式再研究其性質(如單調性、值域、對稱性)，或知道某三角函數的圖象或性質求其解析式，再研究其他性質，既有直接考查的客觀題，也有綜合考查的主觀題。 考向一 三角函數的圖象 【例1】　(1)(2018·天津高考)將函數y＝sin的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(　　) A．在區(qū)間上單調遞增 B．在區(qū)間上單調遞減 C．在區(qū)間上單調遞增 D．在區(qū)間上單調遞減 (2)已知函數f(x)＝Asin＋ω(ω>0)的部分圖象如圖所示，則下列選項判斷錯誤的是(　　) A．|MN|＝π B．f＝2 C．f(x)＋f＝1 D．f＝f 解析　(1)把函數y＝sin的圖象向

3、右平移個單位長度得函數g(x)＝sin＝sin2x的圖象，由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝1，得≤x≤，即函數g(x)＝sin2x的一個單調遞增區(qū)間為。故選A。 (2)由圖象，可知A＝＝＝1。因為f(x)max＝1＋ω＝2，所以ω＝1，T＝＝2π，f(x)＝sin＋1，|MN|＝＝π，A正確；f＝sin＋1＝1＋1＝2，B正確；f＝sin＋1＝2，故x＝是函數圖象的對稱軸，D正確；f(x)＋f＝sin＋1＋sin＋1＝sin＋sin＋2＝2，C錯誤。故選C。 答案　(1)A　(2)C (1)函數圖象的平移法則是“左加右減、上加下減

4、”，但是左右平移變換只是針對x作的變換。 (2)已知函數y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的圖象求解析式。 ①A＝，B＝； ②由函數的周期T求ω，即T＝； ③利用“五點法”中相對應的特殊點求φ。 變|式|訓|練 1．函數f(x)＝sin(πx＋θ)的部分圖象如圖所示，且f(0)＝－，則圖中m的值為(　　) A．1 B． C．2 D．或2 解析　由f(0)＝－，得sinθ＝－，因為|θ|<，所以θ＝－。令πx－＝2kπ＋，k∈Z，則x＝2k＋，k∈Z，所以＝2k＋，k∈Z，所以m＝。故選B。 答案　B 2．將函數y＝sin的圖象上所有的點向左平移個

5、單位長度，再把圖象上各點的橫坐標擴大到原來的2倍(縱坐標不變)，則所得圖象對應的函數解析式為(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 解析　將函數y＝sin的圖象上所有的點向左平移個單位長度，可得y＝sin＝sin的圖象，再把圖象上各點的橫坐標擴大到原來的2倍(縱坐標不變)，則所得圖象對應的函數解析式為y＝sin。故選B。 答案　B 考向二 三角函數的性質 微考向1：三角函數的單調性 【例2】　(2018·全國卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是減函數，則a的最大值是(　　) A． B． C． D．π 解析　

6、解法一：因為f(x)＝cosx－sinx＝cos，且函數y＝cosx在區(qū)間[0，π]上單調遞減，則由0≤x＋≤π，得－≤x≤，因為f(x)在[－a，a]上是減函數，所以所以00)，

7、y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的三角函數問題的關鍵。具體問題中，首先將“ωx＋φ”看作一個整體，然后活用相關三角函數的圖象與性質求解。 變|式|訓|練 1．函數f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x在上的單調遞增區(qū)間是(　　) A． B． C． D． 解析　f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x＝sin2x＋1＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋2＝sin＋2。 解法一：令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，則kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間為，k∈Z，所以結合選項知函數

8、f(x)在上的單調遞增區(qū)間為。故選C。 解法二：因為x∈，所以2x＋∈，當<2x＋<時，函數f(x)單調遞增，此時x∈。故選C。 答案　C 2．(2018·豫西南聯(lián)考)已知函數f(x)＝－sin2ωx(ω>0)的圖象關于點M對稱，且在區(qū)間上是單調函數，則ω的值為________。 解析　因為函數f(x)＝－sin2ωx(ω>0)的圖象關于點M對稱，所以－sinω＝0，所以ω＝kπ，k∈Z，即ω＝k，k∈Z。又f(x)在區(qū)間上是單調函數，所以＝≥，即ω≤。又ω>0，所以ω的值為。 答案　 微考向2：三角函數的最值 【例3】　已知函數f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，則(　　)

9、 A．f(x)的最小正周期為π，最大值為3 B．f(x)的最小正周期為π，最大值為4 C．f(x)的最小正周期為2π，最大值為3 D．f(x)的最小正周期為2π，最大值為4 解析　易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝(2cos2x－1)＋＋1＝cos2x＋，則f(x)的最小正周期為π，當x＝kπ(k∈Z)時，f(x)取得最大值，最大值為4。故選B。 答案　B 求三角函數最值的兩條基本思路：(1)將問題化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，結合三角函數的性質或圖象求解；(2)將問題化為關于sinx或cosx的二次函數的形式，借助二次函數的性質

10、或圖象求解。 變|式|訓|練 函數f(x)＝sin2x＋cosx－的最大值是________。 解析　f(x)＝sin2x＋cosx－＝1－cos2x＋cosx－＝－2＋1，cosx∈[0,1]，當cosx＝時，f(x)取得最大值1。 答案　1 微考向3：三角函數的奇偶性、周期性、對稱性 【例4】　(1)已知f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx，則f(x)的最小正周期和一個單調遞減區(qū)間分別為(　　) A．2π， B．π， C．2π， D．π， (2)設函數f(x)＝cos，則下列結論錯誤的是(　　) A．f(x)的一個周期為－2π B．y＝f(x)的圖象關于

