2022年高考數學專題復習 第48講 離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布練習 新人教A版

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1、2022年高考數學專題復習 第48講 離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布練習 新人教A版 [考情展望]　1.以實際問題為背景考查離散型隨機變量的均值、方差的求解.2.利用離散型隨機變量的均值、方差解決一些實際問題.3.考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義． 一、離散型隨機變量的均值與方差及其性質 1．定義：若離散型隨機變量X的分布列為P(ξ＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n. (1)均值：稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數學期望． (2)方差：稱D(X)＝ (xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差，其算術平方根為隨機變量X的標

2、準差． 2．均值與方差的性質 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b為常數) (3)兩點分布與二項分布的均值、方差 均值 方差 變量X服從兩點分布 E(X)＝p D(X)＝p(1－p) X～B(n，p) E(X)＝np D(X)＝np(1－p) 求均值、方差的方法 1．已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標準差，可直接按定義(公式)求解； 2．已知隨機變量ξ的均值、方差，求ξ的線性函數η＝aξ＋b的均值、方差和標準差，可直接用ξ的均值、方差的性質求解； 3．如能分析所給隨機變量是服從常用的分布(如兩點分

3、布、二項分布等)，可直接利用它們的均值、方差公式求解． 二、正態(tài)分布 1．正態(tài)曲線的定義 函數φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中實數μ和σ(σ＞0)為參數，我們稱φμ，σ(x)的圖象為正態(tài)曲線． 2．正態(tài)分布的定義及表示 如果對于任何實數a，b(a＜b)，隨機變量X滿足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記作N(μ，σ2)． 3．正態(tài)曲線的性質： (1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交； (2)曲線關于直線x＝μ對稱； (3)曲線在x＝μ處達到峰值； (4)曲線與x軸之間的面積為1； (5)當σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；

4、 (6)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定．σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散． 4．正態(tài)總體三個基本概率值 (1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6； (2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4； (3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4. 關于正態(tài)總體在某個區(qū)間內取值的概率求法 (1)熟記P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值； (2)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1. ①正態(tài)曲線關于直線x＝μ對稱，從而在關于x＝μ對稱的區(qū)

5、間上概率相等． ②P(X＜a)＝1－P(x≥a)，P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a)． 1．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，則P(ξ＜0)＝(　　) A．0.16　　　B．0.32　　　C．0.68　　　D．0.84 【解析】　∵P(ξ≤4)＝0.84，μ＝2， ∴P(ξ＜0)＝P(ξ＞4)＝1－0.84＝0.16. 【答案】　A 2．已知X的分布列為 X －1 0 1 P 設Y＝2X＋3，則E(Y)的值為(　　) A. B．4 C．－1 D．1 【解析】　E(X)＝－＋＝－， E(Y)＝E(2X＋3)＝2

6、E(X)＋3＝－＋3＝. 【答案】　A 3．設隨機變量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，則(　　) A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4 C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45 【解析】　∵X～B(n，p)，∴E(X)＝np＝1.6， D(X)＝np(1－p)＝1.28，∴ 【答案】　A 4．某射手射擊所得環(huán)數ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，則y的值為________． 【解析】　依題意得 即由此解得y＝0.4. 【答案】　0.4

7、 5．(xx·廣東高考)已知離散型隨機變量X的分布列為 X 1 2 3 P 則X的數學期望E(X)＝(　　) A. B．2 C. D．3 【解析】　把數據代入隨機變量的數學期望公式進行計算即可． E(X)＝1×＋2×＋3×＝，選A. 【答案】　A 6．(xx·湖北高考)如圖10－9－1，將一個各面 圖10－9－1 都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體，經過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的涂漆面數為X，則X的均值E(X)＝(　　) A. B. C. D. 【解析】　先求出隨機變量X的分布列，然后利用均值的計算

8、公式求得E(X)． 依題意得X的取值可能為0,1,2,3，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝.故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 【答案】　B 考向一 [195]　正態(tài)分布 　設隨機變量X～N(3,1)，若P(x＞4)＝p，則P(2＜x＜4)＝(　　) A.＋p　　 B．1－p　 　C．1－2p　 　D.－p 【思路點撥】　根據正態(tài)曲線的對稱性求解． 【嘗試解答】　∵隨機變量X～N(3,1)，觀察圖得， P(2＜X＜4)＝1－2P(X＞4)＝1－2p. 【答案】　C 規(guī)律方法1　1.求解本題關鍵是明確正態(tài)曲線關于x＝3對稱，且

