2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第三章 3-1角的概念及任意角的三角函數(shù)《教案》

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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第三章 3-1角的概念及任意角的三角函數(shù)《教案》 1．角的概念 (1)任意角：①定義：一個(gè)角可以看做平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形；②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角． (2)所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． (3)象限角：使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限． 2．弧度制 (1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的

2、圓心角叫做1弧度的角，正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，1 rad＝°. (3)扇形的弧長(zhǎng)公式：l＝|α|·r，扇形的面積公式：S＝lr＝|α|·r2. 3．任意角的三角函數(shù) 任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)時(shí)，sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．三個(gè)三角函數(shù)的初步性質(zhì)如下表： 三角函數(shù) 定義域 第一象限符號(hào) 第二象 限符號(hào) 第三象 限符號(hào) 第四象 限符號(hào) sin α R ＋ ＋ － － cos α R ＋ － － ＋ ta

3、n α {α|α≠kπ＋，k∈Z} ＋ － ＋ － 4.三角函數(shù)線 如下圖，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過(guò)P作PM⊥x軸，垂足為M，過(guò)A(1,0)作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T. 三角函 數(shù)線 有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線 【思考辨析】 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”) (1)角α終邊上點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－，)，那么sin α＝，cos α＝－；同理角α終邊上點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0，y0)，那么sin α＝y(tǒng)0，cos α＝x0.(　×　) (2)銳角是第一象限角，反之亦然．(　×　)

4、 (3)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．(　√　) (4)點(diǎn)P(tan α，cos α)在第三象限，則角α終邊在第二象限．(　√　) (5)α∈(0，)，則tan α>α>sin α.(　√　) (6)α為第一象限角，則sin α＋cos α>1.(　√　) 1．角－870°的終邊所在的象限是第________象限． 答案　三 解析　由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角終邊相同，在第三象限． 2．已知2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，那么這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是________． 答案　 解析　設(shè)圓的半徑為r，則sin 1＝，∴r＝， ∴2弧

5、度的圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為2r＝. 3．已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sin θ＝－，則y＝____________. 答案?。? 解析　因?yàn)閟in θ＝＝－， 所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8. 4．函數(shù)y＝的定義域?yàn)開(kāi)_______． 答案　(k∈Z) 解析　∵2cos x－1≥0， ∴cos x≥. 由三角函數(shù)線畫(huà)出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示)． ∴x∈(k∈Z)． 題型一　角及其表示 例1　(1)終邊在直線y＝x上的角的集合是________． (2)如果α是第三象限角，那么角2α的終邊落在____

6、____． 答案　(1){α|α＝kπ＋，k∈Z}　(2)第一、二象限或y軸的非負(fù)半軸上 解析　(1)∵在(0，π)內(nèi)終邊在直線y＝x上的角是， ∴終邊在直線y＝x上的角的集合為{α|α＝＋kπ，k∈Z}． (2)∵2kπ＋π<α<2kπ＋π，k∈Z， ∴4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z. ∴角2α的終邊落在第一、二象限或y軸的非負(fù)半軸上． 思維升華　(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫(xiě)出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來(lái)求得所需的角． (2)利用終邊相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判斷一個(gè)角β所在

7、的象限時(shí)，只需把這個(gè)角寫(xiě)成[0,2π)范圍內(nèi)的一個(gè)角α與2π的整數(shù)倍的和，然后判斷角α的象限． 　(1)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，對(duì)于始邊為x軸非負(fù)半軸的角，下列命題中正確的是________．(填序號(hào)) ①第一象限中的角一定是銳角； ②終邊相同的角必相等； ③相等的角終邊一定相同； ④不相等的角終邊一定不同． (2)已知角α＝45°，在區(qū)間[－720°，0°]內(nèi)與角α有相同終邊的角β＝________. 答案　(1)③　(2)－675°或－315° 解析　(1)第一象限角是滿足2kπ<α<2kπ＋，k∈Z的角，當(dāng)k≠0時(shí)，它都不是銳角，與角α終邊相同的角是2kπ＋α，k∈Z；當(dāng)k≠0

8、時(shí)，它們都與α不相等，亦即終邊相同的角可以不相等，但不相等的角終邊可以相同． (2)由終邊相同的角關(guān)系知β＝k·360°＋45°，k∈Z， ∴取k＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°. 題型二　三角函數(shù)的概念 例2　(1)已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos 2θ＝________. (2)若sin αtan α<0，且<0，則角α是第________象限角． 思維點(diǎn)撥　(1)由于三角函數(shù)值與選擇終邊上的哪個(gè)點(diǎn)沒(méi)有關(guān)系，因此知道了終邊所在的直線，可在這個(gè)直線上任取一點(diǎn)，然后按照三角函數(shù)的定義來(lái)計(jì)算，最后用倍角公式求值． (2)

