《（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 推理與證明、算法、復(fù)數(shù) 第1節(jié) 合情推理與演繹推理學(xué)案 文 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 推理與證明、算法、復(fù)數(shù) 第1節(jié) 合情推理與演繹推理學(xué)案 文 新人教A版（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、1第第 1 1 節(jié)節(jié)合情推理與演繹推理合情推理與演繹推理最新考綱1.了解合情推理的含義， 能利用歸納和類比等進行簡單的推理， 了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用；2.了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理；3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異.知 識 梳 理1.合情推理類型定義特點歸納推理根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì)， 推出這類事物的全部對象都具有這種性質(zhì)的推理由部分到整體、 由個別到一般類比推理根據(jù)兩類事物之間具有某些類似(一致)性，推測一類事物具有另一類事物類似(或相同)的性質(zhì)的推理由特殊到特殊2.演繹推理(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個
2、特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理.簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理.(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情況；結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的判斷.診 斷 自 測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確.()(2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理.()(3)在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適.()(4)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確.()解析(1)類比推理的結(jié)論不一定正確.2(3)平面中的三角形與
3、空間中的四面體作為類比對象較為合適.(4)演繹推理是在大前提、小前提和推理形式都正確時，得到的結(jié)論一定正確.答案(1)(2)(3)(4)2.數(shù)列 2，5，11，20，x，47，中的x等于()A.28B.32C.33D.27解析523，1156，20119，推出x2012，所以x32.答案B3.正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)sin(x21)是正弦函數(shù)，因此f(x)sin(x21)是奇函數(shù)，以上推理()A.結(jié)論正確B.大前提不正確C.小前提不正確D.全不正確解析f(x)sin(x21)不是正弦函數(shù)，所以小前提不正確.答案C4.(2018咸陽模擬)觀察下列式子： 122， 12 2392， 12 23
4、348，12233445252，根據(jù)以上規(guī)律，第n(nN N*)個不等式是_.解 析根 據(jù) 所 給 不 等 式 可 得 第n個 不 等 式 是12 23 n（n1）（n1）22.答案12 23n（n1）0(i1，2，3，n)，觀察下列不等式：a1a22a1a2；a1a2a333a1a2a3；a1a2a3a444a1a2a3a4；照此規(guī)律，當(dāng)nN N*，n2 時，a1a2ann_.解析(1)由題意，如果 2n1 是質(zhì)數(shù)，則 2n1(2n1)是完全數(shù)，例如：6212221(221)，2822232422(231)，；若 2n1(2n1)8 128，解得n7，所以 8 128 可表示為 26(271
5、)2627212.(2)根據(jù)題意有a1a2annna1a2an(nN N*，n2).答案(1)2627212(2)na1a2an規(guī)律方法歸納推理問題的常見類型及解題策略(1)與數(shù)字有關(guān)的等式的推理.觀察數(shù)字特點，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號可解.(2)與不等式有關(guān)的推理.觀察每個不等式的特點，注意是縱向看，找到規(guī)律后可解.(3)與數(shù)列有關(guān)的推理.通常是先求出幾個特殊現(xiàn)象， 采用不完全歸納法， 找出數(shù)列的項與項數(shù)的關(guān)系，列出即可.(4)與圖形變化有關(guān)的推理.合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論， 并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡?【訓(xùn)練 1】 (1)(2018鄭州一模)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形
6、狀來研究數(shù)，例如：他們研究過圖中的 1，3，6，10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，故將其稱為三角形數(shù)，由以上規(guī)律，知這些三角形數(shù)從小到大形成一個數(shù)列an，那么a10的值為()4A.45B.55C.65D.66(2)古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù) 1，3，6，10，第n個三角形數(shù)為n（n1）212n212n，記第n個k邊形數(shù)為N(n，k)(k3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：三角形數(shù)N(n，3)12n212n，正方形數(shù)N(n，4)n2，五邊形數(shù)N(n，5)32n212n，六邊形數(shù)N(n，6)2n2n可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(10，24)_
