2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 概率 第1節(jié) 隨機(jī)事件的概率教學(xué)案 文 北師大版

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1、第11章 概率 全國卷五年考情圖解 高考命題規(guī)律把握 1.考查形式 高考在本章內(nèi)容中一般命制1道小題，1道解答題，分值在5～17分. 2.考查內(nèi)容 高考中小題重點(diǎn)考查古典概型、幾何概型，解答題重點(diǎn)考查概率的意義、古典概型及概率與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合的綜合性問題. 3.備考策略 (1)熟練掌握解決以下問題的方法和規(guī)律 ①互斥、對立事件的概念及概率計(jì)算問題； ②古典概型、幾何概型的概率計(jì)算問題； ③概率與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合的綜合性問題. (2)重視分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用. 第一節(jié)　隨機(jī)事件的概率 [最新考綱]　1．了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率

2、與概率的區(qū)別.2.了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式． (對應(yīng)學(xué)生用書第188頁) 1．概率 (1)定義：在相同的條件下，大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，即隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性．這時(shí)這個(gè)常數(shù)叫作隨機(jī)事件A的概率，記作P(A)，有0≤P(A)≤1. (2)頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，但頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，因此，人們用概率來反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值． 2．互斥事件與對立事件 (1)互斥事件：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，我們把一次試驗(yàn)下不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A與B稱作互斥事件．

3、(2)對立事件：在每一次試驗(yàn)中，兩個(gè)事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生，并且一定有一個(gè)發(fā)生的事件A和稱為對立事件． 3．概率的幾個(gè)基本性質(zhì) (1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率：P(A)＝1. (3)不可能事件的概率：P(A)＝0. (4)互斥事件的概率加法公式： ①P(A＋B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)． ②P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)(A1，A2，…，An彼此互斥)． (5)對立事件的概率：P()＝1－P(A)． 1．辨析兩組概念 (1)頻率與概率 ①頻率是一個(gè)變量，隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變； ②概率是一個(gè)確

4、定的常數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗(yàn)無關(guān)； ③頻率是概率的近似值，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來越接近概率． (2)互斥事件與對立事件 ①兩個(gè)事件是互斥事件，它們未必是對立事件； ②兩個(gè)事件是對立事件，它們也一定是互斥事件． 2．概率加法公式的推廣 當(dāng)一個(gè)事件包含多個(gè)結(jié)果且各個(gè)結(jié)果彼此互斥時(shí)，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)“方程x2＋2x＋8＝0有兩個(gè)實(shí)根”是不可能事件． (　　) (2)對立事件一定是互斥事件，互斥事件也一定是對立事件． (　　) (

5、3)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的． (　　) (4)若事件A發(fā)生的概率為P(A)，則0＜P(A)＜1. (　　) [答案](1)√　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對立事件是(　　) A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶 C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶 D　[“至少有一次中靶”的對立事件是“兩次都不中靶”．] 2．有一個(gè)容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9；[23.5，27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[3

6、1.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5]，3. 根據(jù)樣本的頻率分布估計(jì)，數(shù)據(jù)落在[27.5,43.5]內(nèi)的概率約是________． 　[由條件可知，落在[27.5,43.5]內(nèi)的數(shù)據(jù)有11＋12＋7＋3＝33(個(gè))，故所求概率約是＝.] 3．一副混合后的撲克牌(52張)中，隨機(jī)抽取1張，事件A為“抽得紅桃K”，事件B為“抽得黑桃”，則概率P(A＋B)＝________.(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示) 　[P(A)＝，P(B)＝，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.] 4．甲、乙二人下棋，甲不輸?shù)母怕蕿?.8，則乙獲勝的概率為________． 0

7、.2　[事件“乙獲勝”的對立事件是“甲不輸”，根據(jù)對立事件的概率計(jì)算公式可得，乙獲勝的概率為：1－0.8＝0.2.] (對應(yīng)學(xué)生用書第189頁) ⊙考點(diǎn)1　隨機(jī)事件之間的關(guān)系 　判斷互斥、對立事件的兩種方法 (1)定義法：判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．對立事件是互斥事件的充分不必要條件． (2)集合法：①由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥． ②事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集． 　1.把

8、紅、藍(lán)、黑、白4張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人分得一張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是(　　) A．對立事件　 B．互斥但不對立事件 C．不可能事件 D．以上都不對 B　[事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”不會(huì)同時(shí)發(fā)生，兩者是互斥事件，但仍然有可能甲、乙均不能分得紅牌，所以二者不是對立事件，故選B.] 2．把語文、數(shù)學(xué)、英語三本學(xué)習(xí)書隨機(jī)地分給甲、乙、丙三位同學(xué)，每人一本，則事件A：“甲分得語文書”，事件B：“乙分得數(shù)學(xué)書”，事件C：“丙分得英語書”，則下列說法正確的是(　　) A．A與B是不可能事件 B．A＋B＋C是必然事件 C．A與B不是互斥事件 D．B與C

9、既是互斥事件也是對立事件 C　[事件A，B，C可能同時(shí)發(fā)生，也可能不同時(shí)發(fā)生，因此選項(xiàng)A，B，D錯(cuò)，C正確．] 3．在5張電話卡中，有3張移動(dòng)卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動(dòng)卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　) A．至多有一張移動(dòng)卡 B．恰有一張移動(dòng)卡 C．都不是移動(dòng)卡 D．至少有一張移動(dòng)卡 A　[至多有一張移動(dòng)卡包含“一張移動(dòng)卡，一張聯(lián)通卡”，“2張全是聯(lián)通卡”兩個(gè)事件，它是“2張全是移動(dòng)卡”的對立事件．] 　第2題易誤選B，造成錯(cuò)誤的原因是忽視了事件A，B，C可能同時(shí)發(fā)生，也可能不同時(shí)發(fā)生． ⊙考點(diǎn)2　隨機(jī)事件的概率與頻率 1．計(jì)算簡單隨機(jī)事件頻率