9、可以根據(jù)各象限內(nèi)三角函數(shù)值的符號(hào)判斷． 答案　(1)－　(2)三 解析　(1)取終邊上一點(diǎn)(a,2a)，a≠0，根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，可得cos θ＝±， 故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－. (2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α異號(hào)，從而角α為第二或第三象限角． 由<0可知cos α，tan α異號(hào)，從而角α為第三或第四象限角，故角α為第三象限角． 思維升華　(1)利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)值，需確定三個(gè)量：角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r. (2)根據(jù)三角函數(shù)定義中x、y的符號(hào)來(lái)確定各象限內(nèi)三角函數(shù)

10、的符號(hào)，理解并記憶：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”． 　(1)已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，則m的值為_(kāi)_______． (2)若θ是第二象限角，則________0.(判斷大小) 答案　(1)　(2)< 解析　(1)∵r＝， ∴cos α＝＝－， ∴m>0，∴＝，即m＝. (2)∵θ是第二象限角，∴－10，∴<0. 題型三　弧度制的應(yīng)用 例3　已知一扇形的圓心角為α (α>0)，所在圓的半徑為R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇

11、形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形的面積； (2)若扇形的周長(zhǎng)是一定值C (C>0)，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？ 思維點(diǎn)撥　(1)弓形面積可用扇形面積與三角形面積相減得到；(2)建立關(guān)于α的函數(shù)． 解　(1)設(shè)弧長(zhǎng)為l，弓形面積為S弓，則 α＝60°＝，R＝10，l＝×10＝ (cm)， S弓＝S扇－S△＝××10－×102×sin ＝π－＝50 (cm2)． (2)扇形周長(zhǎng)C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝， ∴S扇＝α·R2＝α·2 ＝α·＝·≤. 當(dāng)且僅當(dāng)α2＝4，即α＝2時(shí)，扇形面積有最大值. 思維升華　涉及弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算時(shí)，可用的公式有角度表示和弧度表示兩

12、種，其中弧度表示的公式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易記好用，在使用前，應(yīng)將圓心角用弧度表示．弧長(zhǎng)和扇形面積公式：l＝|α|R，S＝|α|R2. 　已知扇形的周長(zhǎng)為4 cm，當(dāng)它的半徑為_(kāi)_______和圓心角為_(kāi)_______弧度時(shí)，扇形面積最大，這個(gè)最大面積是________． 答案　1 cm　2　1 cm2 解析　設(shè)扇形圓心角為α，半徑為r，則 2r＋|α|r＝4，∴|α|＝－2. ∴S扇形＝|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1， ∴當(dāng)r＝1時(shí)，(S扇形)max＝1，此時(shí)|α|＝2. 數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用 典例：(1)函數(shù)y＝ 的定義域?yàn)開(kāi)_______． (2)如圖

13、，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動(dòng)．當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于C(2,1)時(shí)，的坐標(biāo)為_(kāi)_______． 思維點(diǎn)撥　(1)求函數(shù)定義域可轉(zhuǎn)化為解不等式sin x≥，利用三角函數(shù)線可直觀清晰地得出角x的范圍． (2)點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵，可在圖中作三角形，尋找P點(diǎn)坐標(biāo)和三角形邊長(zhǎng)的關(guān)系． 解析　(1)∵sin x≥，作直線y＝交單位圓于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α的終邊的范圍，故滿足條件的角α的集合為 {x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}． (2)如圖

14、所示，過(guò)圓心C作x軸的垂線，垂足為A，過(guò)P作x軸的垂線與過(guò)C作y軸的垂線交于點(diǎn)B.因?yàn)閳A心移動(dòng)的距離為2，所以劣?。?，即圓心角∠PCA＝2， 則∠PCB＝2－，所以PB＝sin(2－)＝－cos 2， CB＝cos(2－)＝sin 2， 所以xP＝2－CB＝2－sin 2，yP＝1＋PB＝1－cos 2， 所以＝(2－sin 2,1－cos 2)． 答案　(1)[2kπ＋，2kπ＋π], k∈Z (2)(2－sin 2,1－cos 2) 溫馨提醒　(1)利用三角函數(shù)線解三角不等式要在單位圓中先作出臨界情況，然后觀察適合條件的角的位置；(2)解決和旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問(wèn)題要抓住旋轉(zhuǎn)過(guò)程

15、中角的變化，結(jié)合弧長(zhǎng)公式、三角函數(shù)定義尋找關(guān)系. 方法與技巧 1．在利用三角函數(shù)定義時(shí)，點(diǎn)P可取終邊上任一點(diǎn)，如有可能則取終邊與單位圓的交點(diǎn)．OP＝r一定是正值． 2．三角函數(shù)符號(hào)是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，在理解的基礎(chǔ)上可借助口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 3．在解簡(jiǎn)單的三角不等式時(shí)，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個(gè)小技巧． 失誤與防范 1．注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角．第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角． 2．角度制與弧度制可利用180°＝π rad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用． 3．已知三角函數(shù)值的符號(hào)確

