2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第三章 3-6二倍角、簡單的三角變換《教案》

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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第三章 3-6二倍角、簡單的三角變換《教案》 1．公式的常見變形 (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． (2)sin2α＝， cos2α＝， sin αcos α＝sin 2α. (3)1＋cos α＝2cos2， 1－cos α＝2sin2， 1＋sin α＝(sin＋cos)2， 1－sin α＝(sin－cos)2. 2．輔助角公式 asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)， 其中sin φ＝，cos

2、 φ＝. 【思考辨析】 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.(　×　) (2)設(shè)α∈(π，2π)，則 ＝sin.(　×　) (3)在非直角三角形中有：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C．(　√　) (4)設(shè)<θ<3π，且|cos θ|＝，那么sin的值為.(　×　) (5)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值與a，b的值無關(guān)．(　×　) (6)函數(shù)f(x)＝cos2x＋sin xcos x在區(qū)間[－，]上的最大值為.(　√　) 1．化簡：＝

3、 . 答案　sin α 解析　原式＝＝ ＝sin α. 2．已知cos α＝，α∈(π，2π)，則cos＝ . 答案　－ 解析　∵∈(，π)， ∴cos＝－＝－＝－. 3．如果α∈(，π)，且sin α＝，那么sin(α＋)＋cos(α＋)＝ . 答案?。? 解析　由已知cos α＝－， ∴sin(α＋)＋cos(α＋)＝sin(α＋＋) ＝cos α＝－. 4．(xx·上海)函數(shù)y＝1－2cos22x的最小正周期是 ． 答案　 解析　由題意y＝－cos 4x，T＝＝. 題型一　三角函數(shù)式的化簡求值 例1　 (1)已

4、知0<θ<π，化簡：＝ . (2)已知sin α＝＋cos α，且α∈(0，)，則的值為 ． 答案　(1)－cos θ　(2)－ 解析　(1)原式 ＝ ＝cos·＝. 因為0<θ<π，所以0<<， 所以cos>0，所以原式＝－cos θ. (2)方法一　∵sin α＝＋cos α， ∴sin α－cos α＝， ∴sin(α－)＝， ∴sin(α－)＝. 又∵α∈(0，)，∴α－∈(－，)， ∴cos(α－)＝， ∴cos 2α＝－sin[2(α－)]＝－2sin(α－)cos(α－)＝－2××＝－， ∴＝＝－. 方法二　∵sin α

5、＝＋cos α， ∴sin α－cos α＝， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝， ∴2sin αcos α＝， ∵α∈(0，)， ∴sin α＋cos α＝ ＝ ＝， ∴＝ ＝－(sin α＋cos α)＝－. 思維升華　(1)三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則，一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征．(2)三角函數(shù)式化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點． 　(1)若＝，則tan 2α＝ . (2)設(shè)α為銳角，若cos(α＋)＝，則sin(2α＋)的值為 ．

6、 答案　(1)－　(2) 解析　(1)＝＝＝， ∴tan α＝2，∴tan 2α＝＝＝－. (2)∵α為銳角，cos(α＋)＝， ∴sin(α＋)＝， ∴sin(2α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)＝， cos(2α＋)＝2cos2(α＋)－1＝， ∴sin(2α＋)＝sin(2α＋－) ＝[sin(2α＋)－cos(2α＋)]＝. 題型二　三角函數(shù)的求角問題 例2　(1)已知銳角α，β滿足sin α＝，cos β＝，則α＋β＝ . (2)已知函數(shù)f(x)＝tan(2x＋)，若α∈(0，)且f()＝2cos 2α，則α＝ . 答案　(1)

7、　(2) 解析　(1)由sin α＝，cos β＝且α，β為銳角，可知cos α＝，sin β＝， 故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝， 又0<α＋β<π，故α＋β＝. (2)由f()＝2cos 2α， 得tan(α＋)＝2cos 2α， ＝2(cos2α－sin2α)， 整理得＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)． ∵α∈(0，)，∴sin α＋cos α≠0. ∴(cos α－sin α)2＝，即sin 2α＝. 由α∈(0，)，得2α∈(0，)， ∴2α＝，即α＝. 思維升華　(1)由三角函數(shù)值求角，一定要