7、.解析(1)第 1 個圖中，小石子有 1 個，第 2 個圖中，小石子有 312 個，第 3 個圖中，小石子有 6123 個，第 4 個圖中，小石子有 101234 個，故第 10 個圖中，小石子有 123101011255 個，即a1055.(2)三角形數(shù)N(n，3)12n212nn2n2，正方形數(shù)N(n，4)n22n20n2，五邊形數(shù)N(n，5)32n212n3n2n2，六邊形數(shù)N(n，6)2n2n4n22n2，k邊形數(shù)N(n，k)（k2）n2（k4）n2，所以N(10，24)22102201022 20020021 000.答案(1)B(2)1 000考點二類比推理【例 2】 (1)(一題
8、多解)若數(shù)列an是等差數(shù)列， 則數(shù)列bnbna1a2ann也為等差數(shù)列.類比這一性質(zhì)可知，若正項數(shù)列cn是等比數(shù)列，且dn也是等比數(shù)列，則dn的表達式5應(yīng)為()A.dnc1c2cnnB.dnc1c2cnnC.dnncn1cn2cnnnD.dnnc1c2cn(2)(2018湖北八校聯(lián)考)祖暅是我國南北朝時代的數(shù)學(xué)家， 是祖沖之的兒子.他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異.”這里的“冪”指水平截面的面積，“勢”指高.這句話的意思是： 兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等， 則這兩個幾何體體積相等.設(shè)由橢圓y2a2x2b21(ab0)所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的幾
9、何體(稱為橢球體)(如圖)，課本中介紹了應(yīng)用祖暅原理求球體體積公式的方法，請類比此法，求出橢球體體積，其體積等于_.解析(1)法一從商類比開方，從和類比積，則算術(shù)平均數(shù)可以類比幾何平均數(shù)，故dn的表達式為dnnc1c2cn.法二若an是等差數(shù)列，則a1a2anna1n（n1）2d，bna1（n1）2dd2na1d2，即bn為等差數(shù)列；若cn是等比數(shù)列，則c1c2cncn1q12(n1)cn1qn（n1）2，dnnc1c2cnc1qn12，即dn為等比數(shù)列，故選 D.(2)橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，現(xiàn)構(gòu)造兩個底面半徑為b，高為a的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點， 圓柱上
10、底面為底面的圓錐， 根據(jù)祖暅原理得出橢球體的體積V2(V圓柱V圓錐)2b2a13b2a43b2a.答案(1)D(2)43b2a規(guī)律方法1.進行類比推理，應(yīng)從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進行類比，提出猜想.其中找到合適的類比對象是解題的關(guān)鍵.2.類比推理常見的情形有平面與空間類比； 低維的與高維的類比； 等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；6數(shù)的運算與向量的運算類比；圓錐曲線間的類比等.【訓(xùn)練 2】 (1)(2017安徽江南十校聯(lián)考)我國古代數(shù)學(xué)名著 九章算術(shù) 中割圓術(shù)有： “割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在2 2 2中“
11、”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個定值x，這可以通過方程 2xx確定出來x2，類似地不難得到 11111()A. 512B.512C.1 52D.1 52(2)如圖(1)所示，點O是ABC內(nèi)任意一點，連接AO，BO，CO，并延長交對邊于A1，B1，C1，則OA1AA1OB1BB1OC1CC11，類比猜想：點O是空間四面體VBCD內(nèi)的任意一點，如圖(2)所示，連接VO，BO，CO，DO并延長分別交面BCD，VCD，VBD，VBC于點V1，B1，C1，D1， 則有_.解析(1)令 11111x(x0)， 即 11xx， 即x2x10， 解得x1 52(x1 52舍)，故 111111 52，故選 C
12、.(2)利用類比推理，猜想應(yīng)有OV1VV1OB1BB1OC1CC1OD1DD11.用“體積法”證明如下：OV1VV1OB1BB1OC1CC1OD1DD1VOBCDVVBCDVOVCDVBVCDVOVBDVCVBDVOVBCVDVBCVVBCDVVBCD1.答案(1)C(2)OV1VV1OB1BB1OC1CC1OD1DD11考點三演繹推理【例 3】 數(shù)列an的前n項和記為Sn，已知a11，an1n2nSn(nN N*).證明：7(1)數(shù)列Snn是等比數(shù)列；(2)Sn14an.證明(1)an1Sn1Sn，an1n2nSn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.Sn1n12Snn，
13、又S1110，(小前提)故Snn是以 1 為首項，2 為公比的等比數(shù)列.(結(jié)論)(大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了)(2)由(1)可知Sn1n14Sn1n1(n2)，Sn14(n1)Sn1n14n12n1Sn14an(n2)，(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)對于任意正整數(shù)n，都有Sn14an.(結(jié)論)(第(2)問的大前提是第(1)問的結(jié)論以及題中的已知條件)規(guī)律方法演繹推理是從一般到特殊的推理； 其一般形式是三段論， 應(yīng)用三段論解決問題時，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略.【訓(xùn)練 3】 (2017全國卷)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去
