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1、
規(guī)范答題示例5 數(shù)列的綜合問題
典例5 (16分)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝a，(an＋1)(an＋1＋1)＝6(Sn＋n)，n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若對任意的n∈N*，都有Sn≤n(3n＋1)，求實數(shù)a的取值范圍；
(3)當a＝2時，將數(shù)列{an}中的部分項按原來的順序構(gòu)成數(shù)列{bn}，且b1＝a2，求證：存在無數(shù)個滿足條件的無窮等比數(shù)列{bn}．
審題路線圖 (1) →→
(2)→→
→
(3)→→
規(guī) 范 解 答·分 步 得 分
構(gòu) 建 答 題 模 板
(1)解 當n＝1時，(a1＋1)(a2＋1)＝6(
2、S1＋1)，故a2＝5；
當n≥2時，(an－1＋1)(an＋1)＝6(Sn－1＋n－1)，
所以(an＋1)(an＋1＋1)－(an－1＋1)(an＋1)＝6(Sn＋n)－6(Sn－1＋n－1)，
即(an＋1)(an＋1－an－1)＝6(an＋1)．
又an＞0，所以an＋1－an－1＝6，3分
所以a2k－1＝a＋6(k－1)＝6k＋a－6，a2k＝5＋6(k－1)＝6k－1，k∈N*，
故數(shù)列{an}的通項公式為an＝5分
(2)解 當n為奇數(shù)時，n＋1為偶數(shù)，
所以an＝3n＋a－3，an＋1＝3n＋2，
所以(3n＋a－3＋1)(3n＋2＋1)＝6(Sn＋n)，整
3、理得Sn＝(3n＋a－2)(n＋1)－n.
由Sn≤n(3n＋1)，得a≤對n∈N*恒成立．
令f(n)＝(n∈N*)，則f(n＋1)－f(n)＝＞0，
所以f(n)＝(n∈N*)單調(diào)遞增，f(n)min＝f(1)＝＝4，所以a≤4.8分
當n為偶數(shù)時，n＋1為奇數(shù)，an＝3n－1，an＋1＝3n＋a，
所以(3n－1＋1)(3n＋a＋1)＝6(Sn＋n)，整理得Sn＝，
由Sn≤n(3n＋1)得，a≤3(n＋1)對n∈N*恒成立，所以a≤9.
又a1＝a＞0，所以實數(shù)a的取值范圍是(0,4].10分
(3)解 當a＝2時，若n為奇數(shù)，則an＝3n－1，所以an＝3n－1(n∈
4、N*)．
因為數(shù)列{bn}的首項是b1＝5，其整數(shù)倍的最小項是a7＝20，
故可令等比數(shù)列{bn}的公比q＝4m(m∈N*)，
因為b1＝a2＝5，所以bn＝5·4m(n－1)．
設(shè)k＝m(n－1)，因為1＋4＋42＋…＋4k－1＝，
所以4k＝3(1＋4＋42＋…＋4k－1)＋1，
所以5·4k＝5[3(1＋4＋42＋…＋4k－1)＋1]
＝3[5(1＋4＋42＋…＋4k－1)＋2]－1.14分
因為5(1＋4＋42＋…＋4k－1)＋2為正整數(shù)，
所以數(shù)列{bn}是數(shù)列{an}中包含的無窮等比數(shù)列．
又公比q＝4m(m∈N*)有無數(shù)個不同的取值，對應(yīng)著不同的等比數(shù)列，故無
5、窮等比數(shù)列{bn}有無數(shù)個.16分
第一步
找關(guān)系，求通項：根據(jù)已知條件確定數(shù)列的項之間的關(guān)系．
第二步
巧轉(zhuǎn)化，定方法：根據(jù)要證式子或所求結(jié)論的結(jié)構(gòu)，進行適當轉(zhuǎn)化，如對數(shù)列求和，將數(shù)列函數(shù)化討論數(shù)列的性質(zhì)等確定解題方法．
第三步
寫步驟，再反思：確定解題方案后要認真規(guī)范書寫解題步驟，數(shù)列綜合問題一般為壓軸題，難度較大，要有搶分意識，不放過任何一個得分點.
評分細則 (1)求出an的遞推公式給3分；
(2)求出{an}的通項公式給2分；
(3)討論n為奇數(shù)的情況給3分；
(4)討論n為偶數(shù)的情況給2分；
(5)求出{bn}的通項公式給4分；
(6)證明出最后結(jié)果給2
6、分．
跟蹤演練5 (2018·南通、徐州等六市調(diào)研)設(shè)等比數(shù)列a1，a2，a3，a4的公比為q，等差數(shù)列b1, b2，b3，b4的公差為d，且q≠1，d≠0.記ci＝ai＋bi (i＝1,2,3,4)．
(1)求證：數(shù)列c1，c2，c3不是等差數(shù)列；
(2)設(shè)a1＝1，q＝2.若數(shù)列c1, c2, c3是等比數(shù)列，求b2關(guān)于d的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；
(3)數(shù)列c1,c2, c3，c4能否為等比數(shù)列？并說明理由．
(1)證明 假設(shè)數(shù)列c1，c2，c3是等差數(shù)列，
則2c2＝c1＋c3，
即2＝＋.
因為b1，b2，b3是等差數(shù)列，
所以2b2＝b1＋b3.從而2a2＝a1＋
7、a3.
又因為a1，a2，a3是等比數(shù)列，所以a＝a1a3.
所以a1＝a2＝a3，這與q≠1矛盾，從而假設(shè)不成立．
所以數(shù)列c1，c2，c3不是等差數(shù)列．
(2)解 因為a1＝1, q＝2，
所以an＝2n－1.
因為c＝c1c3，
所以2＝，
即b2＝d2＋3d,
由c2＝2＋b2≠0，得d2＋3d＋2≠0，
所以d≠－1且d≠－2.
又d≠0，所以b2＝d2＋3d，定義域為.
(3)解 設(shè)c1，c2，c3，c4成等比數(shù)列，其公比為q1，
則
則將①＋③－2×②得， a1(q－1)2＝c1(q1－1)2，⑤
將②＋④－2×③得， a1q2＝c1q12，⑥
因為a1≠0, q≠1，由⑤得c1≠0, q1≠1.
由⑤⑥得q＝q1，從而a1＝c1.代入①得b1＝0.
再代入②，得d＝0，與d≠0矛盾．
所以c1，c2，c3，c4不成等比數(shù)列．
4
江蘇省2019高考數(shù)學二輪復(fù)習 專題六 數(shù)列 規(guī)范答題示例5 數(shù)列的綜合問題學案
