2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 8 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像與性質(zhì)(二)學(xué)案 北師大版必修4

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 8 函數(shù)yAsin(x)的圖像與性質(zhì)(二)學(xué)案 北師大版必修4學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)yAsin(x)的圖像.2.能根據(jù)yAsin(x)的部分圖像，確定其解析式.3.了解yAsin(x)的圖像的物理意義，能指出簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中的振幅、周期、相位、初相.知識(shí)點(diǎn)一“五點(diǎn)法”作函數(shù)yAsin(x)(A0，0)的圖像思考1用“五點(diǎn)法”作ysin x，x0，2時(shí)，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次取哪幾個(gè)值？答案依次為0，2.思考2用“五點(diǎn)法”作yAsin(x)時(shí)，五個(gè)關(guān)鍵的橫坐標(biāo)取哪幾個(gè)值？答案用“五點(diǎn)法”作函數(shù)yAsin(x)(xR)的簡(jiǎn)圖，先令tx，再由t取

2、0，2即可得到所取五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，.梳理用“五點(diǎn)法”作yAsin(x) 的圖像的步驟：第一步：列表：x02xy0A0A0第二步：在同一坐標(biāo)系中描出各點(diǎn).第三步：用光滑曲線連接這些點(diǎn)，形成圖像.知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)yAsin(x)，A0，0的性質(zhì)名稱性質(zhì)定義域R值域A，A周期性T對(duì)稱性對(duì)稱中心(kZ)對(duì)稱軸x(kZ)奇偶性當(dāng)k(kZ)時(shí)是奇函數(shù)；當(dāng)k(kZ)時(shí)是偶函數(shù)單調(diào)性通過整體代換可求出其單調(diào)區(qū)間知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)yAsin(x)，A0，0中參數(shù)的物理意義1.函數(shù)y2sin的振幅是2.()提示振幅是2.2.函數(shù)ysin的初相是.()提示初相是.3.函數(shù)ysin的圖像的對(duì)稱軸方程是xk，kZ.()

3、提示令xk，kZ，解得xk，kZ，即f(x)的圖像的對(duì)稱軸方程是xk，kZ.類型一用“五點(diǎn)法”畫yAsin(x)的圖像例1利用五點(diǎn)法作出函數(shù)y3sin在一個(gè)周期內(nèi)的圖像.考點(diǎn)用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的簡(jiǎn)圖題點(diǎn)用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的簡(jiǎn)圖解依次令0，2，列出下表：02xy03030描點(diǎn)，連線，如圖所示.反思與感悟(1)用“五點(diǎn)法”作圖時(shí)，五點(diǎn)的確定，應(yīng)先令x分別為0，2，解出x，從而確定這五點(diǎn).(2)作給定區(qū)間上yAsin(x)的圖像時(shí)，若xm，n，則應(yīng)先求出x的相應(yīng)范圍，在求出的范圍內(nèi)確定關(guān)鍵點(diǎn)，再確定x，y的值，描點(diǎn)、連線并作出函數(shù)的圖像.跟蹤訓(xùn)練1已知f(x)1sin，畫出f(x)在x上的圖

4、像.考點(diǎn)用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的簡(jiǎn)圖題點(diǎn)用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的簡(jiǎn)圖解(1)x，2x.列表如下：x2x0f(x)211112(2)描點(diǎn)，連線，如圖所示.類型二由圖像求函數(shù)yAsin(x)的解析式例2如圖是函數(shù)yAsin(x)的圖像，求A，的值，并確定其函數(shù)解析式.考點(diǎn)由圖像求函數(shù)yAsin(x)的解析式題點(diǎn)由圖像求函數(shù)yAsin(x)的解析式解方法一(逐一定參法)由圖像知振幅A3，又T，2.由點(diǎn)可知，20，得，y3sin.方法二(待定系數(shù)法)由圖像知A3，又圖像過點(diǎn)和，根據(jù)五點(diǎn)作圖法原理(以上兩點(diǎn)可判為“五點(diǎn)法”中的第三點(diǎn)和第五點(diǎn))，有解得y3sin.方法三(圖像變換法)由T，點(diǎn)，A3可知，圖

5、像是由y3sin 2x向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到的，y3sin，即y3sin.反思與感悟若設(shè)所求解析式為yAsin(x)，則在觀察函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上，可按以下規(guī)律來確定A，.(1)由函數(shù)圖像上的最大值、最小值來確定|A|.(2)由函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)確定T，由T，確定.(3)確定函數(shù)yAsin(x)的初相的值的兩種方法代入法：把圖像上的一個(gè)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入(此時(shí)A，已知)或代入圖像與x軸的交點(diǎn)求解.(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法：確定值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口.“五點(diǎn)”的x的值具體如下：“第一點(diǎn)”(即圖像上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為x0；“第二點(diǎn)”(即

