2022年高考數(shù)學二輪專題突破 專題三 數(shù)列與不等式 第4講 不等式與線性規(guī)劃 理

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1、2022年高考數(shù)學二輪專題突破 專題三 數(shù)列與不等式 第4講 不等式與線性規(guī)劃 理 1．(xx·浙江)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且09 2．(xx·廣東)若變量x，y滿足約束條件則z＝3x＋2y的最小值為(　　) A．4 B. C．6 D. 3．(xx·浙江)有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各不相同．已知三個 房間的粉刷面積(單位：m2)分別為x，y，z，且x＜y＜z，三種顏色涂料的粉刷費用(單位：元/m2)

2、分別為a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的總費用(單位：元)是(　　) A．a(chǎn)x＋by＋cz B．a(chǎn)z＋by＋cx C．a(chǎn)y＋bz＋cx D．a(chǎn)y＋bx＋cz 4．(xx·重慶)設(shè)a，b＞0，a＋b＝5，則＋的最大值為________． 1.利用不等式性質(zhì)比較大小，利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃問題是高考的熱點；2.一元二次不等式常與函數(shù)、數(shù)列結(jié)合考查一元二次不等式的解法和參數(shù)取值范圍；3.利用不等式解決實際問題. 熱點一　不等式的解法 1．一元二次不等式的解法 先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0

3、)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集． 2．簡單分式不等式的解法 (1)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 3．指數(shù)不等式、對數(shù)不等式及抽象函數(shù)不等式，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解． 例1　(1)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為，則f(10x)>0的解集為(　　) A．{x|x<－1或x>－lg 2} B．{x|－1－lg 2} D．{x|x<－lg 2} (2)已知函數(shù)f(x)＝(x－2)(ax＋b)為偶函數(shù)，且在(0，＋∞)

4、單調(diào)遞增，則f(2－x)>0的解集為(　　) A．{x|x>2或x<－2} B．{x|－24} D．{x|00)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則a＝________. (2)

5、已知f(x)是R上的減函數(shù)，A(3，－1)，B(0,1)是其圖象上兩點，則不等式|f(1＋ln x)|<1的解集是________________． 熱點二　基本不等式的應(yīng)用 利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法則是：(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2(簡記為：積定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，當x＝y(tǒng)時，xy有最大值s2(簡記為：和定，積有最大值)． 例2　(1)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均為正數(shù)，則＋的最小值是(　　) A. B. C．8 D．24 (2)已知

6、關(guān)于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，則實數(shù)a的最小值為(　　) A．1 B. C．2 D. 思維升華　在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤． 跟蹤演練2　(1)(xx·天津)已知a＞0，b＞0，ab＝8，則當a的值為________時，log2a·log2(2b)取得最大值． (2)若直線2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦長為4，則＋的最小值是____

7、____． 熱點三　簡單的線性規(guī)劃問題 解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找到目標函數(shù)達到最值時可行域的頂點(或邊界上的點)，但要注意作圖一定要準確，整點問題要驗證解決． 例3　(1)(xx·北京)若x，y滿足則z＝x＋2y的最大值為(　　) A．0 B．1 C. D．2 (2)(xx·安徽)x，y滿足約束條件若z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)a的值為(　　) A.或－1 B．2或 C．2或1 D．2或－1 思維升華　(1)線性規(guī)劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標函數(shù)中的字母系數(shù)的取

8、值范圍．(2)一般情況下，目標函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得． 跟蹤訓(xùn)練3　已知x，y滿足且目標函數(shù)z＝2x＋y的最小值為9，則實數(shù)a的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．7 1．若點A(a，b)在第一象限，且在直線x＋2y＝1上，則ab的最大值為(　　) A．1 B. C. D. 2．已知A(1，－1)，B(x，y)，且實數(shù)x，y滿足不等式組則z＝·的最小值為(　　) A．2 B．－2 C．－4 D．－6 3．已知函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)≤4的解集為________． 4．已知不等式≥|a2－a|對于x∈[2,6]恒成

9、立，則a的取值范圍是________． 提醒：完成作業(yè)　專題三　第4講 二輪專題強化練 專題三 第4講 不等式與線性規(guī)劃 A組　專題通關(guān) 1．下列選項中正確的是(　　) A．若a>b，則ac2>bc2 B．若ab>0，a>b，則< C．若a>b，cb，c>d，則a－c>b－d 2．不等式x2＋x<＋對任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是(　　) A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．(－2,1) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞) 3．(xx·山東)已知x，y滿足約束條件若z＝ax＋y的最大值

