2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第四次月考試題 理(含解析)

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1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第四次月考試題 理(含解析) 【試卷綜述】本試卷試題主要注重基本知識、基本能力、基本方法等當(dāng)面的考察,覆蓋面廣,注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的簡單應(yīng)用,試題有新意,符合課改和教改方向,能有效地測評學(xué)生,有利于學(xué)生自我評價,有利于指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí),既重視雙基能力培養(yǎng),側(cè)重學(xué)生自主探究能力,分析問題和解決問題的能力,突出應(yīng)用,同時對觀察與猜想、閱讀與思考等方面的考查。 【題文】一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 【題文】1.若復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在( ) A.第一象限 B.第

2、二象限 C.第三象限 D.第四象限 【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念.L4 【答案】【解析】A 解析:由,得. ∴在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,是第一象限的點(diǎn).故選:A. 【思路點(diǎn)撥】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù),得到對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)得答案. 【題文】2. 命題“和為偶數(shù)的兩個整數(shù)都為偶數(shù)”的否定是 ( ) A.和不為偶數(shù)的兩個整數(shù)都為偶數(shù) B.和為偶數(shù)的兩個整數(shù)都不為偶數(shù) C.和不為偶數(shù)的兩個整數(shù)不都為偶數(shù) D.和為偶數(shù)的兩個整數(shù)不都為偶數(shù) 【知識點(diǎn)】命題的否定.A2 【答案】【解析】D 解析:命題“和為偶數(shù)的兩個整數(shù)都為偶數(shù)”的否定是:和為偶數(shù)的

3、兩個整數(shù)不都為偶數(shù).故選:D. 【思路點(diǎn)撥】直接利用命題的否定寫出結(jié)果即可. 【題文】3.已知集合,,則 ( ) A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算;其他不等式的解法.A1 【答案】【解析】B 解析:={x|(x+3)(x﹣1)<0}={x|﹣3<x<1}, ={x|﹣3<x<1}∪{x|x≤﹣3}={x|x<1},∴{x|x≥1}.故選B. 【思路點(diǎn)撥】先利用分式不等式解法化簡,再進(jìn)行計(jì)算,得出結(jié)果. 【題文】4.“”是“函數(shù)的最小正周期為”的( ) A.充分不必要條件

4、B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【知識點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法;必要條件、充分條件與充要條件的判斷.A2 C3 【答案】【解析】A 解析:函數(shù),它的周期是,;顯然“”可得“函數(shù)的最小正周期為” 后者推不出前者,故選A. 【思路點(diǎn)撥】化簡,利用最小正周期為,求出,即可判斷選項(xiàng). 【題文】5.由直線與曲線所圍成的封閉圖形的面積為( ) A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】定積分在求面積中的應(yīng)用.B13 【答案】【解析】D 解析:作出對應(yīng)的圖

5、象如圖: 則對應(yīng)的區(qū)域面積,故選:D 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)題意畫出直線及所圍成的封閉圖形,然后利用定積分表示區(qū)域面積,最后轉(zhuǎn)化成等價形式. 【題文】6.函數(shù)的圖像大致為( ) 【知識點(diǎn)】函數(shù)的圖象.B8 【答案】【解析】B 解析:因?yàn)?,所以函?shù)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以排除A. 當(dāng)x=1時,y>0,所以排除C. 因?yàn)椋援?dāng)x→+∞時,y→1,所以排除D. 故選B. 【思路點(diǎn)撥】利用函數(shù)的奇偶性,對稱性和特殊點(diǎn)的特殊值分別進(jìn)行判斷即可. 【題文】7. 在中,是邊上的一點(diǎn),. 若記,則用表示所得的結(jié)果為 ( ) A.

