（魯京遼）2018-2019學年高中數學 第一章 立體幾何初步 1.2.3 第1課時 直線與平面垂直學案 新人教B版必修2

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1、 第1課時　直線與平面垂直 學習目標　1.理解直線與平面垂直的定義及性質.2.掌握直線與平面垂直的判定定理及推論，并會利用定理及推論解決相關的問題． 知識點一　直線與平面垂直的定義及性質 (1)直線與直線垂直 如果兩條直線相交于一點或經過平移后相交于一點，并且交角為直角，則稱這兩條直線互相垂直． (2)直線與平面垂直的定義及性質 定義及符號表示 圖形語言及畫法 有關名稱 重要結論 如果一條直線(AB)和一個平面(α)相交于點O，并且和這個平面內過交點(O)的任何直線都垂直．我們就說這條直線和這個平面互相垂直，記作AB⊥α 把直線AB畫成和表示平面的平行四邊形的一

2、邊垂直 直線AB：平面α的垂線；平面α：直線AB的垂面；點O：垂足；線段AO：點A到平面α的垂線段；線段AO的長：點A到平面α的距離 如果一條直線垂直于一個平面，那么它就和平面內的任意一條直線垂直 知識點二　直線和平面垂直的判定定理及推論 將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸)．觀察折痕AD與桌面的位置關系． 思考1　折痕AD與桌面一定垂直嗎？ 答案　不一定． 思考2　當折痕AD滿足什么條件時，AD與桌面垂直？ 答案　當AD⊥BD且AD⊥CD時，折痕AD與桌面垂直． 梳理　直線與平面垂直的判定定理及推論 定理

3、及推論 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 條件：一條直線與平面內的兩條相交直線垂直， 結論：這條直線與這個平面垂直 ?a⊥α 推論1 條件：兩條平行直線中的一條垂直于一個平面， 結論：另一條直線也垂直于這個平面 ?m⊥α 推論2 條件：兩條直線垂直于同一個平面， 結論：這兩條直線平行 ?l∥m 1．若直線l⊥平面α，則l與平面α內的直線可能相交，可能異面，也可能平行．(　×　) 2．若直線l與平面α內的無數條直線垂直，則l⊥α.(　×　) 3．若a⊥b，b⊥α，則a∥α.(　×　) 類型一　直線與平面垂直的判定 例1　如圖，

4、已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點，求證：BC⊥平面PAC. 證明　∵PA⊥平面ABC， ∴PA⊥BC. 又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC. 而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC. 引申探究　若本例中其他條件不變，作AE⊥PC交PC于點E，求證：AE⊥平面PBC. 證明　由例1知BC⊥平面PAC， 又∵AE?平面PAC，∴BC⊥AE. ∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C， ∴AE⊥平面PBC. 反思與感悟　利用線面垂直的判定定理證明線面垂直的步驟 (1)在這個平面內找兩條直線，使它和這條直線垂直． (2)確定這個平面內的兩條直線是相

5、交的直線． (3)根據判定定理得出結論． 跟蹤訓練1　如圖，直角△ABC所在平面外一點S，且SA＝SB＝SC，點D為斜邊AC的中點． (1)求證：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC. 證明　(1)因為SA＝SC，D為AC的中點， 所以SD⊥AC. 在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD， 又因為SB＝SA，SD＝SD， 所以△ADS≌BDS. 所以SD⊥BD. 又AC∩BD＝D， 所以SD⊥平面ABC. (2)因為BA＝BC，D為AC的中點，所以BD⊥AC. 又由(1)知SD⊥平面ABC，所以SD⊥BD. 于是BD垂直于平面SAC內的兩

6、條相交直線， 所以BD⊥平面SAC. 類型二　線面垂直的性質的應用 例2　如圖所示，在正方體A1B1C1D1－ABCD中，EF與異面直線AC，A1D都垂直相交．求證：EF∥BD1. 證明　如圖，連接AB1，B1C，BD，B1D1. ∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD， ∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1， ∴AC⊥BD1. 同理，BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C. 又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C， ∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1. 反思與感悟　平行

7、關系與垂直關系之間的相互轉化 跟蹤訓練2　如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，垂足為B，直線a?β，a⊥AB.求證：a∥l. 證明　因為EA⊥α，α∩β＝l， 即l?α，所以l⊥EA. 同理l⊥EB， 又EA∩EB＝E， 所以l⊥平面EAB. 因為EB⊥β，a?β， 所以EB⊥a， 又a⊥AB，EB∩AB＝B， 所以a⊥平面EAB.因此，a∥l. 類型三　線面垂直的綜合應用 例3　如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點，求證：MN⊥CD. 證明　如圖，取PD的中點E，連接AE，NE， 因為N