6、圖像的“峰點(diǎn)”)為x；“第三點(diǎn)”(即圖像下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))為x；“第四點(diǎn)”(即圖像的“谷點(diǎn)”)為x；“第五點(diǎn)”為x2.跟蹤訓(xùn)練2(2017貴州貴陽一中期末考試)已知函數(shù)f(x)sin(x)(0)的部分圖像如圖所示，則 .考點(diǎn)求三角函數(shù)的解析式題點(diǎn)根據(jù)三角函數(shù)的圖像求解析式答案解析由圖，知，T，又T，.類型三函數(shù)yAsin(x)性質(zhì)的應(yīng)用例3已知曲線yAsin(x)上最高點(diǎn)為(2，)，該最高點(diǎn)與相鄰的最低點(diǎn)間的曲線與x軸交于點(diǎn)(6，0).(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在x6，0上的值域.考點(diǎn)三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用題點(diǎn)三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用解(1)由題意可知A，624，T16，即16，ysi

7、n.又圖像過最高點(diǎn)(2，)，sin1，故2k，kZ，2k，kZ，由|，得，ysin.(2)6x0，x，sin1.即函數(shù)在x6，0上的值域?yàn)椋?.跟蹤訓(xùn)練3設(shè)函數(shù)f(x)sin(2x)(0)，函數(shù)yf(x)的圖像的一條對(duì)稱軸是直線x.(1)求的值；(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間及最值.考點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)題點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)性質(zhì)的應(yīng)用解(1)由2xk，kZ，得x，令，得k，kZ.0，.(2)由(1)知，f(x)sin.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，故函數(shù)的遞增區(qū)間是(kZ).同理可得函數(shù)的遞減區(qū)間是(kZ)當(dāng)2x2k(kZ)，即xk(kZ)時(shí)，函數(shù)取得最大值1；當(dāng)2x

8、2k(kZ)，即xk(kZ)時(shí)，函數(shù)取得最小值1.1.函數(shù)yAsin(x)(A0，0)的圖像的一段如圖所示，它的解析式可以是()A.ysinB.ysinC.ysinD.ysin考點(diǎn)由圖像求函數(shù)yAsin(x)的解析式題點(diǎn)由圖像求函數(shù)yAsin(x)的解析式答案A解析由圖像可得A，所以T，所以2，所以ysin(2x).將點(diǎn)的坐標(biāo)代入ysin(2x)，得sin，則sin1，所以2k(kZ)，即2k(kZ).又00)的最小正周期為，則該函數(shù)的圖像()A.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.關(guān)于直線x對(duì)稱C.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.關(guān)于直線x對(duì)稱考點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)題點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)性質(zhì)的應(yīng)用答案A解析2，所以f

9、(x)sin.將x代入f(x)sin，得f0，故選A.5.已知函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖像如圖所示.(1)求f(x)的解析式；(2)寫出f(x)的遞增區(qū)間.考點(diǎn)三角函數(shù)yAsin(x)的綜合問題題點(diǎn)三角函數(shù)yAsin(x)的綜合問題解(1)易知A，T42(2)16，f(x)sin，將點(diǎn)(2，0)代入得sin0，令0，f(x)sin.(2)由2kx2k，kZ，解得16k6x16k2，kZ，f(x)的遞增區(qū)間為16k6，16k2，kZ.1.利用“五點(diǎn)”法作函數(shù)yAsin(x)的圖像時(shí)，要先令“x”這一個(gè)整體依次取0，2，再求出x的值，這樣才能得到確定圖像的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，而不是先確定x的值，后

10、求“x”的值.2.由函數(shù)yAsin(x)的部分圖像確定解析式關(guān)鍵在于確定參數(shù)A，的值.(1)一般可由圖像上的最大值、最小值來確定|A|.(2)因?yàn)門，所以往往通過求得周期T來確定，可通過已知曲線與x軸的交點(diǎn)從而確定T，即相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離為；相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))之間的距離為T.(3)從尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)零點(diǎn)(也叫初始點(diǎn))作為突破口，以yAsin(x) (A0，0)為例，位于遞增區(qū)間上離y軸最近的那個(gè)零點(diǎn)最適合作為“五點(diǎn)”中的第一個(gè)點(diǎn).3.在研究yAsin(x)(A0，0)的性質(zhì)時(shí)，注意采用整體代換的思想，如函數(shù)在x2k(kZ)時(shí)取得最大值，在x2k(kZ)時(shí)取得最小值