6、 B. C. D. 【知識點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義.F2 【答案】【解析】C 解析:如圖,B,D,C三點(diǎn)共線,存在μ,使; ∴;∴; 又;∴;∴; ∴;∴. 故選C. 【思路點(diǎn)撥】B,D,C三點(diǎn)共線,所以根據(jù)已知條件對于,能夠得到,所以得到,所以. 【題文】8.以表示等差數(shù)列的前項(xiàng)的和,若,則下列不等關(guān)系不一定成立的是( ) A. B. C

7、. D. 【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì).D2 【答案】【解析】B 解析:∵表示等差數(shù)列的前項(xiàng)的和,, ∴S6﹣S5=a6<0,則有可能成立,即A有可能成立; ∵5a5﹣(a1+6a6)=5(a1+4d)﹣[a1+6(a1+5d)]=﹣2a1﹣10d=﹣2a6<0, ∴不成立,即B不成立; ∵a5>0,a4>0,a3>0,∴有可能成立,即C是有可能成立; ∵a3+a6+a12﹣2a7=(3a1+18d)﹣(2a1+12d)=a1+6d=a7<0,∴,故D成立.故選:B. 【思路點(diǎn)撥】a5>0,a6<0,這個數(shù)列是遞減數(shù)列,公差d<0.由此入手對各個選項(xiàng)逐個進(jìn)行分

8、析,能求出結(jié)果. 【題文】9. 已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,,對于任意的實(shí)數(shù)都有,則的最小值為( ) A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.B11 【答案】【解析】B 解析:∵f'(x)=2ax+b,∴f'(0)=b>0; ∵對于任意實(shí)數(shù)x都有,∴a>0且b2﹣4ac≤0, ∴b2≤4ac,∴c>0; ∴, 當(dāng)a=c時取等號.故選C. 【思路點(diǎn)撥】先求導(dǎo),由f′(0)>0可得b>0,因?yàn)閷τ谌我鈱?shí)數(shù)x都有,所以結(jié)合二次函數(shù)的圖象可得a>0且b2﹣4ac≤0,又因?yàn)椋镁挡坏仁郊纯汕蠼猓? 【題文】10.已知函數(shù),則關(guān)于的方程()的根的

9、個數(shù)不可能為( ) A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用.B9 【答案】【解析】A 解析:畫圖,和y=2x2+x圖象, 結(jié)合兩個函數(shù)的圖象可知或a>3,4個根, ,5個根,,6個根.故選A. 【思路點(diǎn)撥】先畫出y=f(x)與y=2x2+x的圖象,結(jié)合兩個函數(shù)圖象,利用分類討論的數(shù)學(xué)思想討論f(2x2+x)=a(a>2)根可能的根數(shù)即可. 【題文】二.填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.請把正確答案填在答題卡的相應(yīng)位置. 【題文】11.在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)到直線的距離為

10、 . 【知識點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程.N3 【答案】【解析】 解析:點(diǎn)P化為直角坐標(biāo)P(0,1). 直線化為2x﹣y+2=0. ∴點(diǎn)P到直線的距離d==.故答案為:. 【思路點(diǎn)撥】點(diǎn)P化為直角坐標(biāo)P(0,1).直線化為2x﹣y+2=0.再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出. 【題文】12.已知平面向量滿足:,且,則向量與的夾角為 . 【知識點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個向量的夾角.F3 【答案】【解析】 解析:將兩邊平方,得,化簡整理得, 因?yàn)椋? 由向量的夾角公式,所以向量與的夾角為. 故答案為:. 【思路點(diǎn)撥】將兩邊平方,整理得出

11、,再根據(jù),求出夾角余弦值,最后求出夾角大?。? 【題文】13.在數(shù)列中,若,且、、、成公比為的等比數(shù)列,、、成公差為的等差數(shù)列,則的最小值是 . 【知識點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合.D5 【答案】【解析】 解析:∵; 、、成公差為1的等差數(shù)列,∴a6=a2+2≥3,∴a6的最小值為3,∴a7的最小值也為3, 此時a1=1,且、、、成公比為的等比數(shù)列,必有q>0, ∴a7=a1q3≥3,∴q3≥3,q≥,故答案為。 【思路點(diǎn)撥】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式將a6用a2表示,求出a6的最小值進(jìn)一步求出a7的最小值,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)求出公比的范圍. 【題文】1