10、為4，則a等于(　　) A．3 B．2 C．－2 D．－3 4．(xx·重慶)若log4(3a＋4b)＝log2，則a＋b的最小值是(　　) A．6＋2 B．7＋2 C．6＋4 D．7＋4 5．(xx·浙江杭州二中第一次月考)若關(guān)于x的不等式x2＋ax－2>0在區(qū)間[1,5]上有解，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(－，＋∞) B．[－，1] C．(1，＋∞) D．(－∞，－1) 6．已知函數(shù)f(x)＝那么不等式f(x)≥1的解集為________________． 7．(xx·綿陽市一診)某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該產(chǎn)品生產(chǎn)總成本C與產(chǎn)量q(q∈

11、N*)的函數(shù)關(guān)系式為C＝100－4q，銷售單價p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為p＝25－q.要使每件產(chǎn)品的平均利潤最大，則產(chǎn)量q＝________. 8．已知正實數(shù)a，b滿足a＋2b＝1，則a2＋4b2＋的最小值為________． 9．設(shè)集合A為函數(shù)y＝ln(－x2－2x＋8)的定義域，集合B為函數(shù)y＝x＋的值域，集合C為不等式(ax－)(x＋4)≤0的解集． (1)求A∩B； (2)若C??RA，求a的取值范圍． 10．運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米(按交通法規(guī)限制50≤x≤100)(單位：千米/小時)．假設(shè)汽油的價格是每升

12、2元，而汽車每小時耗油(2＋)升，司機的工資是每小時14元． (1)求這次行車總費用y關(guān)于x的表達式； (2)當x為何值時，這次行車的總費用最低，并求出最低費用的值． B組　能力提高 11．(xx·陜西)設(shè)f(x)＝ln x,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，則下列關(guān)系式中正確的是(　　) A．q＝r＜p B．q＝r＞p C．p＝r＜q D．p＝r＞q 12．(xx·課標全國Ⅰ)若x，y滿足約束條件則的最大值為________． 13．(xx·浙江)若實數(shù)x，y滿足x2＋y2≤1，則|2x＋y－2|＋|6－x－

13、3y|的最小值是________． 14．圖(1)是某斜拉式大橋圖片，為了了解橋的一些結(jié)構(gòu)情況，學校數(shù)學興趣小組將大橋的結(jié)構(gòu)進行了簡化，取其部分可抽象成如圖(2)所示的模型，其中橋塔AB，CD與橋面AC垂直，通過測量得知AB＝50 cm，AC＝50 cm，當P為AC中點時，∠BPD＝45°. (1)求CD的長； (2)試問點P在線段AC的何處時，∠BPD達到最大？ 學生用書答案精析 第4講　不等式與線性規(guī)劃 高考真題體驗 1．C　[由題意得 化簡得解得 所以f(－1)＝c－6， 所以0

14、示的可行域如下圖所示， 由z＝3x＋2y得y＝－x＋，依題當目標函數(shù)直線l：y＝－x＋經(jīng)過A時，z取得最小值即zmin＝3×1＋2×＝，故選B.] 3．B　[令x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3. A項：ax＋by＋cz＝1＋4＋9＝14； B項：az＋by＋cx＝3＋4＋3＝10； C項：ay＋bz＋cx＝2＋6＋3＝11； D項：ay＋bx＋cz＝2＋2＋9＝13.故選B.] 4．3 解析　∵a，b＞0，a＋b＝5，∴(＋)2＝a＋b＋4＋2≤a＋b＋4＋()2＋()2＝a＋b＋4＋a＋b＋4＝18，當且僅當a＝，b＝時，等號成立，則＋≤3，即＋最大值為3.

