2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第五章 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 理(含解析)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第五章 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 理(含解析) 1.(xx遼寧,5分)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,若數(shù)列{2a1an}為遞減數(shù)列,則(  ) A.d<0 B.d>0 C.a(chǎn)1d<0 D.a(chǎn)1d>0 解析:∵數(shù)列{2a1an}為遞減數(shù)列,a1an=a1[a1+(n-1)d]=a1dn+a1(a1-d),等式右邊為關(guān)于n的一次函數(shù),∴a1d<0. 答案:C 2.(xx福建,5分)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=2,S3=12,則a6等于(  ) A.8 B.10 C.12 D.14 解析:設(shè)等差數(shù)列{an

2、}的公差為d,則S3=3a1+3d,所以12=3×2+3d,解得d=2,所以a6=a1+5d=2+5×2=12,故選C. 答案:C 3.(xx新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ,12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ為常數(shù). (1)證明:an+2-an=λ; (2)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說(shuō)明理由. 解:(1)證明:由題設(shè),anan+1=λSn-1, an+1an+2=λSn+1-1. 兩式相減得an+1(an+2-an)=λan+1. 由于an+1≠0,所以an+2-an=λ. (2)由題設(shè),a1=1,a1a2=λS1-1,

3、可得a2=λ-1. 由(1)知,a3=λ+1. 令2a2=a1+a3,解得λ=4. 故an+2-an=4,由此可得{a2n-1}是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=4n-1. 所以an=2n-1,an+1-an=2. 因此存在λ=4,使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列. 4.(xx安徽,5分)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S8=4a3,a7=-2,則a9=(  ) A.-6          B.-4 C.-2 D.2 解析:本題主要考查等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算,意在考查考生的運(yùn)算求解能力. 根據(jù)等

4、差數(shù)列的定義和性質(zhì)可得,S8=4(a3+a6),又S8=4a3,所以a6=0,又a7=-2,所以a8=-4,a9=-6. 答案:A 5.(xx新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,12分)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足S3=0,S5=-5. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 解:本題主要考查等差數(shù)列的基本知識(shí),特殊數(shù)列求和等. (1)設(shè){an}的公差為d,則Sn=na1+d. 由已知可得解得a1=1,d=-1. 故{an}的通項(xiàng)公式為an=2-n. (2)由(1)知==,從而數(shù)列的前n項(xiàng)和為=. 6.(xx新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,12分)已知等差數(shù)列{an}的公差不為零,a1=

5、25,且a1,a11,a13成等比數(shù)列. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)求a1+a4+a7+…+a3n-2. 解:本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的求和,意在考查考生的運(yùn)算求解能力. (1)設(shè){an}的公差為d.由題意,a=a1a13, 即(a1+10d)2=a1(a1+12d), 于是d(2a1+25d)=0. 又a1=25,所以d=0(舍去),或d=-2. 故an=-2n+27. (2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2. 由(1)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首項(xiàng)為25,公差為-6的等差數(shù)列.從而Sn=(a1+a3n

6、-2)=·(-6n+56)=-3n2+28n. 7.(xx山東,12分)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足++…+=1-,n∈N*,求{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解:本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、錯(cuò)位相減法等知識(shí),考查方程思想、轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理論證能力. (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d. 由S4=4S2,a2n=2an+1得 解得a1=1,d=2. 因此an=2n-1,n∈N*. (2)由已知++…+=1-,n∈N*, 當(dāng)n=1時(shí),=; 當(dāng)n≥2

7、時(shí),=1--=, 所以=,n∈N*. 由(1)知an=2n-1,n∈N*, 所以bn=,n∈N*. 又Tn=+++…+, Tn=++…++, 兩式相減得 Tn=+- =--, 所以Tn=3-. 8.(xx新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,5分)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=(  ) A.3  B.4 C.5 D.6 解析:本題考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式,意在考查考生通過(guò)等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式求解基本量的能力.根據(jù)已知條件,得到am和am+1,再根據(jù)等差數(shù)列的定義得到公差d,最后建立關(guān)于

8、a1和m的方程組求解.由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,所以等差數(shù)列的公差為d=am+1-am=3-2=1, 由 得解得選擇C. 答案:C 9.(xx新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,5分)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ,已知S10=0,S15=25,則nSn 的最小值為_(kāi)_______. 解析:本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及通過(guò)轉(zhuǎn)化利用函數(shù)的單調(diào)性判斷數(shù)列的單調(diào)性等知識(shí),對(duì)學(xué)生分析、轉(zhuǎn)化、計(jì)算等能力要求較高. 由已知解得a1=-3, d=,那么nSn=n2a1+d=-.由于函數(shù)f(x)=-在x=處取得極小值,因而檢驗(yàn)n=6

9、時(shí),6S6=-48,而n=7時(shí),7S7=-49. ∴nSn 的最小值為-49. 答案:-49 10.(xx福建,12分)已知等差數(shù)列{an}的公差d=1,前n項(xiàng)和為Sn. (1)若1,a1,a3成等比數(shù)列,求a1; (2)若S5>a1a9,求a1的取值范圍. 解:本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想. (1)因?yàn)閿?shù)列{an}的公差d=1,且1,a1,a3成等比數(shù)列, 所以a=1×(a1+2), 即a-a1-2=0,解得a1=-1或a1=2. (2)因?yàn)閿?shù)列{an}的公差d=1,且S5>a1a9, 所以5a1

10、+10>a+8a1, 即a+3a1-10<0,解得-5

11、. 答案:35 12.(xx安徽,12分)設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…中的每一項(xiàng)都不為0. 證明{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是:對(duì)任何n∈N,都有++…+=. 證明:先證必要性. 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,若d=0,則所述等式顯然成立. 若d≠0,則 ++…+ =(++…+) =[(-)+(-)+…+(-)] =(-) =·=. 再證充分性. 法一:(數(shù)學(xué)歸納法)設(shè)所述的等式對(duì)一切n∈N都成立. 首先,在等式 +=① 兩端同乘a1a2a3,即得a1+a3=2a2, 所以a1,a2,a3成等差數(shù)列,記公差為d,則a2=a1+d. 假設(shè)ak=a1+(k-1

12、)d,當(dāng)n=k+1時(shí) ++…+=,② ++…++=.③ 將②代入③,得 +=, 在該式兩端同乘a1akak+1,得(k-1)ak+1+a1=kak, 將ak=a1+(k-1)d代入其中,整理后,得ak+1=a1+kd. 由數(shù)學(xué)歸納法原理知,對(duì)一切n∈N,都有an=a1+(n-1)d. 所以{an}是公差為d的等差數(shù)列. 法二:(直接證法)依題意有 ++…+=,① ++…++=.② ②-①得 =-. 在上式兩端同乘a1an+1an+2,得a1=(n+1)an+1-nan+2.③ 同理可得a1=nan-(n-1)an+1.④ ③-④得 2nan+1=n(an+2+an). 即an+2-an+1=an+1-an,所以{an}是等差數(shù)列. 13.(xx遼寧,5分)在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11=(  ) A.58          B.88 C.143 D.176 解析:因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,所以a4+a8=2a6=16?a6=8,則該數(shù)列的前11項(xiàng)和為S11==11a6=88. 答案:B

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