12、4.把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個單位長度,再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵谋叮v坐標(biāo)不變),得到圖象的函數(shù)表達(dá)式為 . 【知識點(diǎn)】函數(shù)的圖象變換.C4 【答案】【解析】 解析:把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個單位長度,可得y=sin(x+)的圖象; 再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),可得y=sin(x+)的圖象; 故得到的圖象所表示的函數(shù)解析式為, 故答案為:. 【思路點(diǎn)撥】由條件根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律,可得結(jié)論. 【題文】15.定義全集的子集的特征函數(shù)為,這里表示集合在全集中的補(bǔ)集.已知,給

13、出以下結(jié)論: ①若,則對于任意,都有≤; ②對于任意,都有; ③對于任意,都有; ④對于任意,都有. 其中正確的結(jié)論有 .(寫出全部正確結(jié)論的序號) 【知識點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用.A1 【答案】【解析】①②③ 解析:∵,fB(x)=, 而CUA中可能有B的元素,但CUB中不可能有A的元素 ∴≤,即對于任意x∈U,都有fA(x)≤fB(x)故①正確; 對于B,∵, 結(jié)合fA(x)的表達(dá)式,可得f?UA(x)=1﹣fA(x),故②正確; 對于C,fA∩B(x)==?=fA(x)?fB(x), 故③正確; 對于D,fA∪B(x)=

14、 當(dāng)某個元素x在A中但不在B中,由于它在A∪B中,故fA∪B(x)=1, 而fA(x)=1且fB(x)=0,可得fA∪B(x)≠fA(x)?fB(x) 由此可得④不正確. 故答案為:①②③. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題中特征函數(shù)的定義,利用集合的交集、并集和補(bǔ)集運(yùn)算法則,對①②③④各項(xiàng)中的運(yùn)算加以驗(yàn)證,可得①②③都可以證明它們的正確性,而D項(xiàng)可通過反例說明它不正確.由此得到本題答案. 【題文】三.解答題:(本大題共6小題,共75分) 【題文】16.(本小題滿分12分) 已知函數(shù),點(diǎn)、分別是函數(shù)圖像上的最高點(diǎn)和最低點(diǎn). (1)求點(diǎn)、的坐標(biāo)以及的值; (2)設(shè)點(diǎn)、分別在角、()的終邊上

15、,求的值. 【知識點(diǎn)】函數(shù)的圖象變換;平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.C4 F3 【答案】【解析】(1)-2;(2) 解析:(1)∵,∴, ∴. 當(dāng),即時,f(x)取得最大值1, 當(dāng),即時,f(x)取得最小值﹣2. 因此,所求的坐標(biāo)為A(0,1),B(4,﹣2). 則,. ∴. (2)∵點(diǎn)A(0,1)、B(4,﹣2)分別在角α、β(α、β∈[0,2π])的終邊上, 則, ,, 則sin2β=2sinβcosβ=, cos2β=2cos2β﹣1=. ∴ . 【思路點(diǎn)撥】(1)由x的范圍求出的范圍,得到f(x)的最大值和最小值,從而求出A,B的坐標(biāo),則的值可求;(2)由點(diǎn)A、

16、B分別在角α、β(α、β∈[0,2π])的終邊上求出角α的值和角β的正余弦值,由倍角公式求得2β的正余弦值,展開兩角差的正弦公式求得的值. 【題文】17.(本小題滿分12分) 在中, ,,,為內(nèi)一點(diǎn),. (1)若,求; (2)若,求的面積. 【知識點(diǎn)】余弦定理的應(yīng)用;正弦定理的應(yīng)用.C8 【答案】【解析】(1) ; (2) . 解析:(1)∵在中, ,,, ∴sin∠PBC ,可得∠PBC=60°,BP=BCcos60°=. ∵∠PBA=90°﹣∠PBC=30°, ∴△APB中,由余弦定理PA2=PB2+AB2﹣2PB?AB?cos∠PBA, 得PA2= , 解得