15、 熱點分類突破 例1　(1)D　(2)C 解析　(1)由已知條件0<10x<， 解得x0.f(2－x)>0即ax(x－4)>0， 解得x<0或x>4.故選C. 跟蹤演練1　(1)　(2)(，e2) 解析　(1)由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)·(x－4a)<0，因為a>0，所以不等式的解集為(－2a,4a)， 即x2＝

16、4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15， 得4a－(－2a)＝15，解得a＝. (2)∵|f(1＋ln x)|<1， ∴－10，y>0， ∴＋＝(＋)·(2x＋3y) ＝(6＋6＋＋)≥(12＋2×6)＝8. 當且僅當3y＝2x時取等號． (2)2x＋＝2(x－a)＋＋2a ≥2·＋2a＝4＋2a，

17、由題意可知4＋2a≥7，得a≥， 即實數(shù)a的最小值為，故選B. 跟蹤演練2　(1)4　(2)4 解析　(1)log2a·log2(2b)＝log2a·(1＋log2b)≤2＝ 2＝2＝4，當且僅當log2a＝1＋log2b，即a＝2b時，等號成立，此時a＝4，b＝2. (2)易知圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的半徑為2，圓心為(－1,2)，因為直線2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦長為4，所以直線2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)過圓心，把圓心坐標代入得：a＋b＝1，所以＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋≥4，當且僅當＝，a＋b＝1，即a

18、＝b＝時等號成立． 例3　(1)D　(2)D 解析　(1)可行域如圖所示．目標函數(shù)化為y＝－x＋z，當直線y＝－x＋z過點A(0,1)時，z取得最大值2. (2)如圖，由y＝ax＋z知z的幾何意義是直線在y軸上的截距， 故當a>0時，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a＝2； 當a<0時，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a＝－1. 跟蹤訓(xùn)練3　C　[依題意，不等式組所表示的可行域如圖所示(陰影部分)，觀察圖象可知，當目標函數(shù)z＝2x＋y過點B(a，a)時，zmin＝2a＋a＝3a；因為目標函數(shù)z＝2x＋y的最小值為9，所以3a＝9，解得a＝3，故選C.

19、] 高考押題精練 1．D　[因為點A(a，b)在第一象限，且在直線x＋2y＝1上， 所以a>0，b>0，且a＋2b＝1， 所以ab＝·a·2b≤·()2＝， 當且僅當a＝2b＝， 即a＝，b＝時，“＝”成立． 故選D.] 2．C　[畫出不等式組所表示的可行域為如圖所示的△ECD的內(nèi)部(包括邊界)，其中E(2,6)，C(2,0)，D(0,2)．目標函數(shù)z＝·＝x－y. 令直線l：y＝x－z，要使直線l過可行域上的點且在y軸上的截距－z取得最大值，只需直線l過點E(2,6)． 此時z取得最小值，且最小值zmin＝2－6＝－4.故選C.] 3．{x|－14≤x<2或x≥}

20、 解析　由題意得 或 解得x≥或－14≤x<2， 故不等式f(x)≤4的解集為{x|－14≤x<2或x≥}． 4．[－1,2] 解析　設(shè)y＝， 因為y＝在x∈[2,6]上單調(diào)遞減， 即ymin＝＝， 故不等式≥|a2－a|對于x∈[2,6]恒成立等價于|a2－a|≤恒成立，化簡得 解得－1≤a≤2， 故a的取值范圍是[－1,2]． 二輪專題強化練答案精析 第4講　不等式與線性規(guī)劃 1．B　[若a>b，取c＝0，則ac2>bc2不成立，排除A；取a＝2，b＝－1，c＝1，d＝2，則選項C不成立，排除C；取a＝2，b＝1，c＝1，d＝－1，則選項D不成立，排除D.選B

21、.] 2．C　[根據(jù)題意，由于不等式x2＋x<＋對任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，則x2＋x<(＋)min， ∵＋≥2＝2， ∴x2＋x<2，求解此一元二次不等式可知其解集為(－2,1)．] 3．B　[不 等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示． 易知A(2,0)， 由得B(1,1)． 由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z. ∴當a＝－2或a＝－3時，z＝ax＋y在O(0,0)處取得最大值，最大值為zmax＝0，不滿足題意，排除C，D選項；當a＝2或3時，z＝ax＋y在A(2,0)處取得最大值， ∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故選B.] 4．D　[由題意得所以 又log4

22、(3a＋4b)＝log2， 所以log4(3a＋4b)＝log4ab， 所以3a＋4b＝ab，故＋＝1. 所以a＋b＝(a＋b)(＋) ＝7＋＋ ≥7＋2＝7＋4， 當且僅當＝時取等號．故選D.] 5．A　[方法一　令f(x)＝x2＋ax－2， 則f(0)＝－2. ①若－≤0，即a≥0時，要使關(guān)于x的不等式x2＋ax－2>0在區(qū)間[1,5]上有解，則應(yīng)滿足f(5)>0， 解得a>－.所以a≥0； ②若－>0即a<0時，要使關(guān)于x的不等式x2＋ax－2>0在區(qū)間[1,5]上有解，也應(yīng)滿足f(5)>0， 解得a>－.所以－