11、.一、選擇題1.若函數(shù)f(x)3sin(x)對(duì)任意x都有ff，則有f等于()A.3或0 B.3或0C.0 D.3或3考點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)題點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)性質(zhì)的應(yīng)用答案D解析由ff知，x是函數(shù)的對(duì)稱軸，解得f3或3，故選D.2.如圖所示，函數(shù)的解析式為()A.ysin B.ysinC.ycos D.ycos考點(diǎn)由圖像求函數(shù)yAsin(x)的解析式題點(diǎn)由圖像求函數(shù)yAsin(x)的解析式答案D解析由圖知T4，2.又當(dāng)x時(shí)，y1，經(jīng)驗(yàn)證，可得D項(xiàng)解析式符合題目要求.3.函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖像如圖所示，為了得到g(x)sin 3x的圖像，則只要將f(x)的圖像()A.向

12、右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度考點(diǎn)三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用題點(diǎn)三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用答案B解析由圖像知，函數(shù)f(x)的周期T4，所以3.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像過圖中最小值點(diǎn)，所以A1且sin1，又因?yàn)閨0，0)的圖像上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，然后再向左平移個(gè)單位，得到一個(gè)最小正周期為2的奇函數(shù)g(x)，則和的值分別為()A.1， B.2， C.， D.，考點(diǎn)函數(shù)yAcos(x)的性質(zhì)題點(diǎn)函數(shù)yAcos(x)性質(zhì)的應(yīng)用答案B解析依題意得f(x)第一次變換得到的函數(shù)解析式為m(x)2cos，則函數(shù)g(x)2cos.因?yàn)楹瘮?shù)g(x

13、)的最小正周期為2，所以2，則g(x)2cos.又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，0，所以k(kZ)，則.5.函數(shù)f(x)cos(x)的部分圖像如圖所示，則f(x)的遞減區(qū)間為()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ考點(diǎn)函數(shù)yAcos(x)的性質(zhì)題點(diǎn)函數(shù)yAcos(x)性質(zhì)的應(yīng)用答案D解析由圖像知，周期T22，2，.由2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2kx2k，kZ，得2kx0，0，0)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖像如圖所示，EFG是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則f(1)的值為()A. B.C. D.考點(diǎn)函數(shù)yAcos(x)的性質(zhì)題點(diǎn)函數(shù)yAcos(x)性質(zhì)的應(yīng)用答案D解析由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且00，)

14、的圖像如圖所示，則 .考點(diǎn)由圖像求函數(shù)yAsin(x)的解析式題點(diǎn)由圖像求函數(shù)yAsin(x)的解析式答案解析由圖像知函數(shù)ysin(x)的周期為2，.當(dāng)x時(shí)，y有最小值1，2k(kZ)，即2k(kZ).0，0)上的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為，此點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)間的曲線與x軸交于點(diǎn)，若.(1)試求這條曲線的函數(shù)表達(dá)式；(2)用“五點(diǎn)法”畫出(1)中函數(shù)在0，上的圖像.考點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)的綜合問題題點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)的綜合問題解(1)由題意知A，T4，2，ysin(2x).又sin1，2k，kZ，2k，kZ.又，ysin.(2)列出x，y的對(duì)應(yīng)值表：x02x2y1001描點(diǎn)，連線，如圖所示.12.

15、已知函數(shù)f(x)2sin1(00)為偶函數(shù)，且函數(shù)f(x)的圖像的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為.(1)求f的值；(2)將函數(shù)f(x)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，再將得到的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖像，求函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間.考點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)題點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)性質(zhì)的應(yīng)用解(1)f(x)為偶函數(shù)，k(kZ)，k(kZ).又0，f(x)2sin12cos x1.又函數(shù)f(x)的圖像的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為，T2，2，f(x)2cos 2x1，f2cos11.(2)將f(x)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)f的圖像，再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐

16、標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到f的圖像.所以g(x)f2cos 212cos1.當(dāng)2k2k(kZ)，即4kx4k(kZ)時(shí)，g(x)是減函數(shù).函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是(kZ).四、探究與拓展13.設(shè)函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖像如圖所示，若x1，x2，且f(x1)f(x2)，則f(x1x2)等于()A.1 B. C. D.考點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)題點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)性質(zhì)的應(yīng)用答案D解析由圖像可得A1，解得2，f(x)sin(2x).點(diǎn)相當(dāng)于ysin x中的(0，0)，令20，解得，滿足|0，0，|)，在同一周期內(nèi)，當(dāng)x時(shí)，f(x)取得最大值3；當(dāng)x時(shí)，f(x)取得最小值3.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間；(3)若x時(shí)，函數(shù)h(x)2f(x)1m有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.考點(diǎn)三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用題點(diǎn)三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用解(1)由題意，易知A3，T2，2，由22k，kZ，得2k，kZ.又|，f(x)3sin.(2)由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為，kZ.(3)由題意知，方程sin在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)根.x，2x，sin，又方程有兩個(gè)實(shí)根，m13，7).