8、為PC的中點， 則NE∥CD，NE＝CD， 又因為AM∥CD，AM＝CD， 所以AM∥NE，AM＝NE， 即四邊形AMNE是平行四邊形， 所以MN∥AE. 因為PA⊥矩形ABCD所在平面， 所以PA⊥CD， 又四邊形ABCD為矩形， 所以AD⊥CD，又PA∩AD＝A， 所以CD⊥平面PAD，AE?平面PAD， 所以CD⊥AE，所以MN⊥CD. 反思與感悟　若已知一條直線和某個平面垂直，證明這條直線和另一條直線平行，可利用線面垂直的性質定理，證明另一條直線和這個平面垂直，證明時注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關性質． 跟蹤訓練3　如圖，△ABC是正三

9、角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中點，求證： (1)DF∥平面ABC； (2)AF⊥BD. 證明　(1)取AB的中點G，連接FG，CG， 可得FG∥AE，FG＝AE. ∵CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC， ∴CD∥AE. 又∵CD＝AE， ∴FG∥CD，FG＝CD. ∴FG⊥平面ABC， ∴四邊形CDFG是矩形，DF∥CG. 又∵CG?平面ABC，DF?平面ABC， ∴DF∥平面ABC. (2)在Rt△ABE中，∵AE＝AB，F為BE的中點， ∴AF⊥BE. ∵△ABC是正三角形， ∴CG⊥AB，∴DF⊥AB

10、. ∵AE⊥平面ABC，CG?平面ABC， ∴AE⊥CG，∴AE⊥DF. 且AE∩AB＝A，∴DF⊥平面ABE， ∵AF?平面ABE，∴AF⊥DF. ∵BE∩DF＝F，BE?平面BDE，DF?平面BDE， ∴AF⊥平面BDE，∴AF⊥BD. 1．如果一條直線垂直于一個平面內的下列各種情況，能保證該直線與平面垂直的是(　　) ①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊． A．①③ B．② C．②④ D．①②④ 答案　A 解析　由線面垂直的判定定理知，直線垂直于①③圖形所在的平面．而②④圖形中的兩邊不一定相交，故該直線與它們所在的平面不一定垂直

11、． 2．空間中直線l和三角形的兩邊AC，BC同時垂直，則這條直線和三角形的第三邊AB的位置關系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交 D．不確定 答案　B 解析　由于直線l和三角形的兩邊AC，BC同時垂直，而這兩邊相交于點C，所以直線l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三邊AB在這個平面內，所以l⊥AB. 3．下列條件中，能使直線m⊥平面α的是(　　) A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥α C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α 答案　D 解析　由直線與平面垂直的判定定理的推論1知，選項D正確． 4.如圖，設平面α∩β＝EF，A

12、B⊥α，CD⊥α，垂足分別是B，D，BD⊥EF，則AC與EF的位置關系是________． 答案　垂直 解析　∵AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD， 故直線AB與CD確定一個平面． ∵AB⊥α，EF?α，∴AB⊥EF， 又BD⊥EF，AB∩BD＝B， ∴EF⊥平面ABDC. ∵AC?平面ABDC，∴AC⊥EF. 5.如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F分別是棱AB，BC的中點，O是底面ABCD的中心，求證：EF⊥平面BB1O. 證明　∵ABCD為正方形， ∴AC⊥BO. 又∵BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD， ∴AC⊥BB1， 又∵BO∩B

13、B1＝B，∴AC⊥平面BB1O， 又EF是△ABC的中位線， ∴EF∥AC， ∴EF⊥平面BB1O. 1．直線與平面垂直的判定方法： (1)利用定義； (2)利用判定定理，其關鍵是在平面內找兩條相交直線． 2．對于線面垂直的性質定理(推論2)的理解： (1)直線與平面垂直的性質定理(推論2)給出了判定兩條直線平行的另一種方法． (2)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關系的內在聯系，提供了“垂直”與“平行”關系轉化的依據． 一、選擇題 1．若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于(　　) A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．

14、平面ABC 答案　C 解析　∵OA⊥OB，OA⊥OC且OB∩OC＝O， ∴OA⊥平面OBC. 2．直線a⊥直線b，直線b⊥平面β，則a與β的關系是(　　) A．a⊥β B．a∥β C．a?β D．a?β或a∥β 答案　D 解析　若a?β，b⊥平面β，可證得a⊥b； 若a∥β，過a作平面α，α∩β＝c，b⊥平面β，c?β， 則b⊥c，a∥c， 于是b⊥a.故答案為D. 3．已知空間四邊形ABCD的四邊相等，則它的兩對角線AC，BD的關系是(　　) A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直 C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交 答案　C 解析　如圖，取BD中點O，

15、 連接AO，CO， 則BD⊥AO，BD⊥CO，AO∩OC＝O， ∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC， 又BD與AC異面，故選C. 4.如圖所示，定點A和B都在平面α內，定點P?α，PB⊥α，C是平面α內異于A和B的動點，且PC⊥AC，則△ABC為(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定 答案　B 解析　易證AC⊥面PBC，所以AC⊥BC. 5.如圖，在正方形ABCD中，E，F分別為邊BC，CD的中點，H是EF的中點．現沿AE，AF，EF把這個正方形折成一個幾何體，使B，C，D三點重合于點G，則下列結論中成立的是(　　) A．AG⊥平面