11、直線x＝對稱 C．f(x＋π)的一個零點為x＝ D．f(x)在單調遞減 解析　(1)f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x＝sin＋1，則T＝＝π。由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝0得f(x)在上單調遞減。故選B。 (2)函數f(x)＝cos的最小正周期為2π，所以－2π是函數f(x)的一個周期，A正確；當x＝時，x＋＝3π，所以f＝cos＝－1，即f(x)取得最小值，所以y＝f(x)的圖象關于直線x＝對稱，B正確；f(x＋π)＝cos＝cos，當x＝時，f＝cos＝cos＝0，C正確；當x∈時，x＋∈，f(

12、x)在上不具有單調性。故選D。 答案　(1)B　(2)D (1)判斷對稱中心與對稱軸的方法 利用函數y＝Asin(ωx＋φ)的對稱軸一定經過圖象的最高點或最低點，對稱中心一定是函數圖象與x軸的交點這一性質，通過檢驗f(x0)的值進行判斷。 (2)求三角函數周期的常用結論 ①y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期為。 ②正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是個周期；正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是個周期。 變|式|訓|練 1．(2018·洛陽聯(lián)考

13、)已知函數f(x)＝sin(sinx)＋cos(sinx)，x∈R，則下列說法正確的是(　　) A．函數f(x)是周期函數且最小正周期為π B．函數f(x)是奇函數 C．函數f(x)在區(qū)間上的值域為[1，] D．函數f(x)在上是增函數 解析　f(x)＝sin(sinx)＋cos(sinx)＝sin，因為f(π＋x)＝sin＝sin≠f(x)，所以π不是函數f(x)的最小正周期，故A錯誤；f(－x)＝sin＝sin≠－f(x)，故B錯誤；當x∈時，sinx∈[0,1]，sinx＋∈，所以sin∈，則sin∈[1，]，故C正確；當x∈時，sinx∈，sinx＋∈，而∈，所以函數f(x)

14、在上不是單調函數，故D錯誤。故選C。 答案　C 2．(2018·江蘇高考)已知函數y＝sin(2x＋φ)的圖象關于直線x＝對稱，則φ的值是______。 解析　由函數y＝sin(2x＋φ)的圖象關于直線x＝對稱，得sin＝±1，因為－<φ<，所以<＋φ<，則＋φ＝，φ＝－。 答案?。? 1．(考向一)(2018·武漢調研)將函數y＝sin2x的圖象上的點P按向量a＝(m,0)(m>0)平移后得到點P′。若點P′在函數y＝sin的圖象上，則(　　) A．t＝，m的最小值為 B．t＝，m的最小值為 C．t＝，m的最小值為 D．t＝，m的最小值為 解析　由題可得P′，又P′在y

15、＝sin的圖象上，所以t＝sin，即t＝sin2m(m>0)，因為P在函數y＝sin2x的圖象上，所以t＝，此時m的最小值為。故選C。 答案　C 2．(考向一)函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分圖象如圖所示，則函數f(x)的解析式為________。 解析　由題圖可知A＝， 解法一：因為＝－＝，所以T＝π。故ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，又對應五點法作圖中的第三個點，因此2×＋φ＝π，所以φ＝。故f(x)＝sin。 解法二：以為第二個“零點”，為最小值點，列方程組解得故f(x)＝sin。 答案　f(x)＝sin 3．(考向二)(

16、2018·廣州調研)將函數y＝2sin·sin的圖象向左平移φ(φ>0)個單位長度，所得圖象對應的函數恰為奇函數，則φ的最小值為(　　) A． B． C． D． 解析　由y＝2sinsin可得y＝2sincos＝sin，該函數的圖象向左平移φ個單位長度后，所得圖象對應的函數解析式為g(x)＝sin＝sin，因為g(x)＝sin為奇函數，所以2φ＋＝kπ(k∈Z)，φ＝－(k∈Z)，又φ>0，故φ的最小值為。故選A。 答案　A 4．(考向二)(2018·呂梁一模)將函數f(x)＝2sin的圖象向左平移個單位，再向下平移1個單位，得到g(x)的圖象，若g(x1)g(x2)＝9，且

17、x1，x2∈[－2π，2π]，則2x1－x2的最大值為(　　) A． B． C． D． 解析　f(x)向左平移個單位，得到2sin＝2sin，再向下平移一個單位，得到g(x)＝2sin－1，其最小值為－3，由于g(x1)·g(x2)＝9，故g(x1)＝g(x2)＝－3，也就是說x1，x2是g(x)的最小值點。要使2x1－x2取得最大值，即x1取最大值，x2取最小值。令2x＋＝2kπ－，2x＝2kπ－，x＝kπ－，令k＝2，得x1＝，令k＝－1，得x2＝－，所以2x1－x2的最大值為2·－＝。故選A。 答案　A 5．(考向二)(2018·濮陽一模)先將函數f(x)＝sinx的圖象上的各點向左平移個單位，再將各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?其中ω∈N*)，得到函數g(x)的圖象，若g(x)在區(qū)間上單調遞增，則ω的最大值為________。 解析　g(x)＝sin在區(qū)間上單調遞增，所以有即12k－4≤ω≤8k＋，k∈Z，由12k－4≤8k＋可得k≤，當k＝1時，ω∈，所以正整數ω的最大值是9。 答案　9 10