17、(舍負(fù)). (2)設(shè)∠PBA=α,可得∠PBC=90°﹣α,∠PAB=180°﹣∠PBA﹣∠APB=30°﹣α, 在Rt△BPC中,PB=BCcos∠PBC=cos(90°﹣α)=sinα, △ABP中,由正弦定理得, ∴sinα=2sin(30°﹣α)=2(cosα﹣sinα), 化簡得4sinα=cosα, ∴結(jié)合α是銳角,解得sinα=, ∴PB=sinα=, ∴△ABP的面積S=AB?PB?sin∠PBA=. 【思路點(diǎn)撥】(1)在Rt△BPC中利用三角函數(shù)的定義,算出sin∠PBC=,可得∠PBC=60°,從而BP=BCcos60°=.然后在△APB中算出∠PBA=3

18、0°,利用余弦定理即可算出PA的大小.(2)設(shè)∠PBA=α,從而算出PB=sinα,∠PAB=30°﹣α.在△APB中根據(jù)正弦定理建立關(guān)于α的等式,解出sinα的值,得到PB長.再利用三角形面積公式加以計(jì)算,即可得出△ABP的面積S. 【題文】18.(本小題滿分12分) 設(shè)公差不為的等差數(shù)列的首項(xiàng)為,且、、構(gòu)成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2)若數(shù)列滿足,,求的前項(xiàng)和. 【知識點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合;數(shù)列的求和.D4 D5 【答案】【解析】(1) an=2n-1; (2) Tn=3-. 解析:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),則 ∵a2,a5,a

19、14構(gòu)成等比數(shù)列, ∴a=a2a14, 即(1+4d)2=(1+d)(1+13d), 解得d=0(舍去),或d=2. ∴an=1+(n-1)×2=2n-1.………………………………………4分 (2)由已知++…+=1-,n∈N*, 當(dāng)n=1時,=; 當(dāng)n≥2時,=1--(1-)=. ∴=,n∈N*. 由(Ⅰ),知an=2n-1,n∈N*, ∴bn=,n∈N*. 又Tn=+++…+, Tn=++…++. 兩式相減,得 Tn=+(++…+)-=--, ∴Tn=3-.……………………………………………………………12分 【思路點(diǎn)撥】(1) 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d

20、(d≠0),由a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列得關(guān)于d的方程,解出d后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an; (2) 由條件可知,n≥2時,=1--(1-)=,再由(Ⅰ)可求得bn,注意驗(yàn)證n=1的情形,利用錯位相減法可求得Tn. 【題文】19.(本小題滿分12分) 對于定義域?yàn)樯系暮瘮?shù),如果同時滿足下列三條:①對任意的 , 總有≥;②;③若≥,≥,≤,都有 ≥成立,則稱函數(shù)為理想函數(shù). (1) 若函數(shù)為理想函數(shù),求的值; (2) 判斷函數(shù)()是否為理想函數(shù),并給出證明; (3) 若函數(shù)為理想函數(shù),假定存在,使得, 且,求證:. 【知識點(diǎn)】函數(shù)的值;抽象函數(shù)及其應(yīng)用.B1 B14

