2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第二章 第9節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用 理（含解析）

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1、2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第二章 第9節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用 理（含解析） 1.（xx湖南，5分）某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長(zhǎng)率為p，第二年的增長(zhǎng)率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為(　　) A. B. C. D.－1 解析：設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，原生產(chǎn)總值為a，則(1＋p)(1＋q)a＝a(1＋x)2，解得x＝－1，故選D. 答案：D 2.（xx山東，5分）已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)．對(duì)函數(shù)y＝g(x)(x∈I)，定義g(x)關(guān)于f(x

2、)的“對(duì)稱函數(shù)”為函數(shù)y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)滿足：對(duì)任意x∈I，兩個(gè)點(diǎn)(x，h(x))，(x，g(x))關(guān)于點(diǎn)(x，f(x))對(duì)稱．若h(x)是g(x)＝關(guān)于f(x)＝3x＋b的“對(duì)稱函數(shù)”，且h(x)>g(x)恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________． 解析：函數(shù)g(x)的定義域是[－2,2]， 根據(jù)已知得＝f(x)， 所以h(x)＝2f(x)－g(x)＝6x＋2b－. 又h(x)>g(x)恒成立， 即6x＋2b－> 恒成立， 即3x＋b>恒成立． 令y＝3x＋b，y＝， 則只要直線y＝3x＋b在半圓x2＋y2＝4(y≥0)上方即可，由>2，解得b>2(舍去

3、負(fù)值)， 故實(shí)數(shù)b的取值范圍是(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞) 3．（xx陜西，5分）在如圖所示的銳角三角形空地中， 欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分), 則其邊長(zhǎng)x為_(kāi)_______(m)． 解析：本題主要考查構(gòu)建函數(shù)模型，利用基本不等式求解應(yīng)用問(wèn)題的能力．如圖，過(guò)A作AH⊥BC于H，交DE于F，易知＝＝＝?AF＝x?FH＝40－x.則S＝x(40－x)≤2，當(dāng)且僅當(dāng)40－x＝x，即x＝20時(shí)取等號(hào)．所以滿足題意的邊長(zhǎng)x為20(m)． 答案：20 4．（xx重慶，12分）某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為

4、V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率)． (1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域； (2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大． 解：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想． (1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為100×2πrh＝200πrh元，底面的總成本為160πr2元，所以蓄水池的總成本為(200πrh＋160πr2)元． 根據(jù)題意得200πrh＋160πr2＝12

5、000π， 所以h＝(300－4r2)， 從而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)． 由h>0，且r>0可得00，故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)； 當(dāng)r∈(5,5)時(shí)，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上為減函數(shù)． 由此可知，V(r)在r＝5處取得最大值，此時(shí)h＝8，即當(dāng)r＝5，h＝8時(shí)，該蓄水池的體積最大． 5．（xx江西，

6、5分）某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過(guò)50畝，投入資金不超過(guò)54萬(wàn)元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表(　　) 年產(chǎn)量/畝 年種植成本/畝 每噸售價(jià) 黃瓜 4噸 1.2萬(wàn)元 0.55萬(wàn)元 韭菜 6噸 0.9萬(wàn)元 0.3萬(wàn)元 為使一年的種植總利潤(rùn)(總利潤(rùn)＝總銷售收入－總種植成本)最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別為(　　) A．50,0　　　　　　　　 B．30,20 C．20,30 D．0,50 解析：設(shè)黃瓜和韭菜的種植面積分別為x畝，y畝，總利潤(rùn)為z萬(wàn)元，則目標(biāo)函數(shù)為z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y

7、)＝x＋0.9y. 線性約束條件為即 畫(huà)出可行域，如圖所示． 作出直線l0：x＋0.9y＝0，向上平移至過(guò)點(diǎn)B時(shí)，z取得最大值，由求得B(30,20)，故選B. 答案：B 6．（xx湖南，5分）設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0. (1)記集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，且a＝b}，則(a，b，c)∈M所對(duì)應(yīng)的f(x)的零點(diǎn)的取值集合為_(kāi)_______； (2)若a，b，c是△ABC的三條邊長(zhǎng)，則下列結(jié)論正確的是________．(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)) ①?x∈(－∞，1)，f(x)>0； ②?x∈R，使ax

8、，bx，cx不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)； ③若△ABC為鈍角三角形，則?x∈(1,2)，使f(x)＝0. 解析：本小題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、全稱量詞和存在量詞的含義、零點(diǎn)存在性定理及推理論證能力． (1)由題設(shè)f(x)＝0，a＝b?2ax＝cx?x＝， 又a＋b≤c，a＝b?≤?x≤x，x>0，所以≤x?0c?＋>1，又0<<1,0<<1，?x∈(－∞，1)?x>，x>?x＋x>1，即f(x)>0，所以①正確；由(1)可知②正確； 由△ABC為鈍角三角形，所以a2＋b2c，所以＋>1，所以f(1)>0，由零點(diǎn)存