16、EFG B．AH⊥平面EFG C．GF⊥平面AEF D．GH⊥平面AEF 答案　A 解析　∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE＝G， ∴AG⊥平面EFG. 6．已知直線PG⊥平面α于G，直線EF?α，且PF⊥EF于F，那么線段PE，PF，PG的大小關系是(　　) A．PE>PG>PF B．PG>PF>PE C．PE>PF>PG D．PF>PE>PG 答案　C 解析　由于PG⊥平面α于G，PF⊥EF， ∴PG最短，PF

17、C⊥AB；④AB⊥BC. 其中正確的是(　　) A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 答案　A 解析　由PA，PB，PC兩兩垂直可得PA⊥平面PBC；PB⊥平面PAC；PC⊥平面PAB， 所以PA⊥BC； PB⊥AC；PC⊥AB，①②③正確．④錯誤． 因為若AB⊥BC，則由PA⊥平面PBC，得PA⊥BC， 又PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB， 又PC⊥平面PAB， 這與過一點有且只有一條直線與已知平面垂直矛盾． 二、填空題 8．已知直線l，a，b，平面α，若要得到結論l⊥α，則需要在條件a?α，b?α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一個條件是_

18、_______________． 答案　a與b相交 9．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱AA1和AB上的點，若∠B1MN是直角，則∠C1MN＝______. 答案　90° 解析　∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN. 又∵MN⊥B1M，B1C1∩B1M＝B1，∴MN⊥平面C1B1M. 又C1M?平面C1B1M， ∴MN⊥C1M，∴∠C1MN＝90°. 10.如圖所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數為________． 答案　4 解析　??BC⊥平面PAC?BC⊥PC， ∴直角三角形有△PAB、

19、△PAC、△ABC、△PBC. 11．如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，當底面四邊形ABCD滿足條件________時，有A1C⊥B1D1.(注：填上你認為正確的一種即可，不必考慮所有可能的情形) 答案　BD⊥AC(答案不唯一) 解析　要找底面四邊形ABCD所滿足的條件，使A1C⊥B1D1，可從結論A1C⊥B1D1入手． ∵A1C⊥B1D1，BD∥B1D1，∴A1C⊥BD. 又∵AA1⊥BD，而AA1∩A1C＝A1，AA1?平面A1AC，A1C?平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∴BD⊥AC.此題答案不唯一． 三、解答題 12.如圖所示，在正方體ABCD—A1B

20、1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC. 求證：(1)MN∥AD1； (2)M是AB的中點． 證明　(1)∵ADD1A1為正方形， ∴AD1⊥A1D. 又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1. ∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC. 又∵MN⊥平面A1DC， ∴MN∥AD1. (2)連接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC. ∴ON綊CD綊AB， ∴ON∥AM. 又∵MN∥OA， ∴四邊形AMNO為平行四邊形，∴ON＝AM. ∵ON＝AB，∴AM＝AB，∴M是AB的中點． 13．如圖所示，在△ABC中，∠A

21、BC為直角，P是△ABC所在平面外一點，且PA＝PB，PB⊥BC.若M是PC的中點，試確定AB上點N的位置，使得MN⊥AB. 解　因為CB⊥AB，CB⊥PB，AB∩PB＝B， 所以CB⊥平面APB. 過M作ME∥CB，則ME⊥平面APB， 所以ME⊥AB. 若MN⊥AB，因為ME∩MN＝M， 則AB⊥平面MNE，所以AB⊥EN. 取AB中點D，連接PD， 因為PA＝PB，所以PD⊥AB， 所以NE∥PD. 又M為PC的中點，ME∥BC， 所以E為PB的中點． 因為EN∥PD，所以N為BD的中點， 故當N為AB的四等分點(AN＝3BN)時，MN⊥AB. 四、探

22、究與拓展 14．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，則P到BC的距離是(　　) A. B．2 C．3 D．4 答案　D 解析　如圖所示，作PD⊥BC于D，連接AD. ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又PA∩PD＝P，∴BC⊥平面PAD， ∴AD⊥BC. 在△ACD中，AC＝5，CD＝3， ∴AD＝4. 在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4， ∴PD＝＝4. 15.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中點． (1)求證C1D⊥平面AA1B1B； (2)當點F

23、在BB1上的什么位置時，會使得AB1⊥平面C1DF？并證明你的結論． 證明　(1)∵ABC－A1B1C1是直三棱柱， ∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°. 又D是A1B1的中點，∴C1D⊥A1B1. ∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D?平面A1B1C1， ∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1， ∴C1D⊥平面AA1B1B. (2)作DE⊥AB1交AB1于E，延長DE交BB1于F，連接C1F，則AB1⊥平面C1DF，點F為所求． ∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1?平面AA1B1B， ∴C1D⊥AB1. 又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF. ∵AA1＝A1B1＝， ∴四邊形AA1B1B為正方形． 又D為A1B1的中點，DF⊥AB1， ∴F為BB1的中點， ∴當點F為BB1的中點時，AB1⊥平面C1DF. 14