16、定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況. A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：40分鐘) 1．角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－1,2)，則sin α＝________. 答案　 解析　由三角函數(shù)的定義， 得sin α＝＝. 2．若一圓弧長(zhǎng)等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則其圓心角α∈(0，π)的弧度數(shù)為_(kāi)_______． 答案　 解析　設(shè)圓半徑為r，則其內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為r， 所以r＝α·r，∴α＝. 3．已知角x的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(sin，cos)，則角x的最小正值為_(kāi)_______． 答案　 解析　因?yàn)閟in x＝cos＝－，cos x＝sin＝， 所以x＝－＋2kπ

17、(k∈Z)，故當(dāng)k＝1時(shí)，x＝， 即角x的最小正值為. 4．若α是第三象限角，則y＝＋的值為_(kāi)_______． 答案　0 解析　∵α是第三象限角， ∴2kπ＋π<α<2kπ＋π(k∈Z)， ∴kπ＋<

18、＝＝， 于是＝＝＝. 6．設(shè)α為第二象限角，其終邊上一點(diǎn)為P(m，)，且cos α＝m，則sin α的值為_(kāi)_______． 答案　 解析　設(shè)P(m，)到原點(diǎn)O的距離為r， 則＝cos α＝m， ∴r＝2，sin α＝＝＝. 7．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，則cos α＝________. 答案?。? 解析　由題意及圖，易知A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－， 所以cos α＝－. 8．函數(shù)y＝＋ 的定義域是________________________________________． 答案　(k∈Z) 解析　由題意知即 ∴x

19、的取值范圍為＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z. 9．已知角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－，m) (m≠0)且sin θ＝m，試判斷角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． 解　由題意，得r＝， 所以sin θ＝＝m. 因?yàn)閙≠0，所以m＝±，故角θ是第二或第三象限角． 當(dāng)m＝時(shí)，r＝2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－，)，角θ是第二象限角， 所以cos θ＝＝＝－， tan θ＝＝＝－； 當(dāng)m＝－時(shí)，r＝2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－，－)，角θ是第三象限角， 所以cos θ＝＝＝－， tan θ＝＝＝. 10．已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長(zhǎng)為l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇

20、形的弧長(zhǎng)l. (2)若扇形的周長(zhǎng)為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？ (3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面積． 解　(1)α＝60°＝，l＝10×＝(cm)． (2)由已知得，l＋2R＝20， 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2 ＝－(R－5)2＋25， 所以當(dāng)R＝5時(shí)，S取得最大值25， 此時(shí)l＝10，α＝2. (3)設(shè)弓形面積為S弓． 由題知l＝cm， S弓＝S扇形－S三角形 ＝××22－×22×sin ＝(－)(cm2)． B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：20分鐘) 1．若一扇形的圓心角為72°，半徑為20

21、 cm，則扇形的面積為_(kāi)_______cm2. 答案　80π 解析　∵72°＝， ∴S扇形＝αr2＝××202＝80π(cm2)． 2．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ與角α的終邊相同，則y＝＋＋的值為_(kāi)_______． 答案?。? 解析　由α＝2kπ－(k∈Z)及終邊相同的概念知，角α的終邊在第四象限， 又角θ與角α的終邊相同，所以角θ是第四象限角， 所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0. 所以y＝－1＋1－1＝－1. 3．在直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(，－1)，將OA繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)450°到B點(diǎn)，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______． 答案　(1，

22、) 解析　設(shè)B(x，y)，由題意知OA＝OB＝2，∠BOx＝60°，且點(diǎn)B在第一象限， ∴x＝2cos 60°＝1， ∴y＝2sin 60°＝， ∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，)． 4．設(shè)MP和OM分別是角的正弦線和余弦線，則給出的以下不等式： ①M(fèi)P0，∴②正確． 5．如圖所示，動(dòng)點(diǎn)P，Q從點(diǎn)A(4,0)出發(fā)沿圓周運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)弧度，點(diǎn)Q按順時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)弧度，求點(diǎn)P，點(diǎn)Q第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間、相遇點(diǎn)的坐標(biāo)及P，Q點(diǎn)各自走過(guò)的弧長(zhǎng)． 解　設(shè)P，Q第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間是t， 則t·＋t·|－|＝2π. 所以t＝4(秒)，即第一次相遇的時(shí)間為4秒． 設(shè)第一次相遇點(diǎn)為C，第一次相遇時(shí)P點(diǎn)和Q點(diǎn)已運(yùn)動(dòng)到終邊在·4＝的位置， 則xC＝－cos·4＝－2， yC＝－sin·4＝－2. 所以C點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2，－2)． P點(diǎn)走過(guò)的弧長(zhǎng)為π·4＝π， Q點(diǎn)走過(guò)的弧長(zhǎng)為π·4＝π.