9、在性定理可知③正確． 答案：{x|00，區(qū)間I＝{x|f(x)>0}． (1)求I的長(zhǎng)度(注：區(qū)間(α，β)的長(zhǎng)度定義為β－α)； (2)給定常數(shù)k∈(0,1)，當(dāng)1－k≤a≤1＋k時(shí)，求I長(zhǎng)度的最小值． 解：本題考查含參數(shù)的一元二次不等式的解法、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等，意在考查考生恒等變形能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力． (1)因?yàn)榉匠蘟x－(1＋a2)x2＝0(a>0)有兩個(gè)實(shí)根x1＝0，x2＝， 故f(x)>0的解集為{x|x1

10、2)設(shè)d(a)＝，則d′(a)＝.令d′(a)＝0，得a＝1.由于00，d(a)單調(diào)遞增； 當(dāng)1

11、程總和最小，這個(gè)最小值為_(kāi)_______(米)． 解析：當(dāng)放在最左側(cè)坑時(shí)，路程和為2×(0＋10＋20＋…＋190)；當(dāng)放在左側(cè)第2個(gè)坑時(shí)，路程和為2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(減少了360米)；當(dāng)放在左側(cè)第3個(gè)坑時(shí)，路程和為2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(減少了680米)；依次進(jìn)行，顯然當(dāng)放在中間的第10、11個(gè)坑時(shí)，路程和最小，為2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2000米． 答案：xx 9．（xx湖南，13分）某企業(yè)接到生產(chǎn)3 000臺(tái)某產(chǎn)品的A，B，C三種部件的訂單，每臺(tái)產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2,2,1(單位：件)．已知每個(gè)工

12、人每天可生產(chǎn)A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．該企業(yè)計(jì)劃安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件，生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k(k為正整數(shù))． (1)設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為x，分別寫出完成A，B，C三種部件生產(chǎn)需要的時(shí)間； (2)假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時(shí)開(kāi)工，試確定正整數(shù)k的值，使完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，并給出時(shí)間最短時(shí)具體的人數(shù)分組方案． 解：(1)設(shè)完成A，B，C三種部件的生產(chǎn)任務(wù)需要的時(shí)間(單位：天)分別為T1(x)，T2(x)，T3(x)，由題設(shè)有 T1(x)＝＝，T2(x)＝，T3(x)＝， 其中x，kx,200－(1＋k)x均為1到200之

13、間的正整數(shù)． (2)完成訂單任務(wù)的時(shí)間為f(x)＝max{T1(x)，T2(x)，T3(x)}，其定義域?yàn)閧x|0＜x＜，x∈N*}，易知，T1(x)，T2(x)為減函數(shù)，T3(x)為增函數(shù)．注意到T2(x)＝T1(x)，于是 ①當(dāng)k＝2時(shí)，T1(x)＝T2(x)，此時(shí) f(x)＝max{T1(x)，T3(x)}＝max{，}． 由函數(shù)T1(x)，T3(x)的單調(diào)性知，當(dāng)＝時(shí)f(x)取得最小值，解得x＝. 由于44＜＜45，而f(44)＝T1(44)＝， f(45)＝T3(45)＝，f(44)＜f(45)． 故當(dāng)x＝44時(shí)完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，且最短時(shí)間為f(44)＝. ②當(dāng)

14、k＞2時(shí)，T1(x)＞T2(x)，由于k為正整數(shù)，故k≥3，此時(shí)≥＝. 記T(x)＝，φ(x)＝max{T1(x)，T(x)}，易知T(x)是增函數(shù)，則 f(x)＝max{T1(x)，T3(x)}≥max{T1(x)， T(x)}＝φ(x)＝max{，}． 由函數(shù)T1(x)，T(x)的單調(diào)性知，當(dāng)＝時(shí)φ(x)取最小值，解得x＝. 由于36＜＜37，而φ(36)＝T1(36)＝＞， φ(37)＝T(37)＝＞.此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間大于. (3)當(dāng)k＜2時(shí)，T1(x)＜T2(x)，由于k為正整數(shù)，故k＝1，此時(shí)f(x)＝max{T2(x)，T3(x)}＝max{，}． 由函數(shù)T2(x)，T3(x)的單調(diào)性知，當(dāng)＝時(shí)f(x)取最小值，解得x＝，類似(1)的討論，此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間為，大于. 綜上所述，當(dāng)k＝2時(shí)，完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，此時(shí)，生產(chǎn)A，B，C三種部件的人數(shù)分別為44,88,68.