14、向老師詢問成語競賽的成績.老師說：你們四人中有 2 位優(yōu)秀，2 位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績.看后甲對大家說：我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息，則()A.乙可以知道四人的成績B.丁可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對方的成績D.乙、丁可以知道自己的成績解析由甲說：“我還是不知道我的成績”可推知甲看到乙、丙的成績?yōu)椤? 個優(yōu)秀，1 個良好”.乙看丙的成績，結(jié)合甲的說法，丙為“優(yōu)秀”時，乙為“良好”；丙為“良好”時，乙為“優(yōu)秀”，可得乙可以知道自己的成績、丁看甲的成績，結(jié)合甲的說法，甲為“優(yōu)秀”時，丁為“良好”；甲為“良好”時，丁為“優(yōu)秀”，可得丁可以知道自
15、己的成績.答案D8基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：30 分鐘)一、選擇題1.觀察一列算式：1 1，1 2，2 1，1 3，2 2，3 1，1 4，2 3，3 2，4 1，則式子 3 5 是第()A.22 項B.23 項C.24 項D.25 項解析兩數(shù)和為 2 的有 1 個，和為 3 的有 2 個，和為 4 的有 3 個，和為 5 的有 4 個，和為 6的有 5 個，和為 7 的有 6 個，前面共有 21 個，3 5 為和為 8 的第 3 項，所以為第 24 項，故選 C.答案C2.命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)， 整數(shù)是有理數(shù)， 所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯誤的原因是()A.使用了歸納推理
16、B.使用了類比推理C.使用了“三段論”，但推理形式錯誤D.使用了“三段論”，但小前提錯誤解析由“三段論”的推理方式可知，該推理的錯誤原因是推理形式錯誤.答案C3.觀察(x2)2x，(x4)4x3，(cosx)sinx，由歸納推理得：若定義在 R R 上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(x)()A.f(x)B.f(x)C.g(x)D.g(x)解析由已知得偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，故g(x)g(x).答案D4.觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10等于()A.28B.76C.123D.199解析觀察規(guī)律，歸納推理.
17、從給出的式子特點觀察可推知，等式右端的值，從第三項開始，后一個式子的右端值等于它9前面兩個式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10b10123.答案C5.由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則：“mnnm”類比得到“a ab bb ba a”；“(mn)tmtnt”類比得到“(a ab b)c ca ac cb bc c”；“(mn)tm(nt)”類比得到“(a ab b)c ca a(b bc c)”；“t0，mtxtmx”類比得到“p p0 0，a ap px xp pa ax x”；“|mn|m|n|”類比得到“|a ab b|a a|b b|”；“acbcab”類比得到“a ac
18、cb bc ca ab b”.以上式子中，類比得到的結(jié)論正確的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.4解析正確；錯誤.答案B6.(2017宜昌一中月考)老師帶甲、乙、丙、丁四名學(xué)生去參加自主招生考試，考試結(jié)束后老師向四名學(xué)生了解考試情況，四名學(xué)生回答如下：甲說：“我們四人都沒考好”；乙說：“我們四人中有人考的好”；丙說：“乙和丁至少有一人沒考好”；丁說：“我沒考好”.結(jié)果，四名學(xué)生中有兩人說對了，則四名學(xué)生中說對的兩人是()A.甲，丙B.乙，丁C.丙，丁D.乙，丙解析甲與乙的關(guān)系是對立事件，二人說話矛盾，必有一對一錯，如果丁正確，則丙也是對的，所以丁錯誤，可得丙正確，此時乙正確.故答案為 D.答案D
19、7.(2018鄭州調(diào)研)平面內(nèi)凸四邊形有 2 條對角線，凸五邊形有 5 條對角線，凸六邊形有 9條對角線，以此類推，凸 13 邊形對角線的條數(shù)為()A.42B.65C.143D.169解析可以通過列表歸納分析得到.凸多邊形4567810對角線條數(shù)223234234523456凸 13 邊形有 234111310265 條對角線.答案B8.如圖，有一個六邊形的點陣，它的中心是 1 個點(算第 1 層)，第 2 層每邊有 2 個點，第 3層每邊有 3 個點， ， 依此類推， 如果一個六邊形點陣共有 169 個點， 那么它的層數(shù)為()A.6B.7C.8D.9解析由題意知，第 1 層的點數(shù)為 1，第
20、2 層的點數(shù)為 6，第 3 層的點數(shù)為 26，第 4 層的點數(shù)為 36，第 5 層的點數(shù)為 46，第n(n2，nN N*)層的點數(shù)為 6(n1).設(shè)一個點陣有n(n2，nN N*)層， 則共有的點數(shù)為 16626(n1)166（n1）2(n1)3n23n1，由題意得 3n23n1169，即(n7)(n8)0，所以n8，故共有8 層.答案C二、填空題9.仔細觀察下面和的排列規(guī)律：， 若依此規(guī)律繼續(xù)下去， 得到一系列的和，那么在前 120 個和中，的個數(shù)是_.解析進行分組|，則前n組兩種圈的總數(shù)是f(n)234(n1)n（n3）2， 易知f(14)119，f(15)135，故n14.答案1410.