9、區(qū)間[2，4]關于x＝3對稱. 2.解決此類問題，首先要確定μ與σ的值，然后把所求問題轉化到已知概率的區(qū)間上來，在求概率時，要注意關于直線x＝μ對稱的區(qū)間上概率相等，而且把一般的正態(tài)分布轉化為標準正態(tài)分布. 對點訓練　如果隨機變量ξ～N(－1，σ2)，且P(－3≤ξ≤－1)＝0.4，則P(ξ≥1)等于(　　) A．0.4　　　B．0.3　　　C．0.2　　　D．0.1 【解析】　因為P(－3≤ξ≤－1)＝P(－1≤ξ≤1)＝0.4，所以 P(ξ≥1)＝＝＝0.1，選D. 【答案】　D 考向二 [196]　離散型隨機變量的均值與方差 　(xx·廣東百所高中聯考)為貫徹“激情工

10、作，快樂生活”的理念，某單位在工作之余舉行趣味知識有獎競賽，比賽分初賽和決賽兩部分，為了增加節(jié)目的趣味性，初賽采用選手選一題答一題的方式進行，每位選手最多有5次選答題的機會，選手累計答對3題或答錯3題即終止其初賽的比賽，答對3題者直接進入決賽，答錯3題者則被淘汰，已知選手甲答題的正確率為. (1)求選手甲答題次數不超過4次可進入決賽的概率； (2)設選手甲在初賽 中答題的個數ξ，試寫出ξ的分布列，并求ξ的數學期望． 【思路點撥】　(1)分兩種情況：一是答對三道，二是前三道答對二道，第四道答對； (2)ξ的可能取值為3,4,5，利用獨立重復試驗與相互獨立事件求ξ取值所對應的概率． 【嘗

11、試解答】　(1)選手甲答3道題進入決賽的概率為3＝， 選手甲答4道題進入決賽的概率為C·2··＝， ∴選手甲答題次數不超過4次可進入決賽的概率P＝＋＝； (2)依題意，ξ的可取取值為3、4、5，則有P(ξ＝3)＝3＋3＝， P(ξ＝4)＝C·2··＋C···＝， P(ξ＝5)＝C·2··＋C·2·2·＝， 因此，有 ξ 3 4 5 P ∴Eξ＝3×＋4×＋5×＝. 規(guī)律方法2　求離散型隨機變量的均值與方差的方法：(1)先求隨機變量的分布列，然后利用均值與方差的定義求解.(2)若隨機變量X～B(n，p)，則可直接使用公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p

12、)求解. 對點訓練　為了解某校高三畢業(yè)班報考體育專業(yè)學生的體重(單位：千克)情況，將從該市某學校抽取的樣本數據整理后得到如下頻率分布直方圖，已知圖10－9－2中從左至右前3個小組的頻率之比為1∶2∶3，其中第2小組的頻數為12. 圖10－9－2 (1)求該校報考體育專業(yè)學生的總人數n； (2)若用這所學校的樣本數據來估計該市的總體情況，現從該市報考體育專業(yè)的學生中任選3人，設ξ表示體重超過60千克的學生人數，求ξ的分布列和數學期望． 【嘗試解答】　(1)設該校報考體育專業(yè)的人數為n，前三小組的頻率分別為p1，p2，p3，則由題意可知， ， 解得p1＝0.125，p2＝0.

13、25，p3＝0.375. 又因為p2＝0.25＝，故n＝48. (2)由(1)可得，一個報考學生體重超過60公斤的概率為p＝p3＋(0.0375＋0.0125)×5＝. 所以ξ服從二項分布，P(ξ＝k)＝Ck·3－k，k＝0,1,2,3 ∴隨機變量ξ的分布列為： ξ 0 1 2 3 p 則Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 考向三 [197]　期望與方差在決策中的應用 　小明從家到學校有兩條路線，路線1上有三個路口，各路口遇到紅燈的概率均為；路線2上有兩個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為，. (1)若小明上學走路線1，求最多遇到1次紅燈的概率； (2

14、)若小明上學走路線2，求遇到紅燈次數X的數學期望． (3)按照“平均遇到紅燈次數越少為越好”的標準，請你幫助小明從上述兩條路線中選擇一條最好的上學路線，并說明理由． 【思路點撥】　(1)利用獨立重復試驗與互斥事件的概率知識解決； (2)確定X的可能值，求出相應的概率，可得隨機變量X的分布列及數學期望； (3)比較兩路線遇紅燈的數學期望即可做出判斷． 【嘗試解答】　(1)設走路線1最多遇到1次紅燈為A事件，則 P(A)＝C×3＋C××2＝ (2)依題意，X的可能取值為0,1,2. P(X＝0)＝×＝， P(X＝1)＝×＋×＝， P(X＝2)＝×＝ 隨機變量X的分布列為：

