（江蘇專版）2019版高考數(shù)學大一輪復習 第六章 數(shù)列 第34講 等比數(shù)列學案 理

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1、 第34講　等比數(shù)列 考試要求　1.等比數(shù)列的概念(B級要求)；2.等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式(C級要求)；3.根據(jù)具體的問題情境中的等比關(guān)系解決相應的問題(B級要求)；4.等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系(A級要求). 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列.(　　) (2)G為a，b的等比中項?G2＝ab.(　　) (3)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列.(　　) (4)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{ln an}是等差數(shù)列.(　

2、　) 解析　(1)若an＝0則不成立. (2)若G，a，b都為0，則G不為a，b的等比中項. (3)若數(shù)列{an}為1，－1，1，－1，…時，{bn}不為等比數(shù)列. (4)若an＝－2n，則ln an無意義. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.(必修5P49習題1改編)已知數(shù)列{an}為正項等比數(shù)列，a2＝9，a4＝4，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________. 解析　設等比數(shù)列{an}的公比為q，則q2＝＝. 又因為q>0，所以q＝，所以an＝9·. 答案　9· 3.(2018·蘇北四市模擬) 已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S2＝2a2＋3

3、，S3＝2a3＋3，則公比q的值為________. 解析　∵S2＝2a2＋3，S3＝2a3＋3， ∴a1＝a1q＋3，a1(1＋q)＝a1q2＋3， ∴q2－2q＝0，q≠0. 則公比q＝2. 答案　2 4.(必修5P61習題3改編)若等比數(shù)列的通項公式為an＝4×31－n，則數(shù)列{an}是________數(shù)列(填“遞增”或“遞減”). 答案　遞減 5.(必修5P67習題3改編)設{an}是等比數(shù)列，給出下列四個命題： ①{a}是等比數(shù)列；②{anan＋1}是等比數(shù)列； ③是等比數(shù)列；④{lg|an|}是等比數(shù)列. 其中正確的命題是________(填序號). 解析　

4、④是等差數(shù)列. 答案?、佗冖? 知 識 梳 理 1.等比數(shù)列的定義 一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0). 2.等比數(shù)列的通項公式 設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則它的通項an＝a1·qn－1. 3.等比中項 如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項. 4.等比數(shù)列{an}的單調(diào)性 (1)滿足或時，{an}是遞增數(shù)列. (2)滿足或時，{an}是遞減數(shù)列. (3)時，{an}為常數(shù)列. (4)當q<0時，

5、{an}為擺動數(shù)列. 5.等比數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N*). (2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak·al＝am·an. (3)若{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比數(shù)列. 6.等比數(shù)列的前n項和公式 等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，其前n項和為Sn， 當q＝1時，Sn＝na1； 當q≠1時，Sn＝＝. 7.等比數(shù)列前n項和的性質(zhì) 公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比

6、數(shù)列，其公比為qn. 考點一　等比數(shù)列基本量的運算 【例1】 (1)(2017·全國Ⅲ卷)設等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，則a4＝________. (2)設{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項和.已知a2a4＝1，S3＝7，則S5＝________. (3)(2016·全國Ⅰ卷)設等比數(shù)列滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為________. 解析　(1)由{an}為等比數(shù)列，設公比為q. 即 顯然q≠1，a1≠0， 得1－q＝3，即q＝－2，代入①式可得a1＝1， 所以a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－

7、8. (2)顯然公比q≠1，由題意得解得或(舍去)， ∴S5＝＝＝. (3)設等比數(shù)列{an}的公比為q，∴?解得 ∴a1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1) ＝2－＋. 記t＝－＋＝－(n2－7n)， 結(jié)合n∈N*，可知n＝3或4時，t有最大值6. 又y＝2t為增函數(shù). 所以a1a2…an的最大值為64. 答案　(1)－8　(2)　(3)64 規(guī)律方法　等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解. 【訓練1】 (1)(2018·揚州一模)設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項的和

8、，若a5＋2a10＝0，則＝________. (2)(2017·江蘇卷)等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn，已知S3＝，S6＝，則a8＝________. 解析　(1)設等比數(shù)列公比為q，則由a5＋2a10＝0，得q5＝－，所以＝＝1＋q10＝1＋＝. (2)設數(shù)列{an}首項為a1，公比為q(q≠1)， 則解得 所以a8＝a1q7＝×27＝32. 答案　(1)　(2)32 考點二　等比數(shù)列的判定與證明 【例2】 設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)設bn＝an＋1－2an，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列