23、)． 方法二　不等式x2＋ax－2>0在[1,5]上有解可轉(zhuǎn)化為a>－x在[1,5]上有解， 設(shè)f(x)＝－x，x∈[1,5]，易知f(x)為減函數(shù)，f(x)min＝f(5)＝－， ∴a>f(x)min＝－， 故a的取值范圍是(－，＋∞)．] 6．(－∞，0]∪[3，＋∞) 解析　當x>0時，由log3x≥1可得x≥3， 當x≤0時，由()x≥1可得x≤0， ∴不等式f(x)≥1的解集為(－∞，0]∪[3，＋∞)． 7．40 解析　每件產(chǎn)品的利潤y＝25－q－＝29－(＋)≤29－2＝24，當且僅當＝ 且q>0，即q＝40時取等號． 8. 解析　方法一　a2＋4b2＋

24、≥＋＝＋8＝. 當且僅當a＝2b時等號成立． 方法二　因為1＝a＋2b≥2?ab≤，當且僅當a＝2b＝時取等號． 又因為a2＋4b2＋≥2a·(2b)＋＝4ab＋.令t＝ab， 所以f(t)＝4t＋在(0，]上單調(diào)遞減， 所以f(t)min＝f()＝. 此時a＝2b＝. 9．解　(1)由－x2－2x＋8>0 得－40，即x>－1時y≥2－1＝1， 此時x＝0，符合要求； 當x＋1<0，即x<－1時， y≤－2－1＝－3， 此時x＝－2，符合要求． 所以B＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)， 所以

25、A∩B＝(－4，－3]∪[1,2)． (2)?RA＝{x|x≤－4或x≥2}． (ax－)(x＋4)＝0有兩根 x＝－4或x＝. 當a>0時，C＝{x|－4≤x≤}， 不可能C??RA； 當a<0時，C＝{x|x≤－4或x≥}， 若C??RA，則≥2，∴a2≤， ∴－≤a<0.故a的取值范圍為[－，0)． 10．解　(1)行車所用時間為t＝(h)， y＝×2×(2＋)＋14×，x∈[50,100]． 所以，這次行車總費用y關(guān)于x的表達式是y＝＋x，x∈[50,100]． (2)y＝＋x≥26，當且僅當＝x， 即x＝18時，上述不等式中等號成立． 故當x＝18時，這次

26、行車的總費用最低，最低費用為26元． 11．C　[∵0＜a＜b，∴＞， 又∵f(x)＝ln x 在(0，＋∞)上為增函數(shù)， 故f＞f()，即q＞p. 又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b) ＝ln a＋ln b＝ln(ab) ＝f()＝p. 故p＝r＜q.選C.] 12．3 解析　畫出可行域如圖陰影所示， ∵表示過點(x，y)與原點(0,0)的直線的斜率， ∴點(x，y)在點A處時最大． 由　得 ∴A(1,3)．∴的最大值為3. 13．3 解析　滿足x2＋y2≤1的實數(shù)x，y表示的點(x，y)構(gòu)成的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部． f(x，y)＝|2x＋y

27、－2|＋|6－x－3y| ＝|2x＋y－2|＋6－x－3y ＝ 直線y＝－2x＋2與圓x2＋y2＝1交于A，B兩點，如圖所示，易得B. 設(shè)z1＝4＋x－2y，z2＝8－3x－4y，分別作直線y＝x和y＝－x并平移，則z1＝4＋x－2y在點B取得最小值為3，z2＝8－3x－4y在點 B取得最小值為3，所以|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是3. 14．解　(1)設(shè)∠BPA＝α，∠DPC＝β， CD＝h cm，則tan α＝2，tan β＝， 由題意得，tan(α＋β)＝＝－1， 解得h＝75. 故CD的長為75 cm. (2)設(shè)AP＝x cm(00， ∴tan∠BPD>0，即∠BPD為銳角． 令t＝x＋100∈[100,150]， 則x＝t－100， ∴tan∠BPD＝ ＝， ∴tan∠BPD＝≤＝， 當且僅當t＝， 即t＝25∈[100,150]時等號成立， ∴AP＝(25－100)cm時，∠BPD最大．