21、【答案】【解析】(1) ; (2) 見解析;(3)見解析. 解析:(1)取得≥,則≤, 又≥,故; (2)當(dāng)時,函數(shù)≥,滿足條件①;又滿足條件②; 若≥,≥,≤, 則≥,滿足條件③,故函數(shù)是理想函數(shù). (3)由條件③,任給,當(dāng)時,,且≥≥. 若,則≤,矛盾. 若,則≥,矛盾. 故. 【思路點(diǎn)撥】(1)取可得≥?≤,由此可求出f(0)的值.(2)在滿足條件①≥,也滿足條件②.若≥,≥,≤,滿足條件③,收此知故g(x)理想函數(shù).(3)由條件③知,任給,當(dāng)時,,且≥≥.由此能夠推導(dǎo)出. 【題文】20.(本小題滿分13分) 現(xiàn)有六名籃球運(yùn)動員進(jìn)行傳球訓(xùn)練,由甲開始傳球(第一次

22、傳球是由甲傳向其他五名運(yùn)動員中的一位),若第次傳球后,球傳回到甲的不同傳球方式的種數(shù)記為. (1) 求出、的值,并寫出與≥的關(guān)系式; (2) 證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式; (3) 當(dāng)≥時,證明:. 【知識點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合.D5 E9 【答案】【解析】(1) ,, ;(2) (3) 見解析. 解析:(1),, 第次傳球后,不同傳球方式種數(shù)為,不在甲手中的種數(shù)為, ∴當(dāng)≥時, ……5分 (2)由=-+得,, 又,則數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列

23、. 從而,故. …………9分 (3).當(dāng)≥為奇數(shù)時, 則為偶數(shù) < 當(dāng)≥為偶數(shù)時, 則為奇數(shù),從而 綜上,當(dāng)≥時,. …………分 【思路點(diǎn)撥】(1)第次傳球后,不同傳球方式種數(shù)為,不在甲手中的種數(shù)為,由此能求出,,即可寫出與≥的關(guān)系式. (2)由=-+得,,由此能證明數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.,從而能求出. (3)當(dāng)≥為奇數(shù)時, 則為偶數(shù),;當(dāng)≥為偶數(shù)時, 則為奇數(shù),從而 ,由此能證明當(dāng)≥時,. 【題

24、文】21.(本小題滿分14分) 已知函數(shù),(). (1) 若時,函數(shù)在其定義域上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍; (2) 在(1)的結(jié)論下,設(shè)函數(shù)的最小值; (3) 設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)、,過線段的中點(diǎn) 作軸的垂線分別交、于點(diǎn)、,問是否存在點(diǎn),使在處的切線與在處的切線平行?若存在,求出的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;兩條直線平行的判定.B11 B12G4 【答案】【解析】(1) (2) 當(dāng)當(dāng) (3) C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行. 解析:(1)依題意: ∵上是增函數(shù), ∴恒成立,

25、 ∴∵ ∴b的取值范圍為 …………4分 (2)設(shè),即 , ∴當(dāng)上為增函數(shù),當(dāng)t=1時, 當(dāng) …………7分 當(dāng)上為減函數(shù),當(dāng)t=2時, 綜上所述,當(dāng) 當(dāng) ………8分 (3)設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)是 則點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為 C1在M處的切線斜率為 C2在點(diǎn)N處的切線斜率 假設(shè)C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線平行,則, 即 則 , 設(shè)…………………………① 令則 ∵ ∴ 所以上單調(diào)遞增,故 , 則, 這與①矛盾,假設(shè)不成立, 故C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行. .……13分 【思路點(diǎn)撥】(1) 根據(jù)時,函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù),知道 h′(x)在其定義域內(nèi)大于等于零,得到一個關(guān)于b的不等式,解此不等式即得b的取值范圍;(2) 先設(shè)t=ex,將原函數(shù)化為關(guān)于t的二次函數(shù),最后將原函數(shù)φ(x)的最小值問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值問題即可; (3) 先假設(shè)存在點(diǎn)R,使C1在M處的切線與C2在N處的切線平行,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率進(jìn)而得出切線的方程,后利用斜率相等求出R的橫坐標(biāo),如出現(xiàn)矛盾,則不存在;若不出現(xiàn)矛盾,則存在.

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