10、或概率的解題思路 (1)計(jì)算出所求隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻數(shù)及總事件的頻數(shù)． (2)由頻率與概率的關(guān)系得所求． 2．求解以統(tǒng)計(jì)圖表為背景的隨機(jī)事件的頻率或概率問題的關(guān)鍵點(diǎn) 求解該類問題的關(guān)鍵是由所給頻率分布表、頻率分布直方圖或莖葉圖等圖表，計(jì)算出所求隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻數(shù)，進(jìn)而利用頻率與概率的關(guān)系得所求． 　某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出 險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 保費(fèi) 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一

11、年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表： 出險(xiǎn) 次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 頻數(shù) 60 50 30 30 20 10 (1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”，求P(A)的估計(jì)值； (2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”，求P(B)的估計(jì)值； (3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值． [解](1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2的頻率為＝0.55，故P(A)的估計(jì)值為0.55. (2)事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大

12、于1且小于4的頻率為＝0.3，故P(B)的估計(jì)值為0.3. (3)由所給數(shù)據(jù)得 保費(fèi) 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 頻率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a. 因此，續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為1.192 5a. [母題探究] 1．若本例的條件不變，試求“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不低于基本保費(fèi)”的概率的估計(jì)值． [解]　設(shè)事件“一續(xù)保人本年度的

13、保費(fèi)不低于基本保費(fèi)”為E，事件E對應(yīng)于出險(xiǎn)次數(shù)大于或等于1，由本例(3)知出險(xiǎn)次數(shù)小于1的頻率為0.3，故一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于或等于1的頻率為1－0.3＝0.7，故P(E)的估計(jì)值為0.7. 2．若本例的條件不變，記F為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)等于基本保費(fèi)”，求P(F)的估計(jì)值． [解]　“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)等于基本保費(fèi)”的事件F發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)等于1，其頻率為0.25，故P(F)的估計(jì)值為0.25. 　本例第(1)(2)兩問，考查了用頻率估計(jì)概率，第(3)問解題的關(guān)鍵是列出保費(fèi)與頻率的關(guān)系，再根據(jù)公式求平均保費(fèi)． [教師備選例題] 　某花店每天以每朵5元的價(jià)格從農(nóng)場購

14、進(jìn)若干朵玫瑰花，然后以每朵10元的價(jià)格出售．如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理． (1)若花店一天購進(jìn)17朵玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：朵，n∈N)的函數(shù)解析式； (2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：朵)，整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 頻數(shù) 10 20 16 16 15 13 10 ①假設(shè)花店在這100天內(nèi)每天購進(jìn)17朵玫瑰花，求這100天的日利潤(單位：元)的平均數(shù)； ②若花店一天購進(jìn)17朵玫瑰花，以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求當(dāng)天的利潤不少于

15、75元的概率． [解](1)當(dāng)日需求量n≥17時(shí)，利潤y＝85；當(dāng)日需求量n＜17時(shí)，利潤y＝10n－85. 所以利潤y關(guān)于當(dāng)天需求量n的函數(shù)解析式為y＝(n∈N*)． (2)①這100天的日利潤的平均數(shù)為 ＝76.4(元)． ②當(dāng)天的利潤不少于75元，當(dāng)且僅當(dāng)日需求量不少于16朵，故當(dāng)天的利潤不少于75元的概率為P＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7. 　(2017·全國卷Ⅲ)某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃

16、)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率． (1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率； (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的

17、進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率． [解](1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計(jì)值為0.6. (2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)， 若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900； 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300； 若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100， 所以，Y的所有可能值為900,300，－100.

18、Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為＝0.8，因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8. ⊙考點(diǎn)3　互斥事件、對立事件的概率 　求復(fù)雜的互斥事件的概率的方法 (1)直接法 (2)間接法(正難則反) 　某商場有獎(jiǎng)銷售中，購滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購多得.1 000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A，B，C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率； (3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率． [解](1)P(A)＝， P(B

19、)＝＝， P(C)＝＝. 故事件A，B，C的概率分別為，，. (2)1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)包含中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)．設(shè)“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”這個(gè)事件為M，則M＝A∪B∪C. ∵A，B，C兩兩互斥， ∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝＝， 故1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率約為. (3)設(shè)“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”為事件N，則事件N與“1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)或中一等獎(jiǎng)”為對立事件， ∴P(N)＝1－P(A＋B)＝1－＝， 故1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率為. 　求概率時(shí)，若直接求解較復(fù)雜，可考慮先求其對立事件的概率． 　1.從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件A＝

20、{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為(　　) A．0.3　　　B．0.65　　　C．0.35　　　D．0.5 C　[事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”與事件A是對立事件，因此所求概率P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35，故選C.] 2．某城市2019年的空氣質(zhì)量狀況如表所示： 污染指數(shù)T 30 60 100 110 130 140 概率P 其中污染指數(shù)T≤50時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50＜T≤100時(shí)，空氣質(zhì)量為良；100＜T≤150時(shí)，空氣質(zhì)量為輕微污染，則該城市2019年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為________． 　[設(shè)“空氣質(zhì)量為優(yōu)”為事件A，“空氣質(zhì)量為良”為事件B，“空氣質(zhì)量為良或優(yōu)”為事件C，則P(A)＝，P(B)＝＋＝，則P(C)＝P(A＋B)＝＋＝.] - 8 -