9、{an}的通項公式. (1)證明　由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2， 得a1＋a2＝S2＝4a1＋2. ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3. 又 由①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2). ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)， 故{bn}是首項b1＝3，公比為2的等比數(shù)列. (2)解　由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1， ∴－＝， 故是首項為，公差為的等差數(shù)列. ∴＝＋(n－1)·＝， 故an＝(3n－1)·2n－2. 規(guī)律方法　(1)證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法

10、(作比—代入—得結(jié)論)與等比中項法，其他方法只用于填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可. (2)利用遞推關(guān)系時要注意對n＝1時的情況進行驗證. 【訓練2】 (2016·全國Ⅲ卷)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項公式； (2)若S5＝，求λ. (1)證明　由題意得a1＝S1＝1＋λa1， 故λ≠1，a1＝，a1≠0. 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan， 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝. 因此

11、{an}是首項為，公比為的等比數(shù)列， 于是an＝. (2)解　由(1)得Sn＝1－. 由S5＝得1－＝，即＝. 解得λ＝－1. 考點三　等比數(shù)列的通項及求和問題 【例3】 已知公比不為1的等比數(shù)列{an}的首項a1＝，前n項和為Sn，且a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差數(shù)列. (1)求等比數(shù)列{an}的通項公式及前n項和Sn； (2)對n∈N*，在an與an＋1之間插入3n個數(shù)，使這3n＋2個數(shù)成等差數(shù)列，記插入的這3n個數(shù)的和為bn，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解　(1)設等比數(shù)列{an}的公比為q， 因為a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差數(shù)列， 所以a

12、5＋S5－a4－S4＝a6＋S6－a5－S5， 即2a6－3a5＋a4＝0，所以2q2－3q＋1＝0，因為q≠1， 所以q＝，所以等比數(shù)列{an}的通項公式為an＝. Sn＝＝1－. (2)bn＝·3n＝， 所以Tn＝＝. 規(guī)律方法　本題主要考查等比數(shù)列前n項和公式的運用，同時考查構(gòu)造新數(shù)列求通項、求和的方法. 【訓練3】 設數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝2an－a3，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)求數(shù)列的前n項和Tn. 解　(1)因為Sn＝2an－a3， 所以an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)， 即a

13、n＝2an－1(n≥2). 從而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1， 又因為a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列， 即a1＋a3＝2(a2＋1)， 所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2. 所以數(shù)列{an}是首項為2、公比為2的等比數(shù)列， 所以an＝2n. (2)由(1)得＝， 所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－. 考點四　等比數(shù)列性質(zhì)的應用 【例4－1】 (2017·南通二調(diào))設{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，記cn＝an＋bn. (1)求證：數(shù)列{cn＋1－cn－d}為等比數(shù)列； (2)(一題多解)已知數(shù)列{cn}的前4項分別為4，

14、10，19，34，求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式. 解　(1)由題意得cn＋1－cn－d ＝(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)－d ＝(an＋1－an)－d＋(bn＋1－bn) ＝bn(q－1)≠0， 從而＝＝q. 又因為c2－c1－d＝b1(q－1)≠0， 所以{cn＋1－cn－d}是首項為b1(q－1)，公比為q的等比數(shù)列. (2)法一　{cn＋1－cn－d}的前3項為6－d，9－d，15－d， 則(9－d)2＝(6－d)(15－d)， 解得d＝3，從而q＝2. 又因為解得a1＝1，b1＝3， 所以an＝3n－2，bn＝3·2n－1. 法二　由題意得消去a

15、1， 得 消去d得 消去b1得q＝2， 從而解得a1＝1，b1＝3，d＝3. 所以an＝3n－2，bn＝3·2n－1. 【例4－2】 (1)若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________. (2)(一題多解)設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若＝，則＝________. 解析　(1)因為a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5， 所以a10a11＝e5. 所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20 ＝ln(a1a2…a20) ＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a1