8、考慮角的范圍；(2)通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時，遵照以下原則：①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；②已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好． 　(1)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均為銳角，則角β＝ . (2)在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan A·tan B，則C＝ . 答案　(1)　(2) 解析　(1)∵α、β均為銳角，∴－<α－β<. 又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝. 又sin α＝，∴cos α＝， ∴

9、sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×(－)＝. ∴β＝. (2)由已知可得tan A＋tan B＝(tan A·tan B－1)， ∴tan(A＋B)＝＝－， 又0

10、過點P(－3，)， ∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－， ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α ＝－＋＝－. (2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x， ∴y＝cos(－2x)－2cos2x ＝sin 2x－1－cos 2x ＝2sin(2x－)－1， ∵0≤x≤， ∴0≤2x≤， ∴－≤2x－≤， ∴－≤sin(2x－)≤1， ∴－2≤2sin(2x－)－1≤1， 故函數(shù)y＝f(－2x)－2f2(x)在區(qū)間[0，]上的取值范圍是[－2,1]． 思維升華　三角變換和三角函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合是

11、高考的一個熱點，解題時要注意觀察角、式子間的聯(lián)系，利用整體思想解題． 　(1)函數(shù)f(x)＝sin x＋cos(＋x)的最大值為 ． (2)函數(shù)f(x)＝sin(2x－)－2sin2x的最小正周期是 ． 答案　(1)1　(2)π 解析　(1)f(x)＝sin x＋cos cos x－sin sin x ＝cos x＋sin x＝sin(x＋)．∴f(x)max＝1. (2)f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x) ＝sin 2x＋cos 2x－＝sin(2x＋)－， ∴T＝＝π. 二審結(jié)論會轉(zhuǎn)換 典例：(xx·山東)設(shè)函數(shù)f

12、(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω>0)，且y＝f(x)圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為. (1)求ω的值； (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． (1)求ω 　 求f(x)的周期 　 對稱中心與對稱軸的最近距離＝ 　 T＝π 　 求出ω＝1 (2)求f(x)在[π，]上的最值 由(1)得f(x)＝－sin(2x－) 求f(x)＝－sin(2x－)在[π，]上的最值 利用換元思想，將2x－作為一個整體 求2x－的范圍 由π≤x≤ ≤2x－≤ 結(jié)合正弦函數(shù)的圖象 －1≤f(x)≤. 規(guī)范解答 解　(1)f(x)＝－s

13、in2ωx－sin ωxcos ωx ＝－×－sin 2ωx ＝cos 2ωx－sin 2ωx ＝－sin. 依題意知＝4×，ω>0，所以ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝－sin. 當(dāng)π≤x≤時，≤2x－≤. 所以－≤sin≤1. 所以－1≤f(x)≤. 故f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為和－1. 溫馨提醒　(1)討論三角函數(shù)性質(zhì)要先利用三角變換將函數(shù)化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式；(2)解題中將2x－視為一個整體，可以借助圖象求函數(shù)最值. 方法與技巧 1．三角函數(shù)的求值與化簡要有聯(lián)系的觀點，注意觀察角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，然后進行變換．

14、2．利用三角函數(shù)值求角要考慮角的范圍． 3．與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)相結(jié)合的綜合問題．借助三角恒等變換將已知條件中的函數(shù)解析式整理為f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后借助三角函數(shù)圖象解決． 失誤與防范 1．利用輔助角公式，asin x＋bcos x轉(zhuǎn)化時一定要嚴(yán)格對照和差公式，防止搞錯輔助角． 2．計算形如y＝sin(ωx＋φ), x∈[a，b]形式的函數(shù)最值時，不要將ωx＋φ的范圍和x的范圍混淆. A組　專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間：40分鐘) 1．(xx·課標(biāo)全國Ⅱ)已知sin 2α＝，則cos2＝ . 答案　 解析　因為cos2＝＝＝，所以cos2＝＝＝

