2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第六章 第34課 平面向量的基本定理及坐標表示要點導(dǎo)學(xué)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第六章 第34課 平面向量的基本定理及坐標表示要點導(dǎo)學(xué) 平面向量基本定理的應(yīng)用 　在梯形ABCD中,AB∥CD,M,N分別是AD,BC的中點,=k(k≠1),設(shè)=e1,=e2,選擇基底{e1,e2},試寫出向量,,在此基底下的分解式. (例1) [思維引導(dǎo)]由=k(k≠1),易求出,再由+++=0,求得;最后利用+++=0,求得. [解答]因為=e2,且=k,所以=k=ke2. 又+++=0, 所以=---=-++=-e2+ke2+e1=e1+(k-1)e2. 又+++=0,所以=---=+-=+e2-=[e1+(k-1)e2]+e2-e1

2、=e2. [精要點評]應(yīng)用平行向量的基本定理及向量的多邊形加法法則是解決本題的關(guān)鍵. 　(xx·鎮(zhèn)江期末)已知△ABC中,點D,E分別為邊AC,AB上的點,且DA=2CD,EB=2AE,若=a,=b,則以a,b為基底表示=　　　　. [答案]-a+b [解析]因為=-=-=(-)+=-a+b. 平面向量的坐標運算 　已知點A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).設(shè)=a,=b,=c,且=3c,=-2b. (1) 求3a+b-3c; (2) 求滿足a=mb+nc的實數(shù)m,n; (3) 求點M,N的坐標及向量的坐標. [解答]由已知得a=(5,-5),b=(-6

3、,-3),c=(1,8). (1) 3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(6,-42). (2) 因為mb+nc=(-6m+n,-3m+8n), 所以解得 (3) 設(shè)O為坐標原點,因為=-=3c, 所以=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20), 所以M(0,20). 又=-=-2b, 所以=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), 所以N(9,2). 所以=(9,-18). [精要點評]向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行.若已知有向線段兩端點的坐標,則應(yīng)先求出向量的坐標,解題過程中要注意方程思想的運用及正確使

4、用運算法則. 　(xx·灌云高級中學(xué))已知向量a=(1,-3),b=(4,-2),若(λa+b)∥b,則λ=　　　　. [答案]0 [解析]由題意得λa+b=λ(1,-3)+(4,-2)=(λ+4,-3λ-2),由(λa+b)∥b,得(λ+4)×(-2)-(-3λ-2)×4=0,解得λ=0. 利用平面向量的坐標表示解決綜合問題 　如圖所示,已知點A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交點P的坐標. (例3) [思維引導(dǎo)]兩線段相交可反映為兩組向量分別共線來處理. [解答]設(shè)P(x,y),則=(x,y),=(4,4). 因為,共線,所以4x-4y=

5、0,即x=y.① 又=(x-2,y-6),=(2,-6),且,共線, 所以-6(x-2)-2(y-6)=0,解得x=3,y=3,② 所以P(3,3). [精要點評]坐標運算往往含有待定的未知參數(shù),轉(zhuǎn)化為方程求解即可.本題還可用求直線方程的方法求坐標. 　(xx·陜西卷)在平面直角坐標系xOy中,已知點A(1,1),B(2,3),C(3,2),點P(x,y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上. (1) 若++=0,求||; (2) 設(shè)=m+n(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值. [解答](1) 方法一:因為++=0, 又++=(1-x,1-y)+(2-

6、x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y), 所以解得 即=(2,2),故||=2. 方法二:因為++=0, 則(-)+(-)+(-)=0, 所以=(++)=(2,2), 所以||=2. (變式) (2) 因為=m+n, 所以(x,y)=(m+2n,2m+n), 所以 兩式相減得m-n=y-x. 令y-x=t,由圖知,當(dāng)直線y=x+t過點B(2,3)時,t取得最大值1,故m-n的最大值為1. 在△ABC中,角A所對的邊長為2,向量m=,向量n=. (1) 求m·n取得最大值時角A的大小; (2) 在(1)的條件下,求△ABC面積的最大值.

7、 [規(guī)范答題] (1) m·n=2sin-=2sin-cos(B+C).(2分) 因為 A+B+C=π, 所以B+C=π-A. 于是m·n=2sin+cos A =-2sin 2+2sin+1 =-2+.(4分) 因為∈,所以當(dāng)且僅當(dāng)sin=,即A=時,m·n取得最大值. 故m·n取得最大值時角A=.(6分) (2) 設(shè)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c, 由余弦定理,得 b2+c2-a2=2bccos A, 即bc+4=b2+c2≥2bc, 所以bc≤4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時取等號.(10分) 又S△ABC=bcsin A=bc≤,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=2時,△AB

8、C的面積取得最大值.(14分) 1. 已知a=(1,y),b=(x,-2),且2a-3b=(5,8),那么x+y=　　　　. [答案]0 2. 若向量=(1,2),=(3,4),則=　　　　. [答案](4,6) 3. 已知點M(3,-2),N(-5,-1).若=,則點P的坐標為　　　　　　　. [答案] [解答]設(shè)P(x,y),則=(x-3,y+2),=(-8,1),由=,得(x-3,y+2)=(-8,1),解得x=-1,y=-. 4. (xx·陜西卷)設(shè)0<θ<,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(cosθ,1).若a∥b,則tanθ=　　　　. [答案] [解析]因為向量a∥b,所以sin2θ-cosθ·cosθ=0,又cosθ≠0,所以2sinθ=cosθ,故tanθ=. [溫馨提醒] 趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成《配套檢測與評估》中的練習(xí)(第67-68頁).