16、0a11)] ＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11) ＝10ln e5＝50ln e＝50. (2)法一　∵S6∶S3＝1∶2，∴{an}的公比q≠1. 由÷＝，得q3＝－， ∴＝＝. 法二　∵{an}是等比數(shù)列，且＝，∴公比q≠－1， ∴S3，S6－S3，S9－S6也成等比數(shù)列，即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)， 將S6＝S3代入得＝. 答案　(1)50　(2) 規(guī)律方法　(1)在等比數(shù)列的基本運算問題中，一般利用通項公式與前n項和公式，建立方程組求解，但如果能靈活運用等比數(shù)列的性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則有aman＝apaq”，可以減少運算量. (

17、2)等比數(shù)列的項經(jīng)過適當?shù)慕M合后構(gòu)成的新數(shù)列也具有某種性質(zhì)，例如數(shù)列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比數(shù)列，公比為qk(q≠－1). 【訓練4】 (一題多解)(2018·南通一調(diào)) 設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S2＝3，S4＝15，則S6的值為________. 解析　法一　由等比數(shù)列的性質(zhì)得，q2＝＝4，所以q＝±2. 由S2＝3，解得或 所以S6＝＝＝63或S6＝＝＝63. 法二　由S2，S4－S2，S6－S4成等比數(shù)列可得(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，所以S6＝63. 答案　63 一、必做題 1.(2018·江蘇東海中學月考)在由正數(shù)組成的

18、等比數(shù)列{an}中，若a4a5a6＝3，log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9的值為________. 解析　∵a4a6＝a，∴a4a5a6＝a＝3， 解得a5＝3.∵a1a9＝a2a8＝a， ∴l(xiāng)og3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝log3(a1a2a8a9) ＝log3a＝log33＝. 答案　 2.(2018·蘇、錫、常、鎮(zhèn)一調(diào))設數(shù)列{an}是首項為1，公差不為零的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的公差為________. 解析　設公差為d，其中d≠0，則S1，S2，S4分別為1，2＋d，4＋6d.

19、由S1，S2，S4成等比數(shù)列，得(2＋d)2＝4＋6d，即d2＝2d.因為d≠0，所以d＝2. 答案　2 3.(2018·南京調(diào)研)在正項等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12， an－1anan＋1＝324，則n＝________. 解析　設數(shù)列{an}的公比為q，由a1a2a3＝4＝aq3與a4a5a6＝12＝aq12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14. 答案　14 4.已知數(shù)列{an}滿足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，則log(a5＋a7＋

20、a9)的值是________. 解析　由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)， 得log3an＋1－log3an＝1，即log3＝1， 解得＝3，所以數(shù)列{an}是公比為3的等比數(shù)列. 因為a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)q3， 所以a5＋a7＋a9＝9×33＝35. 所以log(a5＋a7＋a9)＝log35＝－5. 答案　－5 5.(2018·鹽城檢測)在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a3a4a5＝3π，則sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值為________. 解析　因為a3a4a5＝3π＝a，所以a4＝3. log3a1＋l

21、og3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7) ＝log3a＝7log33＝， 所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝. 答案　 6.若a，b是函數(shù)f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的兩個不同的零點，且a，b，－2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則p＋q的值等于________. 解析　由題意知：a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2這三個數(shù)的6種排序中，成等差數(shù)列的情況有a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比數(shù)列的情況有a，－2，b；b，－2，a. ∴或解得

22、或 ∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9. 答案　9 7.(2018·揚州一模)在正項等比數(shù)列{an}中，若a4＋a3－2a2－2a1＝6，則a5＋a6的最小值為________. 解析　設 a2＋a1＝x，等比數(shù)列的公比為q，則a4＋a3 ＝xq2，a5＋a6 ＝xq4. 再由a4＋a3－2a2－2a1＝6， 得 xq2＝6＋2x，∴x＝＞0，q＞1. ∴a5＋a6 ＝xq4 ＝ ＝6·＝6＝6≥6(4＋4)＝48， 當且僅當q2－2＝2時，等號成立， 故a5＋a6的最小值為48. 答案　48 8.已知正項等比數(shù)列{an}滿足a2 015＝2a2 013＋a2 014，若存