15、. 2．若sin α＝，則sin(α＋)－cos α＝ . 答案　 解析　sin(α＋)－cos α＝sin αcos ＋cos αsin－cos α＝×＝. 3．在△ABC中，tan B＝－2，tan C＝，則A＝ . 答案　 解析　tan A＝tan[π－(B＋C)] ＝－tan(B＋C)＝－ ＝－＝1. 又A為△ABC的內(nèi)角．故A＝. 4．若tan α＋＝，α∈(，)，則sin(2α＋)的值為 ． 答案　－ 解析　由tan α＋＝得＋＝， ∴＝，∴sin 2α＝. ∵α∈(，)，∴2α∈(，π)， ∴cos 2α＝－

16、. ∴sin(2α＋)＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＝×(－)＝－. 5．已知cos 2θ＝，則sin4θ＋cos4θ的值為 ． 答案　 解析　sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ ＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝. 6．已知sin(α－45°)＝－，0°<α<90°，則cos α＝ . 答案　 解析　∵0°<α<90°，∴－45°<α－45°<45°， ∴cos(α－45°)＝＝， ∴cos α＝cos[(α－45°)＋45°] ＝c

17、os(α－45°)cos 45°－sin(α－45°)sin 45°＝. 7．設(shè)x∈，則函數(shù)y＝的最小值為 ． 答案　 解析　y＝＝ ＝＝tan x＋. ∵x∈(0，)，∴tan x>0. ∴tan x＋≥2＝. (當(dāng)tan x＝，即x＝時取等號) 即函數(shù)的最小值為. 8．已知tan(＋θ)＝3，則sin 2θ－2cos2θ的值為 ． 答案　－ 解析　∵tan(＋θ)＝3， ∴＝3，解得tan θ＝. ∵sin 2θ－2cos2θ＝sin 2θ－cos 2θ－1 ＝－－1 ＝－

18、－1 ＝－－1＝－. 9．已知tan α＝－，cos β＝，α∈(，π)，β∈(0，)，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值． 解　由cos β＝，β∈(0，)， 得sin β＝，tan β＝2. ∴tan(α＋β)＝ ＝＝1. ∵α∈(，π)，β∈(0，)，∴<α＋β<， ∴α＋β＝. 10．已知函數(shù)f(x)＝2sin(x－)，x∈R. (1)求f()的值； (2)設(shè)α，β∈[0，]，f(3α＋)＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值． 解　(1)由題設(shè)知： f()＝2sin(－)＝2sin＝. (2)由題設(shè)知：＝f(3α＋)＝2sin α， ＝f(

19、3β＋2π)＝2sin(β＋)＝2cos β， 即sin α＝，cos β＝， 又α，β∈[0，]，∴cos α＝，sin β＝， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝×－×＝. B組　專項能力提升 (時間：25分鐘) 1．cos 20°cos 40°cos 60°·cos 80°＝ . 答案　 解析　原式＝ ＝ ＝＝＝. 2．定義運算＝ad－bc，若cos α＝，＝，0<β<α<，則β＝ . 答案　 解析　依題意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β) ＝， 又0<β<α<，∴0<

20、α－β<， 故cos(α－β)＝＝， 而cos α＝，∴sin α＝， 于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×＝， 故β＝. 3．sin(α＋)＝，則sin 2α＝ . 答案?。? 解析　sin(α＋)＝sin α＋cos α＝， ∴sin α＋cos α＝， (sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α ＝1＋sin 2α＝， 故sin 2α＝－. 4．(xx·北京)已知函數(shù)f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x. (1)求f(x)

21、的最小正周期及最大值； (2)若α∈，且f(α)＝，求α的值． 解　(1)f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x ＝cos 2xsin 2x＋cos 4x ＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin， ∴f(x)的最小正周期T＝，最大值為. (2)由f(α)＝，得sin＝1. ∵α∈，則<4α＋<， 所以4α＋＝π，故α＝π. 5．(xx·天津)已知函數(shù)f(x)＝cos xsin(x＋)－cos2x＋，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在閉區(qū)間[－，]上的最大值和最小值． 解　(1)由已知，有f(x)＝cos x·(sin x＋cos x)－cos2x＋ ＝sin x·cos x－cos2x＋ ＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋ ＝sin 2x－cos 2x ＝sin(2x－)． 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)因為f(x)在區(qū)間[－，－]上是減函數(shù)，在區(qū)間[－，]上是增函數(shù)， f(－)＝－，f(－)＝－，f()＝， 所以，函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[－，]上的最大值為，最小值為－.