15、X 0 1 2 P EX＝×0＋×1＋×2＝ (3)設選擇路線1遇到紅燈次數為Y，則Y～B， 所以EY＝3×＝ 因為EX＞EY，所以選擇路線1上學最好． 規(guī)律方法3　1.解決此類題目的關鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件，求得該事件發(fā)生的概率，列出分布列. 2.隨機變量的期望反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產實際中用于方案取舍的重要理論依據，一般是先分析比較均值，若均值相同，再用方差來決定. 對點訓練　(xx·福建高考)某聯歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設置了甲、乙兩種抽獎方案

16、，方案甲的中獎率為，中獎可以獲得2分；方案乙的中獎率為，中獎可以獲得3分；未中獎則不得分．每人有且只有一次抽獎機會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結束后憑分數兌換獎品． (1)若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為X，求X≤3的概率； (2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分的數學期望較大？ 【解】　(1)由已知得，小明中獎的概率為，小紅中獎的概率為，且兩人中獎與否互不影響． 記“這2人的累計得分X≤3”的事件為A， 則事件A的對立事件為“X＝5”． 因為P(X＝5)＝×＝， 所以P(A)＝1－P(X＝5)

17、＝1－＝， 即這2人的累計得分X≤3的概率為. (2)設小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎次數為X1，都選擇方案乙抽獎中獎次數為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數學期望為E(2X1)，選擇方案乙抽獎累計得分的數學期望為E(3X2)． 由已知可得，X1～B，X2～B， 所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝， 從而E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝. 因為E(2X1)＞E(3X2)， 所以他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分的數學期望較大． 規(guī)范解答之二十四　離散型隨機變量的均值求解指南 第一步：理清題意，分析條件與結論，確定所求事件，求出相應

18、的概率值；第二步：確定隨機變量的所有可能取值，注意變量取值的準確性；第三步：根據條件及概率類型，求每一個可能值所對應的概率；第四步：列出離散型隨機變量的分布列，利用分布列的性質進行檢驗是否準確；第五步：利用均值和方差公式求值． ————[1個示范例]————[1個規(guī)范練]———— 　　　(12分)某校50名學生參加智力答題活動，每人回答3個問題，答對題目個數及對應人數統計結果見下表： 答對題目個數 0 1 2 3 人數 5 10 20 15 根據上表信息解答以下問題： (1)從50名學生中任選兩人，求兩人答對題目個數之和為4或5的概率； (2)從50名

19、學生中任選兩人，用X表示這兩名學生答對題目個數之差的絕對值，求隨機變量X的分布列及數學期望EX. 【規(guī)范解答】　(1)記“兩人答對題目個數之和為4或5”為事件A，則 P(A)＝＝ ＝，5分 即兩人答對題目個數之和為4或5的概率為6分 (2)依題意可知X的可能取值分別為0,1,2,3. 則P(X＝0)＝＝＝，7分 P(X＝1)＝＝＝8分 P(X＝2)＝＝＝，9分 P(X＝3)＝＝＝，10分 從而X的分布列為： X 0 1 2 3 P 故X的數學期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.12分 【名師寄語】　(1)解答本題的關鍵是正確確定隨機變量X的取

20、值并求出相應的概率，注意分類討論思想的應用. (2)分布列中某一欄的概率如果比較復雜，可不求而改由利用分布列的性質p1＋p2＋…＋pn＝1求解比較方便，否則也可用此性質檢驗各概率的計算有無錯誤. (xx·課標全國卷Ⅰ)一批產品需要進行質量檢驗，檢驗方案是：先從這批產品中任取4件作檢驗，這4件產品中優(yōu)質品的件數記為n.如果n＝3，再從這批產品中任取4件檢驗，若都為優(yōu)質品，則這批產品通過檢驗；如果n＝4，再從這批產品中任取1件作檢驗，若為優(yōu)質品，則這批產品通過檢驗；其他情況下，這批產品都不能通過檢驗． 假設這批產品的優(yōu)質品率為50%，即取出的每件產品是優(yōu)質品的概率都為，且各件產品是否為優(yōu)

21、質品相互獨立． (1)求這批產品通過檢驗的概率； (2)已知每件產品的檢驗費用為100元，且抽取的每件產品都需要檢驗，對這批產品作質量檢驗所需的費用記為X(單元：元)，求X的分布列及數學期望． 【解】　(1)設第一次取出的4件產品中恰有3件優(yōu)質品為事件A1，第一次取出的4件產品全是優(yōu)質品為事件A2，第二次取出的4件產品都是優(yōu)質品為事件B1，第二次取出的1件產品是優(yōu)質品為事件B2，這批產品通過檢驗為事件A，依題意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1與A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝×＋×＝. (2)X可能的取值為400,500,800，并且P(X＝400)＝1－－＝，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝， 所以以X的分布列為 X 400 500 800 P EX＝400×＋500×＋800×＝506.25.