23、在兩項am，an，使得＝4a1，則的最小值為________. 解析　設{an}的公比為q(q>0)，由正項等比數(shù)列{an}滿足a2 015＝2a2 013＋a2 014， 可得a2 013·q2＝2a2 013＋a2 013·q， ∴q2－q－2＝0，∵q>0，∴q＝2. ∵＝4a1，∴qm＋n－2＝16，∴m＋n＝6. ∴＝(m＋n)＝≥， 當且僅當＝，即m＝2，n＝4時取等號. 故的最小值為. 答案　 9.(2016·全國Ⅲ卷)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－ 2an＋1＝0. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通項公

24、式. 解　(1)由題意得a2＝，a3＝. (2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得 2an＋1(an＋1)＝an(an＋1). 因為{an}的各項都為正數(shù)，所以＝. 故{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，因此an＝. 10.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，在數(shù)列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n. (1)設cn＝an－1，求證：{cn}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{bn}的通項公式. (1)證明　∵an＋Sn＝n，① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.② ②－①得an＋1－an＋an＋1＝1， ∴2an＋1＝an＋1，∴2

25、(an＋1－1)＝an－1， ∴＝，∴{an－1}是等比數(shù)列. 又a1＋a1＝1，∴a1＝， 又cn＝an－1，首項c1＝a1－1，∴c1＝－，公比q＝. ∴{cn}是以－為首項，以為公比的等比數(shù)列. (2)解　由(1)可知cn＝·＝－， ∴an＝cn＋1＝1－. ∴當n≥2時，bn＝an－an－1＝1－－ ＝－＝. 又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝. 二、選做題 11.(2018·蘇北四市期末)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的首項a1＝1，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且滿足anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝λanan＋1(λ≠0，n∈N*). (1)

26、若a1，a2，a3成等比數(shù)列，求實數(shù)λ的值； (2)若λ＝，求Sn. 解　(1) 令n＝1，得a2＝. 令n＝2，得a2S3－a3S2＋a2－a3＝λa2a3， 所以a3＝. 由a＝a1a3， 得＝， 因為λ≠0，所以λ＝1. (2)當λ＝時， anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝anan＋1， 所以－＋－＝， 即－＝， 所以數(shù)列是以2為首項，為公差的等差數(shù)列， 所以＝2＋(n－1)·， 即Sn＋1＝an，① 當n≥2時，Sn－1＋1＝an－1，② ①－②得，an＝an－an－1， 即(n＋1)an＝(n＋2)an－1，所以＝(n≥2)， 所以是常

27、數(shù)列，且為，所以an＝(n＋2). 代入①得Sn＝an－1＝. 12.(2017·南通二模)設數(shù)列的前n項和為Sn，且滿足： ①≠； ②rSn＋1＝an＋a1， 其中r，p∈R，且r≠0. (1)求p的值； (2)數(shù)列能否是等比數(shù)列？請說明理由； (3)(選做)求證：當r ＝2時，數(shù)列是等差數(shù)列. (1)解　n＝1時，r(1－p)S2＝2a1－2a1＝0， ≠，所以S2≠0， 又r≠0，所以p＝1. (2)解　不是等比數(shù)列.理由如下： 假設是等比數(shù)列，公比為q， 當n＝2時，rS3＝6a2，即ra1(1＋q＋q2)＝6a1q， 所以r(1＋q＋q2)＝6q，(ⅰ

28、) 當n＝3時，2rS4＝12a3＋4a1，即2ra1(1＋q＋q2＋q3)＝12a1q2＋4a1， 所以r(1＋q＋q2＋q3)＝6q2＋2，(ⅱ) 由(ⅰ)(ⅱ)得q＝1，與≠矛盾，所以假設不成立. 故{an}不是等比數(shù)列. (3)證明　當r ＝2時，易知a3＋a1＝2a2. 由2(n－1)Sn＋1＝(n2＋n)an＋(n2－n－2)a1，得 n≥2時，2Sn＋1＝＋， ① 2Sn＋2＝＋，② ②－①得，2an＋2＝－＋， 即2(an＋2－a1)＝－， ＝－， 即－＝ ＝ ＝…… ＝＝0， 所以＝＝…＝， 令a2－a1＝d，則＝d(n≥2). 所以an＝a1＋(n－1)d(n≥2). 又n＝1時，也適合上式， 所以an＝a1＋(n－1)d(n∈N*). 所以an＋1－an＝d(n∈N*). 所以當r ＝2時，數(shù)列{an}是等差數(shù)列. 14