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1、2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第七章 第5節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 理（含解析）
1．（xx安徽，5分）設(shè)平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：若α⊥β，又α∩β＝m，b?β，b⊥m，根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理可得b⊥α，又因?yàn)閍?α，所以a⊥b；反過(guò)來(lái)，當(dāng)a∥m時(shí)，因?yàn)閎⊥m，一定有b⊥a，但不能保證b⊥α，即不能推出α⊥β.
答案：A
2．（2011浙江，5分）下列命題中錯(cuò)誤的
2、是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β
解析：對(duì)于D，若平面α⊥平面β，則平面α內(nèi)的直線可能不垂直于平面β，甚至可能平行于平面β，其余選項(xiàng)均是正確的．
答案：D
3．（2011新課標(biāo)全國(guó)，12分）如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.
(1)證明：PA⊥BD；
(2)若PD＝AD，
3、求二面角A－PB－C的余弦值．
解：(1)證明：因?yàn)椤螪AB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD.
從而B(niǎo)D2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.
所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.
(2)如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則
A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0,0,1)．
＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1,0,0)．
設(shè)平面PAB的法向量為n＝(x，y，z)，則
即
因此可取n＝(，1，)．
設(shè)平面PBC的法向量為m，則
可取m＝(0，－1，－)．則cos〈m，n〉＝＝－.
故二面角A－PB－C的余弦值為－.
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