21、觀察下列等式：1312，132332，13233362，13233343102，根據(jù)上述規(guī)律，第n個等式為_.解析觀察所給等式左右兩邊的構(gòu)成易得第n個等式為 1323n3n（n1）22n2（n1）24.11答案1323n3n2（n1）2411.(2018重慶模擬)在等差數(shù)列an中，若公差為d，且a1d，那么有amanamn，類比上述性質(zhì)，寫出在等比數(shù)列an中類似的性質(zhì)：_.解析等差數(shù)列中兩項之和類比等比數(shù)列中兩項之積， 故在等比數(shù)列中， 類似的性質(zhì)是“在等比數(shù)列an中，若公比為q，且a1q，則amanamn.”答案在等比數(shù)列an中，若公比為q，且a1q，則amanamn12.已知點A(x1，a
22、x1)，B(x2，ax2)是函數(shù)yax(a1)的圖象上任意不同兩點，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A，B兩點之間函數(shù)圖象的上方，因此有結(jié)論ax1ax22ax1x22成立.運用類比思想方法可知，若點A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函數(shù)ysinx(x(0，)的圖象上任意不同兩點，則類似地有_成立.解析對于函數(shù)yax(a1)的圖象上任意不同兩點A，B，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A，B兩點之間函數(shù)圖象的上方，因此有結(jié)論ax1ax22ax1x22成立；對于函數(shù)ysinx(x(0，)的圖象上任意不同的兩點A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)，線段AB總是位于A，B兩點之間函數(shù)
23、圖象的下方，類比可知應(yīng)有sinx1sinx22sinx1x22成立.答案sinx1sinx22sinx1x22能力提升題組(建議用時：15 分鐘)13.(2017湖北八校二聯(lián))有 6 名選手參加演講比賽，觀眾甲猜測：4 號或 5 號選手得第一名；觀眾乙猜測：3 號選手不可能得第一名；觀眾丙猜測：1，2，6 號選手中的一位獲得第一名；觀眾丁猜測：4，5，6 號選手都不可能獲得第一名.比賽后發(fā)現(xiàn)沒有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有 1 人猜對比賽結(jié)果，此人是()A.甲B.乙C.丙D.丁解析根據(jù)題意，6 名選手比賽結(jié)果甲、乙、丙、丁猜測如下表：1 號2 號3 號4 號5 號6 號甲不可能不可能不可能
24、可能可能不可能乙可能可能不可能可能可能可能12丙可能可能不可能不可能不可能可能丁可能可能可能不可能不可能不可能由表知，只有丁猜對了比賽結(jié)果，故選 D.答案D14.(2018南昌調(diào)研)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，其前n項和為Sn，前n項之積為Tn，并且滿足條件：a11，a2 016a2 0171，a2 0161a2 01710，下列結(jié)論中正確的是()A.q0C.T2 016是數(shù)列Tn中的最大項D.S2 016S2 017解析由a11，a2 016a2 0171 得q0，由a2 0161a2 01711 得a2 0161，a2 0171，0qb0)外，過P0作橢圓的兩條切線的切點為P1，P2，則切點
25、弦P1P2所在的直線方程是x0 xa2y0yb21，那么對于雙曲線則有如下命題：若P0(x0，y0)在雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)外，過P0作雙曲線的兩條切線，切點為P1，P2，則切點弦P1P2所在直線的方程是_.解析設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則P1，P2的切線方程分別是x1xa2y1yb21，x2xa2y2yb21.因為P0(x0，y0)在這兩條切線上，故有x1x0a2y1y0b21，x2x0a2y2y0b21，這說明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線x0 xa2y0yb21 上，故切點弦P1P2所在的直線方程是x0 xa2y0yb21.答案x0 xa2y0yb2116.(2017北京卷)某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時滿足以下三個條件：(1)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)；13(2)女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；(3)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).若教師人數(shù)為 4，則女學(xué)生人數(shù)的最大值為_.該小組人數(shù)的最小值為_.解析設(shè)男學(xué)生人數(shù)為x，女學(xué)生人數(shù)為y，教師人數(shù)為z，由已知得xy，yz，2zx，且x，y，z均為正整數(shù).當(dāng)z4 時，8xy4，x的最大值為 7，y的最大值為 6，故女學(xué)生人數(shù)的最大值為 6.xyzx2，當(dāng)x3 時，條件不成立，當(dāng)x4 時，條件不成立，當(dāng)x5 時，5yz52，此時z3，y4.該小組人數(shù)的最小值為 12.答案612
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